湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高三上学期数学元月调考试卷

湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高三上学期数学元月调考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．设集合A={x|log2023|x|<0}，B={x|−A．(−∞，6) C．(−1，0)∪(0，2．i是虚数单位，设复数z满足(i−1)z=|1+3i|+3i，则A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），现在向这个空石瓢壶中加入91πcm3（约A．2.8 B．2.9 C．3.0 D．3.14．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(32−x)=f(x)，f(−2)=−3A．−2 B．0 C．2 D．35．已知a=79，b=88，c=97，则A．c<a<b B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a6．双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点.已知|OA|、|A．5 B．72 C．52 7．设g1(t)和g2(t)是函数y=sin(2x+φ)在区间A．1 B．2−12 C．228．已知圆锥的底面圆半径为r，圆锥内部放有半径为1的球，球与圆锥的侧面和底面都相切，若52A．[8π3，C．[8π3，二、多选题9．已知正方体ABCD−A1B1CA．直线BP与B1B．直线BP与CDC．直线A1P与D．直线A1P与平面10．等比数列{an}的前n项和为Tn，前n项的积KnA．对任意正整数n，aB．aC．数列{TD．K11．设函数f(x)=sin(ωx+πA．f(x)在（0，2π）有且仅有3个极大值点B．f(x)在（0，2π）有且仅有2个极小值点C．f(x)在（0，π10D．ω的取值范围是[73，1712．已知函数f(x)=|x−3|⋅eA．y=f(x)在(2，B．y=f(x)恰有一个极大值和一个极小值C．当a≥0或a<−e2时，D．当a=0时，f(f(x))=0有一个实数解三、填空题13．在(x−3)4(5+y)514．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则PA⋅PB的最大值为15．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B两点（点A位于第一象限），l与C的准线交于D点，F为线段AD的中点，过抛物线上点M的直线与抛物线相切，且与直线l平行，则16．对任意正实数a，记函数f(x)=|lgx|在[a，+∞)上的最小值为ma，函数g(x)=sinπx2在[0，四、解答题17．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边a，b，c成等比数列，2cos(A−C)−2cosB=1，延长BC至点（1）∠B的大小；（2）AC⋅18．在数列{an}，{bn}中，a1=b1=1，对任意n∈N*，（1）求数列{an}（2）令Cn=|6bn+b1919．袋中有大小形状完全相同的3个白球，2个黄球，1个红球.现从袋中有放回的取球，每次随机取一个，直到红球出现3次，则停止取球，用X表示取球停止时取球的次数.（1）求P(X=3)和P(X=k)；（2）设Y=min{max20．在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE=∠AFB=90°.平面ABCD⊥平面AEBF，AB=2.（1）求多面体AEBFCD体积；（2）若点P在直线DE上，求AP与平面BCF所成角的最大值.21．如图，在平面直角坐标系，已知F1，F2分别：x2a2（1）若D为长轴AB的三等分点，求椭圆方程；（2）直线MN（不与x轴重合）过点F1且与椭圆C交于M，N两点，延长MD，ND与椭圆C交于P，Q两点，设直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2，请将k2k1表示成关于22．若函数f(x)=(x+2)ln（1）若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若ak，bk(k=1，2⋯n)

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】对集合A：log2023所以0<|x|<1，−1<x<0或0<x<1，所以A={x|−1<x<0或0<x<1}，又B={x|−1<x<6}，所以A∩B={x|−1<x<0或0<x<1}，故答案为：C

【分析】求出集合A、B，然后进行交集的运算即可得答案.2．【答案】A【解析】【解答】因为|1+3i|=1所以z=2+3i所以z=所以z的共轭复数对应的点位于第一象限，故答案为：A

【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z，再求出z在复平面内对应的点的坐标得答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：由题知矿泉水的体积为91πcm将圆台的中轴面拿出，补全为一个三角形如图所示：加入矿泉水后，记石瓢壶内水深为h，水平面半径为r，由图可知△ABC∼△AFG，所以有AB即ABAB+6解得AB=12，由△ABC∼△ADE，得ABAD即1218−h解得：h=18−3r，故加入矿泉水后圆台的体积为：V=1解得r=3所以h=18−3r=3.故答案为：C

