2024-2025学年上学期长沙高二数学期末典型卷1

第1页（共1页）2024-2025学年上学期长沙高二数学期末典型卷1一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春•长宁区校级期末）设复数z1＝﹣6+8i，z2＝5﹣9i在复平面所对应的点为Z1与Z2，则关于点Z1、Z2与以原点为圆心，10为半径的圆C的位置关系，描述正确的是（）A．点Z1在圆C上，点Z2不在圆C上 B．点Z1不在圆C上，点Z2在圆C上 C．点Z1、Z2都在圆C上 D．点Z1、Z2都不在圆C上2．（5分）下列直线l1与直线l2平行的有（）A．直线l1经过点A（2，1），B（﹣3，5），直线l2过点C（3，﹣3），D（8，﹣7） B．直线l1经过点A（0，1），B（﹣2，﹣1），直线l2过点C（3，4），D（5，2） C．直线l1经过点A（1，3），B（2，23），直线l2的倾斜角为60°且过原点 D．直线l1经过点A（0，2），B（0，1），直线l2的斜率为03．（5分）（2023秋•仁怀市校级期中）已知α的终边上有一点P（1，3），则cos（π+α）的值为（）A．13 B．1010 C．−104．（5分）（2023秋•新郑市校级月考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级d（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足d(x)=9lgx1×10−13．一般两人小声交谈时，声音的等级约为45A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍5．（5分）（2024春•余姚市校级月考）若（x﹣a）（1﹣2x）5的展开式中x3的系数为20，则a＝（）A．−14 B．14 C．−6．（5分）（2017春•陆川县校级期中）椭圆x24+y2＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍7．（5分）（2022秋•大兴区期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如图图形，其中，E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AG→=xAB→+yAD→A．25 B．45 C．18．（5分）（2020春•正定县校级月考）已知函数f（x）＝x，g（x）＝alnx，其中a＞0，若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）成立，则a＝（）A．ln22e B．2eln2 C．ln33e二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2024春•东海县校级月考）美术馆计划从6幅油画，4幅国画中，选出4幅展出，若某两幅画至少有一幅参展，则不同的参展方案有多少种？（）A．C104−CC．C93+（多选）10．（5分）（2020春•鼓楼区校级期末）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a6a7＞1，a6A．0＜q＜1 B．0＜a6a8＜1 C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6（多选）11．（5分）（2023秋•广东月考）若函数f（x）＝x3e|x|，则（）A．f（x）是奇函数 B．f（x）有2个极值点 C．f（x）有1个零点 D．f（x）的一条切线方程为y＝4ex﹣3e（多选）12．（5分）（2023秋•江岸区月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的半径为22B．两条异面直线D1C和BC1所成的角为π3C．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4D．点D到面ACD1的距离为3三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2024秋•闵行区期中）函数y＝x2+x在x＝1处的导数是．14．（5分）（2024秋•万州区期中）已知圆C：（x+2）2+（y﹣1）2＝8，直线l：4x﹣y﹣8＝0，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点P（2，3），则|MN|+|MP|的最小值为．15．（5分）（2023春•旌阳区校级月考）已知a、b、c分别为锐角△ABC的三个内角A、B、C的对边，D为BC中点，a＝2，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则AD长度的取值范围为．16．（5分）（2020秋•郑州期末）设F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l交双曲线C的右支于A、B两点，且A四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023春•芜湖县校级期中）已知函数f(x)=2sinxcosx+3cos2x，x∈（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调区间．18．