《等式与不等式》名师课件

日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：长、短大、小轻、重高、矮请同学们举几个与不等关系相关的生活实例?复习引入湘教版同步教材名师课件等式与不等式学习目标核心素养通过具体实例体会不等式在现实生活中的应用数学建模掌握比较法的解题步骤数学运算理解不等式的性质及证明逻辑推理通过具体实例体会不等式在现实生活中的应用数学建模学习目标课程目标1.通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；2.能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；3.培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；数学学科素养1.数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系；2.逻辑推理：作差法的原理；3.数学运算：用作差法比较大小；4.直观想象：在几何图形中发现不等式；5.数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题。学习目标在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等，类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示.①、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式是：_________400<v≤40问题1②、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：________

探究新知④、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.如图，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD<CE.③、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；设△ABC的三条边为a，b，c，则a-b>c，a-b<c.探究新知问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

探究新知由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b.已知对于任意两个实数a、b的大小可以比较，那么：a-b＞0

a＞b;a-b＝0a＝ba-b＜0a＜b;探究新知解析例1、某中学高二年级某班一个户外小组搞野炊活动，其中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每千克的单价分别为2元和3元．根据需要，A蔬菜至少要买6kg，B蔬菜至少要买4kg，而且购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．写出满足上述所有不等关系的不等式．

典例讲解方法归纳(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路:①读懂题意，找准不等式所联系的量．②用适当的不等号连接．③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示．(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．成分药片阿司匹林(mg)小苏打(mg)可待因(mg)A(1片)251B(1片)1761.(1)雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t

℃，那么t应满足的关系式是________．(2)两种药片的有效成分如下表所示：若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小苏打和28mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．变式训练1.(1)雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t

℃，那么t应满足的关系式是________．变式训练解析：(1)由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28000.故填4.5t<28000.4.5t<28000成分药片阿司匹林(mg)小苏打(mg)可待因(mg)A(1片)251B(1片)1761.(2)两种药片的有效成分如下表所示：若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小苏打和28mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．变式训练(2)设提供A药片x片，B药片y片，由题意可得：

∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．典例讲解例2.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)解析例3、已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．典例讲解解析

因为x<1，所以x－1<0.

所以x3－1<2x2－2x.若把条件x<1改为x>1，其结果如何？用作差法比较两个实数大小的基本步骤第一步，作差并化简，其目标应是n个因式之积、完全平方式或常数的形式；第二步，判断差值与0的大小关系，必要时需分类讨论；第三步，得出结论．方法归纳变式训练

解析:

变式训练

解析:

1．用作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)第四步：最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．素养提炼

对称性传递性加法法则乘法法则

探究新知

性质5

如果a>b,c>d,则a+c>b+d.注意：同向不等式只能相加，不能相减，但相减可以转化为相加问题（加其相反数）.性质6

如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.注意（1）a,b,c,d都为正数；（2）同向不等式只能相乘，不能相除，但相除可以转化为相乘问题（乘其倒数）.(同向可加性)(正数同向可乘性)探究新知性质7

如果a>b>0,那么an>bn,(n∈N,n≥2)

注意:当不等式两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.

注意:当不等式两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向.(正数乘方法则)(正数开方法则)探究新知性质总结典例讲解

解析

A

方法归纳(1)运用不等式的性质判断真假的技巧①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．②解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．变式训练

解：(1)法一：因为A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，所以可用特殊值法．令a＝2，b＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，即a>－b>b>－a.法二：因为a＋b>0，b<0，所以a>－b>0，－a<b<0，所以a>－b>0>b>－a，即a>－b>b>－a.

C典例讲解

解析

方法归纳(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．利用不等式的性质求取值范围的策略变式训练4.已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围．(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.解：(1)|a|∈[0，3]．

(2)－1<a＋b<5.(3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；(4)由－2<a≤3得－4<2a≤6，①由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②由①②得，－10<2a－3b≤3.A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200

1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是(

)当堂练习D

解析:A当堂练习3.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,

解析:当堂练习