【分析】记石瓢壶内水深为h，水平面半径为r，根据三角形相似可求得h=18−3r，再根据圆台的体积公式求出r，进而求出石瓢壶内水深.4．【答案】B【解析】【解答】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2)=−f(−2)=3，f(0)=0，且f(32−x)=−f(x−即f(x)=f(x−3)，所以3是f(x)的一个周期，所以f(2022)+f(2023)+f(2024)=f(0+3×674)+f(−2+3×675)+f(2+3×674)=f(0)+f(−2)+f(2)=0，故答案为：B

【分析】根据函数的奇偶性，结合函数的周期性进行求解，可得答案.5．【答案】D【解析】【解答】令f(则f'显然当7≤x≤9时，f'又f'e9−7∴lne9∴7≤x≤9时，f'(x∴f(9)<f(8)<f(7)，即7ln∴ln97<ln故答案为：D.

【分析】令f(x)6．【答案】A【解析】【解答】设|OA|=m−d，由勾股定理可得：(m−d)2+mtan∠AOF=由倍角公式2×tan(且12∠AOB+∠AOF=π2，则则离心率e=1+故答案为：A

【分析】由两个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，得到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出双曲线的离心率.7．【答案】C【解析】【解答】由−π2+2kπ≤2x+φ≤π2+2kπ，(k∈Z)，得−π由π2+2kπ≤2x+φ≤3π2+2kπ，(k∈Z)，得π4−函数y=sin(2x+φ)的最小正周期T=2π2=π若g1则[t，t+π4]当[t，t+π则g1(tg则当2t+φ−π4=−π2+2kπ，即则g2当[t，t+π则g1(tg1则当2t+φ−π4=π2+2kπ，即则g2综上，g2故答案为：C．

【分析】最小正周期为T=2π2=π，当区间[t，t+8．【答案】A【解析】【解答】作圆锥的轴截面，如图，截球得大圆为圆锥轴截面等腰△ABC的内切圆，圆心O在高AD中，E是腰上的切点，OE=1，设圆锥高为h，由Rt△AOE∼Rt△ACD得OECD=AOAC，即V=13π令t=r2−1r4r2−1=r4所以t=1时，t+1又t=14时，t+1t=174，t=5所以8π3故答案为：A．

【分析】截球得大圆为圆锥轴截面等腰△ABC的内切圆，圆心O在高AD中，E是腰上的切点，令t=r2−1，r9．【答案】A,C【解析】【解答】根据题意，以D为原点，以DA，DC，DD1边分别为则B(1即BC1=(−1，所以P(1−λ对于A，因为BP=(−λ，0，λ)即BP⊥对于B，因为CD1=(0，−1，1)对于C，因为A1P=(−λ，1即A1对于D，因为AC=(−1，设平面ACD1的法向量为则n⋅AC=−x+y=0n⋅C所以平面ACD1且A1P=(−λ，1，λ−1)故答案为：AC

【分析】以D为原点，以DA，DC，10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：设公比为q，首项为a1，因为K6>又K6=K7>所以数列{an}是各项为正数的等比数列且q∈(0，1)所以Tn=a1(1−则T2n+2则T2n+4所以T2n+4又T4所以数列{T2n+2−T2n因为an+12=即an故答案为：ABC

【分析】根据题意，结合等比数列的性质，逐项进行判断，可得答案.11．【答案】A,D【解析】【解答】ω>0，0≤x≤2π时，π3f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，则5π≤2ωπ+π3<6π此时ωx+π3=π2，5π2ωπ+π3≥11π2，ω≥3112x∈(0，π10)时，ωx+π3∈故答案为：AD．

【分析】由函数的零点个数和正弦函数的图象可判断A、B；由5π≤2ωπ+π12．【答案】A,B【解析】【解答】x<3时，f(x)x<2时，f'(x)>0f(x)在(x>3时，f(x)=(x−3)由上讨论知x=2是f(x)的极大值点，x=3f(2)=e2+a，f(3a=0时，f(x)=|x−3|ex，由以上讨论知故答案为：AB．

