江苏省泰州市姜堰二中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷

高中数学精选资源2/2江苏省姜堰第二中学2020－2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，则点F到直线l的距离为（）A． B．1 C．2 D．42．已知向量，，且，其中，则（）A．4 B．-4 C．2 D．-23．若，则的值为（）A．3 B． C．-3 D．4．在平面直角坐标系xOy中，若椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线T的渐近线方程为（）A． B． C． D．5．在平面直角坐标系xOy中，直线与两坐标轴分别交于点A，B，圆C经过A，B，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（）A． B．C． D．6．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为（）A． B． C． D．7．如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段AO的长度为（）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为F，点M，N在双曲线C上．若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．9．已知两个不重合的平面，及直线m，下列说法正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．在平面直角坐标系xOy中，，分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上．若为直角三角形，则的长度可以为（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，直线，相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到，的距离，则称为点P的“距离坐标”．下列说法正确的是（）A．距离坐标为的点有1个 B．距离坐标为的点有2个C．距离坐标为的点有4个 D．距离坐标为的点在一条直线上12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则（）A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C．它的体积为D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线和直线，．若与平行，则与之间的距离为________．14．在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为________．15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面ABC，，，则四面体PABC的外接球的表面积为________．16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________．四、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．在①；②；③的面积三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，D是边BC上的一点，，且，，求线段AD的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，动圆M与直线相切且与圆F外切．（1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）已知，曲线C上一点P满足，求的大小．19．如图，在直三棱柱中，D为AC中点．（1）求证：平面；（2）若，，且，求三棱锥的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点A，B是直线与圆O的两个公共点，点C在圆O上．（1）若为正三角形，求直线AB的方程；（2）若直线上存在点P满足，求实数m的取值范围．21．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，．（1）若，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；（2）设二面角的大小为，若，求的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左顶点与上顶点的距离为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点．若椭圆上存在点N满足，求证：的面积S为定值．2020－2021学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 14． 15．16．，四、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（本小题满分10分）解：选①．由条件①，在中，，所以，即，从而．因为B为三角形内角，所以，所以．因为A为三角形内角，所以．在中，因为，，故由正弦定理得，即，所以，即．由知，因此．因为，所以．选②．由条件②，结合余弦定理得，即，所以，因为A为三角形内角，所以．在中，因为，，故由正弦定理得，即，所以，即．由知，因此．因为，所以．选③．由条件③，的面积，得，即，因为A为三角形内角，所以，从而，所以，所以．在中，因为，，故由正弦定理得，即，所以，即．由知，因此．因为，所以．另解：（略）在中，因为，，由余弦定理得，所以．由正弦定理得，则，又B为锐角，所以，则．在中，因为，所以．18．（本小题满分12分）解：（1）设，圆M的半径为r．由题意知，，M到直线l的距离为r．方法一：点M到点的距离等于M到定直线的距离，根据抛物线的定义知，曲线C是以为焦点，为准线的抛物线．故曲线C的方程为．方法二：因为，，，所以，化简得，故曲线C的方程为．（2）方法一：设，由，得，又，解得，故，所以，从而．方法二：过点P向直线作垂线，垂足为Q．由抛物线定义知，，所以，在中，因为，所以，从而，故．19．（本小题满分12分）（1）证明：连结交于点O，连结OD．在三棱柱中，，，所以四边形为平行四边形，所以O为中点．又因为D为AC中点，所以OD为的中位线，所以．又因为平面，OD平面，所以平面．（2）解：方法一：三棱锥的体积就是三棱锥的体积．过点D作，垂足为E．在直三棱柱中，平面ABC．因为平面ABC，所以．又因为，且，BC平面，，所以平面，即DE为三棱锥的高．在中，，，且，所以，，在中，，所以．又的面积，所以三棱锥的体积，故三棱锥的体积等于3．方法二：三棱锥的体积就是三棱锥的体积．因为（1）中已证面，所以到平面的距离等于A到平面的距离．因此三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即等于三棱锥的体积．在直三棱柱中，平面ABC，所以为三棱锥的高．因为，，且，．因为D是AC的中点，所以的面积．故三棱锥的体积，即三棱锥的体积等于3．20．（本小题满分12分）解：（1）由为正三角形，得，所以，所以原点O到直线AB的距离．由点到直线的距离公式得，解得或．所以直线AB的方程为或．（2）方法一：设，，．因为，所以点P在以AB为直径的圆上．记该圆圆心为，则是方程组的解，解得故以AB为直径的圆的方程为，其中．又点P在直线上，即直线与圆有公共点，所以，即．解得．综上，实数m的取值范围是．方法二：设，．联立直线AB与圆O方程，得消去y得．①所以，是①的两个解，判别式，即，且，．设点，则，．由，，②将，，代入②，整理得．又，，所以，关于x的方程有实数解，因此，即，解得．综上，实数m的取值范围是．21．（本小题满分12分）解：因为平面平面ABCD，，平面平面，PA平面PAB，所以平面ABCD．因为AD平面ABCD，所以．又，所以PA，AB，AD两两互相垂直．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，，所以,，，，，（1）若，即E为PC中点，则，所以，，．设平面ABE的一个法向量为，则即令，得，所以平面ABE的一个法向量为．设直线DE与平面ABE所成角为，则．（2）因为，则．设平面ABE的一个法向量为，则即令，得，所以平面ABE的一个法向量为．设平面AEC的一个法向量为，则即令，得，所以平面AEC的一个向量为．（或证明平面PAC，从而为平面PAC的一个法向量）因为二面角的大小为，且，得，整理得，解得，或（舍）．所以．22．（本小题满分12分）解：（1）椭