阅读学案01　向量的由来及应用 高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

山东省高一年级阅读学案山东省高一年级阅读学案编号：01编制人：审批：----------衔接教材必修二第六章《平面向量初步》阅读目标1.通过阅读材料，知道向量的由来及与物理的密切联系。2.通过阅读材料，能用向量知识解决物理问题和几何问题阅读内容向量早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象，我国在1996年高中数学教学大纲中引入了向量。向量具有丰富的物理背景，向量既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁，是重要的数学模型。1.何为向量？向量从何而来？在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向。在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向。向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作|a|。长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段，最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。在物理中，向量就是矢量，是物理学中最重要的物理量。物理中的矢量是向量的原型，向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象。因此，向量在物理中有广泛应用是不言而喻的。向量与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。将向量这一工具应用到物理中，可以使物理问题的解决更简捷、更清晰，并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻。2.为什么“向量是自由的”?向量刻画了现实事物的两个最基本属性大小和方向,两个向量如果方向相同,那么它们平行,而平行具有可传递性,所以向量可以“自由平移”.自由的向量才有力量!例如,如果向量不自由,那么“三角形法则”和“平行四边形法则”就无法统一.由向量“自由性”,我们可以把向量平移:使所有向量的起点都与原点重合，这就可以使向量进一步代数化,将给问题的讨论带来方便。3.向量基本定理“基本”在哪里?在中学数学里,冠以“基本”的定理不多见，足见这一定理的重要性.如前所述,因为这一定理给出了用向量表示平面上任意一点的充要条件，所以从理论上讲,我们就可以凭借它将平面图形的基本元素作出向量表示,这样就可以通过向量运算解决任何几何问题.利用向量表示空间基本元素,将空间的性质和基本定理的运用转化成为向量运算律的系统运用,其要点是:点—---根据向量的自由性,选平面内的一个点О为“基准点”,以O为向量的起点,这时就可以建立起向量的终点与平面内的点之间的一一对应关系.当然﹐这个对应与О点的选取有关﹐如图6:直线----一个点A、一个方向a就定性刻画了一条直线.引进数乘向量ka,那么直线上任意一个点就可以用实数定量表示,进而得到一维向量的坐标表示.平面---一个点A、两个不平行(非0)向量a,b在“原则”上确定了平面(定性刻画,这与“两条相交直线确定一个平面”有异曲同工之效),因此把{a,b}叫做平面的一个基底.引入向量的加法a＋b,结合数乘向量(向量伸缩),平面上的任意一点X就可以表示为λa＋μb,从而成为可定量运算的对象.4.为什么要研究向量的坐标表示?一个明显而主要的理由是﹐利用向量的坐标表示,可以把向量的运算化归为其分量的运算,这样就实现了用向量表示几何基本元素﹐通过实数运算研究几何图形和图形的关系,从而也就彻底实现了几何对象的代数化.用代数方法刻画几何对象﹐进而用代数方法论证几何关系,其中间桥梁就是向