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文档简介
2025届甘肃省武威市第一中高三第四次模拟考试数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,,则与共线的单位向量为()A. B.C.或 D.或2.在中,“”是“为钝角三角形”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数,当时,恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.4.某三棱锥的三视图如图所示,那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.05.如图,在四边形中,,,,,,则的长度为()A. B.C. D.6.已知正四面体的内切球体积为v,外接球的体积为V,则()A.4 B.8 C.9 D.277.已知,是两条不重合的直线,是一个平面,则下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则8.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品,其圆心角为120°,并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个,导线接头忽略不计),已知扇形的半径为30厘米,则连接导线最小大致需要的长度为()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米9.已知函数,其中,记函数满足条件:为事件,则事件发生的概率为A. B.C. D.10.执行如图所示的程序框图,当输出的时,则输入的的值为()A.-2 B.-1 C. D.11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则()A. B. C. D.12.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},则A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入袋中的概率为__________.14.实数,满足约束条件,则的最大值为__________.15.现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________.16.若的展开式中所有项的系数之和为,则______,含项的系数是______(用数字作答).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在国家“大众创业,万众创新”战略下,某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格试销,得到一组检测数据如表所示:试销价格(元)产品销量(件)已知变量且有线性负相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲;乙;丙,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确?(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过,则称该检测数据是“理想数据”,现从检测数据中随机抽取个,求“理想数据”的个数为的概率.18.(12分)设数列,其前项和,又单调递增的等比数列,,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的前n项和,并求证:.19.(12分)已知数列是公比为正数的等比数列,其前项和为,满足,且成等差数列.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的值.20.(12分)棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于311的为“长纤维”,其余为“短纤维”)纤维长度甲地(根数)34454乙地(根数)112116(1)由以上统计数据,填写下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.甲地乙地总计长纤维短纤维总计附:(1);(2)临界值表;1.111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828(2)现从上述41根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为,求的分布列及数学期望.21.(12分)已知函数.(1)若函数不存在单调递减区间,求实数的取值范围;(2)若函数的两个极值点为,,求的最小值.22.(10分)已知x∈R,设,,记函数.(1)求函数取最小值时x的取值范围;(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,求△ABC的面积S的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据题意得,设与共线的单位向量为,利用向量共线和单位向量模为1,列式求出即可得出答案.【详解】因为,,则,所以,设与共线的单位向量为,则,解得或所以与共线的单位向量为或.故选:D.【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.2、C【解析】分析:从两个方向去判断,先看能推出三角形的形状是锐角三角形,而非钝角三角形,从而得到充分性不成立,再看当三角形是钝角三角形时,也推不出成立,从而必要性也不满足,从而选出正确的结果.详解:由题意可得,在中,因为,所以,因为,所以,,结合三角形内角的条件,故A,B同为锐角,因为,所以,即,所以,因此,所以是锐角三角形,不是钝角三角形,所以充分性不满足,反之,若是钝角三角形,也推不出“,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件,故选D.点睛:该题考查的是有关充分必要条件的判断问题,在解题的过程中,需要用到不等式的等价转化,余弦的和角公式,诱导公式等,需要明确对应此类问题的解题步骤,以及三角形形状对应的特征.3、A【解析】
分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可.【详解】由题意,若,显然不是恒大于零,故.,则在上恒成立;当时,等价于,因为,所以.设,由,显然在上单调递增,因为,所以等价于,即,则.设,则.令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减,从而,故.故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.4、C【解析】
由三视图还原原几何体,借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图,其中,,为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选:C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图,属于基础题.5、D【解析】