【分析】利用导数说明函数的单调性即可判断A；求出极大值点和极小值点可判断B；a>0时，得f(x)=0无实数解，可判断C；a=0时，13．【答案】-600【解析】【解答】由(x−3)4中对应x3系数为由(5+y)5中对应y所以x3y3故答案为：-600

【分析】先求出通项公式，再分别求出x3的系数和y3的系数，即可求得14．【答案】12+8【解析】【解答】如图：建立直角坐标系，设A(1，0)，即是求正八边形边上的点到原点的最大距离，显然当P点与E或F点重合时最大，连接AF，过H，G分别作AF的垂线，垂足为N，M，则△MFG和△ANH都是等腰直角三角形，∴|AF|=22+2，在△AFG中，∠AGF为钝角，|OE|2故答案为：12+82

【分析】建立直角坐标系，通过向量坐标运算得到PA→·PB15．【答案】16【解析】【解答】由题意可知：F(1，0)，准线方程为x=−1，设A因为F为线段AD的中点，所以y124于是有kl=233−1所以过M的切线方程为y=3x+b，代入方程得3xy=直线l的方程为y=3(x−13x2−10x+3=0，设B|AB|=3−(−1点M到直线l的距离为过M的切线与直线l的距离，即|3因此△MAB的面积是12故答案为：16

【分析】求出过M的切线方程为y=3x+b，与抛物线方程联立可得|AB|=163，点M到直线l的距离为过M的切线与直线16．【答案】13或【解析】【解答】f(x)和g(x)的图像如图：当0<a<1时，ma=0，Ma=sin当0<a<1时，ma故答案为：13或10

【分析】画出f(x)和g(x)的图象，分0<a<1和0<a<1两种情况进行计算，可求出a的所有可能值.17．【答案】（1）解：cos(A−C)−cos又b2=ac，则故1⇒4cos2B+4cosB−3=0⇒cos（2）解：由（1）结论，①+②得cos则∠A=∠C，故△ABC为等边三角形.设△ABC的边长为x.则0<x<5.故AC∈(0，258]，当且仅当x=5【解析】【分析】(1)先根据2cos(A−C)−2cosB=1得到cosA⋅cosC=14，①再结合a，b，c成等比数列得到sin2B=sinA⋅18．【答案】（1）解：由题意知an>0，因为an+1因为an>0，所以an+1+an≠0所以{an}设数列{bn}公差为d∴d=16，（2）解：因为Cn=|6所以当n≤7时，数列{cn}的前n当n>7时，数列{cn}的前n所以Sn【解析】【分析】（1）根据an+1=(2−1)anan+1+2an可得an+1an=2，再由等比数列的通项公式可得数列19．【答案】（1）解：P(X=3)=(当k次才停止时，必有第k次取出的是红球，前k−1中有2次取出红球，k−3次取出的是其它颜色球.所以P(X=k)=16C（2）解：当Y=4时，有X=3，4，故P(Y=4)=P(X=3)+P(X=4)=当Y=5时，有X≥5，故P(Y=5)=P(X≥5)=1−(P(X=3)+P(X=4))=于是可得E(Y)=4P(Y=4)+5P(Y=5)=2153【解析】【分析】(1)结合独立重复试验可得P(X=k)=(k−1)(k−2)⋅5k−32⋅6k，然后求解即可得P(X=3)和P(X=k)；

(2)当Y=4时，有X=3，4，当20．【答案】（1）解：在四边形AEBF中，∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE=∠AFB=90°，∴∠BAF=∠ABE=45°，∴AF∥BE，∵四边形ABCD为正方形，∴DA⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面AEBF，DA⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF=AB，∴DA⊥平面AEBF，同理AE⊥平面ABCD，取AB中点G，连接FG，则FG⊥AB，FG=12AB=1，又同理可得FG⊥V=V（2）解：如图建立空间直角坐标系，设P(0，λ，2−λ)，则B(2，0，0)，C(2，0设平面BCF的一个法向量为n=(x，y，z)令x=1，则n=(1，−1，0)，设AP与平面BCF∴sinθ=|要使sinθ最大，λ≠0，∴sinθ=|λ|∴θ≤π4，即AP与平面BCF所成角的最大值为【解析】【分析】（1）可证得DA⊥平面AEBF，同理AE⊥平面A