辽宁省大连市高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量基本定理教案新人教B版选修2-1

空间向量基本定理课题空间向量基本定理课时第1课时课型习题课教学重点共线、共面、分解定理依据：教参，教材，课程标准，高考大纲教学难点定理的应用依据：教参，教材，自主学习目标了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法..理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题..理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．理由：课程标准，高考大纲教具投影、教材，教辅教学环节教学内容教师行为学生行为设计意图时间1.课前3分钟知识点一共线向量定理与共面向量定理1．共线向量定理2．向量共面的条件(3)共面向量定理知识点二空间向量分解定理1．空间向量分解定理2．基底检查，评价总结小考结果。解读学习目标。给出标准答案2、改正错误明确本节课听课重点3分钟2.承接结果例1已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.评价、总结答疑解惑学生展示讲解，其余小组评价。学生自主探究，培养学生分析问题解决问题的意识15分钟3.做议讲评例2已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→))＋neq\o(OC,\s\up8(→))＝0，那么λ＋m＋n的值为________1、组织课堂2、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。3.要对学生不同的解题过程和答案给出准确的评价，总结。1）按小组会的人数多少，选小组代表去黑板板演并讲解2）学生用投影仪展示答案3）其余同学质疑、挑错让更多学生主动参与课堂及主动学会知识16分钟4．总结提升1．共线向量定理2．向量共面的条件3共面向量定理1、提问:本节课学习目标是否达成？2、归纳总结解题方法1、抽签小组展示讨论的结果。2、总结方法培养学生归纳总结习惯，强化知识及方法3分钟5．目标检测 D．|a|＝3检测卷巡视学生作答情况。公布答案。评价学生作答结果。小考本上作答。同桌互批。独立订正答案。检查学生对本课所学知识的掌握情况。5分钟6布置下节课自主学习任务7.板书8.课后反思阅读教材，完成课后习题完成优化学案预习测评空间向量基本定理共线向量定理与共面向量定理空间向量分解定理学生分类归纳能力有了明显提高，但计算能力和知识的综合运用能力还需提升让学生明确下节课所学，有的放矢进行自主学习。2分钟1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．②向量a、b、c共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.④若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，，c}构成空间的一个基底．A．0B．1C．2D．3B[①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a、b、c共面．]2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是()A．a B．bC．c D．无法确定C[∵a＝eq\f(1,2)p＋eq\f(1,2)q，∴a与p、q共面，∵b＝eq\f(1,2)p－eq\f(1,2)q，∴b与p、q共面，∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.]3．如图3­1­17所示，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，点M在OA上，且eq\o(OM,\s\up8(→))＝2eq\o(MA,\s\up8(→))，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up8(→))等于()图3­1­17A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB.－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cB[eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.所以应选B.]4．设O­ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))，则(x，y，z)为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))A[连接AG1交BC于E，则E为BC中点，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))，eq\o(AG1,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))，∵eq\o(OG,\s\up8(→))＝3eq\o(GG1,\s\up8(→))＝3(eq\o(OG1,\s\up8(→))－eq\o(OG,\s\up8(→)))，∴OG＝eq\f(3,4)OG1，∴eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AG1,\s\up8(→)))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up8(→))，故选A.]5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(eq\o(A1D1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→)))－eq\o(AB,\s\up8(→))；②(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))－eq\o(D1C1,\s\up8(→))；③(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))－2eq\o(DD1,\s\up8(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up8(→))＋eq\o(A1A,\s\up8(→)))＋eq\o(DD1,\s\up8(→)).其中能够化简为向量eq\o(BD1,\s\up8(→))的是()A．①② B．②③C．③④ D．①④[答案]A6．下列命题是真命题的是________(填序号)．①若A，B，C，D在一条直线上，则eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))是共线向量；②若A，B，C，D不在一直线上，则eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))不是共线向量；③若向量eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；④若向量eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．①④[①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))的方向相同或相反，因此eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))的方向不确定，不能判断eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))是否为共线向量；③为假命题，因为eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))两个向量所在的直线有公共点A，且eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.]7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.1－1[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))]8．如图3­1­18，点M为OA的中点，{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))}为空间的一个基底，eq\o(DM,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))＋zeq\o(OD,\s\up8(→))，则有序实数组(x，y，z)＝________.图3­1­18eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1))[eq\o(DM,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OD,\s\up8(→))，所以有序实数组(x，y，z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1)).]9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up8(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up8(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能否作为空间的一个基底．[解]假设eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程组无解．即不存在实数x，y，使得eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))成立，所以eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))不共面．故{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能作为空间的一个基底．10．如图3­1­19所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up8(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：图3­1­19(1)eq\o(AP,\s\up8(→))；(2)eq\o(AM,\s\up8(→))；(3)eq\o(AN,\s\up8(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up8(→)).[解]连接AC，AD′，AC′(图略)．(1)eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AD′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up8(→))＋eq\o(AD′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→)))＋(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8(→))＋2eq\o(AA′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CQ,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up8(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up8(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.[能力提升练]1.如图3­1­20，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))的化简结果为()图3­1­20A.eq\o(AF,\s\up8(→)) B．eq\o(AH,\s\up8(→))C.eq\o(AE,\s\up8(→)) D．eq\o(CF,\s\up8(→))A[∵G是△BCD的重心，∴|eq\o(GE,\s\up8(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up8(→))|，∴eq\o(GE,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→)).又eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))，∴eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\o(GE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))＋eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))，从而eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→)).]2．A、B、C不共线，对空间任意一点O，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up8(→))，则P、A、B、C四点()A．不共面 B．共面C．不一定共面 D．无法判断B[eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))＋eq\f(1,8)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up8(→))，由共面的充要条件知P、A、B、C四点共面．]3．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→))＋neq\o(OC,\s\up8(→))＝0，那么λ＋m＋n的值为________．0[∵A、B、C三点共线．∴存在唯一实数k使eq\o(AB,\s\up8(→))＝keq\o(AC,\s\up8(→))，即eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝k(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))，∴(k－1)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))－keq\o(OC,\s\up8(→))＝0.又λeq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→))＋neq\o(OC,\s\up8(→))＝0，则λ＝k－1，m＝1，n＝－k，所以λ＋m＋n＝0.]4．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up8(→))，eq\o(A1N,\s\up8(→))＝2eq\o(ND,\s\up8(→)).设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up8(→))为________．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c[如图所示，连接AN，则eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1N,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝c＋eq\f(2,3)(b－c)－eq\f(1,3)(a＋b)＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.]5．如图3­