设,在中,由余弦定理得,从而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,则,从而,由正弦定理得,即,从而,在中,由余弦定理得:,则.故选:D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.6、D【解析】
设正四面体的棱长为,取的中点为,连接,作正四面体的高为,首先求出正四面体的体积,再利用等体法求出内切球的半径,在中,根据勾股定理求出外接球的半径,利用球的体积公式即可求解.【详解】设正四面体的棱长为,取的中点为,连接,作正四面体的高为,则,,,设内切球的半径为,内切球的球心为,则,解得:;设外接球的半径为,外接球的球心为,则或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故选:D【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题,考查了椎体的体积公式以及球的体积公式,需熟记几何体的体积公式,属于基础题.7、D【解析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.【详解】解:选项A中直线,还可能相交或异面,选项B中,还可能异面,选项C,由条件可得或.故选:D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力,属于基础题.8、B【解析】
由于实际问题中扇形弧长较小,可将导线的长视为扇形弧长,利用弧长公式计算即可.【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分,所以每部分的弦长和弧长相差很小,可以用弧长近似代替弦长,故导线长度约为63(厘米).故选:B.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算,属于容易题.9、D【解析】
由得,分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系,由图可知,.10、B【解析】若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;若输入,则执行循环得结束循环,输出,符合题意;若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;综上选B.11、B【解析】
设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、,并设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,由韦达定理得,,,,,,,,可得,,抛物线的准线与轴交于,的面积为,解得,则抛物线的方程为,所以,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.12、D【解析】
解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合,故选:D.【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】记小球落入袋中的概率,则,又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入袋,所以有,则.故本题应填.14、10【解析】
画出可行域,根据目标函数截距可求.【详解】解:作出可行域如下:由得,平移直线,当经过点时,截距最小,最大解得的最大值为10故答案为:10【点睛】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法,基础题.15、【解析】
由题意容积,求导研究单调性,分析即得解.【详解】由题意:容积,,则,由得或(舍去),令则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时.故答案为:【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用,考查了学生数学建模,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.16、【解析】的展开式中所有项的系数之和为,,,项的系数是,故答案为(1),(2).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)乙同学正确;(2).【解析】
(1)根据变量且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点,判断出乙正确.(2)由线性回归方程得到的估计数据,计算出误差,求得“理想数据”的个数,由此利用古典概型概率计算公式,求得所求概率.【详解】(1)已知变量具有线性负相关关系,故甲不正确,,代入两个回归方程,验证乙同学正确,故回归方程为:(2)由(1)得到的回归方程,计算估计数据如下表:021212由上表可知,“理想数据”的个数为.用列举法可知,从个不同数据里抽出个不同数据的方法有种.从符合条件的个不同数据中抽出个,还要在不符合条件的个不同数据中抽出个的方法有种.故所求概率为【点睛】本小题主要考查回归直线方程的判断,考查古典概型概率计算,考查数据处理能力,属于中档题.18、(1),;(2)详见解析.【解析】
(1)当时,,当时,,当时,也满足,∴,∵等比数列,∴,∴,又∵,∴或(舍去),∴;(2)由(1)可得:,∴,显然数列是递增数列,∴,即.)19、(1)(2)【解析】
(1)由公比表示出,由成等差数列可求得,从而数列的通项公式;(2)求(1)得,然后对和式两两并项后利用等差数列的前项和公式可求解.【详解】(1)∵是等比数列,且成等差数列∴,即∴,解得:或∵,∴∵∴(2)∵∴【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查并项求和法及等差数列的项和公式.本题求数列通项公式所用方法为基本量法,求和是用并项求和法.数列的求和除公式法外,还有错位相关法、裂项相消法、分组(并项)求和法等等.20、(1)在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.(2)见解析【解析】试题分析:(1)可以根据所给表格填出列联表,利用列联表求出,结合所给数据,应用独立性检验知识可作出判断;(2)写出的所有可能取值,并求出对应的概率,可列出分布列并进一步求出的数学期望.试题解析:(Ⅰ)根据已知数据得到如下列联表:甲地乙地总计长纤维91625短纤维11415总计212141根据列联表中的数据,可得所以,在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为,的可能取值为:1,1,2,3,
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