（12分）（2023春•日照期末）某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由Rt△ABF，直角梯形BCEF和以C为圆心的四分之一圆弧ED构成，其中AB⊥BF，BC⊥CE，BF∥CE，且BC＝BF＝1，CE＝2，AB=72，将平面图形ADEF以（1）求该烟花的体积；（2）工厂准备将矩形PMNQ（该矩形内接于图形BDEF，M在弧DE上，N在线段EF上，PQ在AD上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设∠MCE＝θ（0＜θ≤π①请用θ表示燃料的体积V；②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系t=V19．（12分）（2023春•江门期末）如图，ABDC是平面四边形，△ABC为正三角形，BC＝CD＝4，BC⊥CD．将△ABC沿BC翻折，过点A作平面BCD的垂线，垂足为H．（1）若点H在线段BD上，求AD的长；（2）若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为31313，求二面角A﹣BC﹣20．（12分）（2023秋•高邮市月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足2a3＝a4+3，S7＝49．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=an，n为奇数2n21．（12分）（2019秋•桃城区校级月考）已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，恰好又是双曲线C：x2a2−y2（1）求抛物线E和双曲线C的标准方程；（2）已知直线l过点F，且与抛物线E交于A，B两点，以AB为直径作圆M，设圆M与y轴交于点P，Q，求∠PMQ的最大值．22．（12分）（2024•镇江开学）已知函数f（x）＝cosx+ln（1+x）﹣1．（1）判断函数f（x）在区间(0，π（2）若f（x）≤ax恒成立，求实数a．

2024-2025学年上学期长沙高二数学期末典型卷1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春•长宁区校级期末）设复数z1＝﹣6+8i，z2＝5﹣9i在复平面所对应的点为Z1与Z2，则关于点Z1、Z2与以原点为圆心，10为半径的圆C的位置关系，描述正确的是（）A．点Z1在圆C上，点Z2不在圆C上 B．点Z1不在圆C上，点Z2在圆C上 C．点Z1、Z2都在圆C上 D．点Z1、Z2都不在圆C上【考点】复数对应复平面中的点．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】由复数的几何意义，以及点与圆的位置关系的判断可得结论．【解答】解：复数z1＝﹣6+8i，z2＝5﹣9i在复平面所对应的点为Z1（﹣6，8），Z2（5，﹣9），由于（﹣6）2+82＝102，52+（﹣9）2≠102，可得点Z1在圆C上，点Z2不在圆C上，故选：A．【点评】本题考查复数的几何意义，以及点圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．2．（5分）下列直线l1与直线l2平行的有（）A．直线l1经过点A（2，1），B（﹣3，5），直线l2过点C（3，﹣3），D（8，﹣7） B．直线l1经过点A（0，1），B（﹣2，﹣1），直线l2过点C（3，4），D（5，2） C．直线l1经过点A（1，3），B（2，23），直线l2的倾斜角为60°且过原点 D．直线l1经过点A（0，2），B（0，1），直线l2的斜率为0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】根据两直线平行时的斜率关系求解．【解答】解：对于选项A：直线l1的斜率k1=−45，直线l2的斜率k2∵k1＝k2，且两直线不重合，∴l1∥l2，对于选项B：直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝﹣1，∵k1≠k2，∴l1与l2不平行，对于选项C：直线l1的斜率k1=3，方程为y=直线l2的斜率k2=3，方程为y=∴两直线重合，对于选项D：直线l1的方程为x＝0，直线l2的斜率为0，∴l1⊥l2，故选：A．【点评】本题主要考查了两直线平行的位置关系，是基础题．3．（5分）（2023秋•仁怀市校级期中）已知α的终边上有一点P（1，3），则cos（π+α）的值为（）A．13 B．1010 C．−10【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】C【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算．【解答】解：因为α的终边上有一点P（1，3），所以cosα=1可得cos(π+α)=−cosα=−10故选：C．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．4．（5分）（2023秋•新郑市校级月考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级d（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足d(x)=9lgx1×10−13．一般两人小声交谈时，声音的等级约为45A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音强度即可比较得解．【解答】解：∵声音的等级式d（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足d(x)=9lgx又∵老师的声音的等级约为63dB，∴63=9lgx10−13，解得x＝10﹣6，即老师的声音强度约为10﹣6W∵两人交谈时的声音等级大约为45dB，∴45=9lgx10−13，解得x＝10﹣8，即两人交谈时的声音强度约为10﹣8W∴老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的10故选：C．