第一节+平面向量的概念及线性运算讲义 高三数学一轮复习

第一节平面向量的概念及线性运算课标要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法、数乘运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．教学目标：理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。掌握向量的加法、减法、数乘运算，并理解其几何意义及向量共线的含义教学重点：平面向量的概念及线性运算。教学难点：向量共线定理及其应用教学过程：环节1：知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.环节2：考点强化考点1：平面向量的基本概念例1(1)(多选)下列说法正确的是()A．若a＝b，b＝c，则a＝cB．若四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是平行四边形C．若a∥b，b∥c，则a∥cD．与非零向量a共线的单位向量为±eq\f(a,|a|)(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量为()A.eq\o(BA,\s\up6(→))B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(OD,\s\up6(→))答案（1）ABD（2）D方法总结平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是与非零向量a同方向的单位向量．练习：(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是()A．若|a|＝0，则a＝0B．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb(2)(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|B.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))共线C.eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(EH,\s\up6(→))共线D.eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))答案（1）AC（2）ABD考点2：平面向量的线性运算例2.根据下列条件，判断四边形ABCD的形状例3已知P是△ABC所在平面内一点，且满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为()A．2B．3C．4D．8答案A方法总结：平面向量线性运算的解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)向量加法、减法运算中．要注意理解字母形式表示形式。练习：1若||＝4，||＝7，则|+|的取值范围是______2.下列各式化简结果正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))答案：1.[3,11]2.B考点3：共线定理及其应用例4.（1）已知任意两个非零向量a，b，,证明A,B,C三点共线.(2)已知两个非零向量a，b，向量共线，求t的值。例5.若A,B,C是平面内三个不同点，O为平面任意一点，若A、B、C三点共线，则，其逆命题也成立。方法总结：利用向量共线定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.（3）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.练习：1.已知向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线，则k＝________.2.已知平面向量a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，则()A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线3.如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN的中点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值是________．答案：1.±2eq\r(2)2.D3.eq\f(1,4)环节3：课后提升思考题：1.已知P为△ABC所在平面内一点，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2，则△ABC的面积为()A.eq\r(3)B．2eq\r(