【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．5．（5分）（2024春•余姚市校级月考）若（x﹣a）（1﹣2x）5的展开式中x3的系数为20，则a＝（）A．−14 B．14 C．−【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数求出结果．【解答】解：根据（1﹣2x）5的展开式Tr+1=C当与x配对时，展开式中x3的系数为C5当与﹣a配对时，展开式中x3的系数为C5故40+80a＝20，解得a=−1故选：A．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．6．（5分）（2017春•陆川县校级期中）椭圆x24+y2＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍【考点】椭圆的几何特征．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】D【分析】椭圆x24+y2＝1，a＝2，b＝1，|PF1|+|PF2＝4．由线段PF1的中点E在y轴上，O为F1F2的中点，可得PF2∥OE．求出|PF2|=b【解答】解：∵椭圆x24+y2＝1，∴a＝2，b＝1，|PF1|+|∵线段PF1的中点E在y轴上，O为F1F2的中点，∴PF2∥OE．∴|PF2|=b2a=12∴|PF1|＝7|PF2|，故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2022秋•大兴区期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如图图形，其中，E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AG→=xAB→+yAD→A．25 B．45 C．1【考点】平面向量的基本定理．【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，得到AG→=45AB【解答】解：∵AG→=AB=AB∵EFGH是平行四边形，∴AG→∴AG→∴AG→∵AG→=xAB→∴x=45，y∴2x+y=8故选：D．【点评】本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．8．（5分）（2020春•正定县校级月考）已知函数f（x）＝x，g（x）＝alnx，其中a＞0，若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）成立，则a＝（）A．ln22e B．2eln2 C．ln33e【考点】利用导数研究函数的最值．【专题】函数思想；转化思想；构造法；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】由f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）得f(x1)g(x1)=g(x2)f(x2)，令ℎ(x)=f(x1)g(x1)，u(x)=g(x2)f(x2)所以ℎ(x)=xalnx【解答】解：由f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2），得f(x令ℎ(x)=f(所以ℎ(x)=x而ℎ′(x)=lnx−1令h′（x）＝0，得x＝e，所以2≤x≤e，h′（x）≤0，e≤x≤3，h′（x）≥0，所以h（x）在（2，e）上单调递减，在（e，3）上单调递增，而ℎ(e)=ea，ℎ(2)=2aln2所以h（x）在[2，3]上的值域为[e又u′(x)=a(1−lnx)x2，令u′（x）＝0，得x所以2≤x≤e，u′（x）≥0，e≤x≤3，u′（x）≤0，所以u（x）在（2，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，而u(e)=ae，u(2)=aln22所以u（x）在[2，3]上的值域为[aln2因为∀x1∈[2，3]，∃x2∈[2，3]所以h（x）的值域为u（x）的值域的子集，所以ea故选：B．【点评】本题考查函数的存在和任意的问题，关键在于构造函数，并对其求导，得出导函数的正负，从而得出原函数的单调性，继而得出其值域的包含关系，属于中档题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2024春•东海县校级月考）美术馆计划从6幅油画，4幅国画中，选出4幅展出，若某两幅画至少有一幅参展，则不同的参展方案有多少种？（）A．C104−CC．C93+【考点】排列组合的综合应用．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】ABC【分析】采用间接法或分类研究．【解答】解：对于A，从对立面考虑，这两幅画一幅也没参展有C8则至少一幅参展方案为C104−对于C，将该两幅画分别记为甲、乙，若甲参展，则不需要考虑乙的参展情况，有C9若甲不参展，则乙必须参展，需要在剩余8幅画中再选3幅，有C8故满足题意的方案有C93+对于B，若两幅中只有一幅参展，有C2若两幅都参展，有C2则共有方案C21C对于D，C104−2故选：ABC．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．（多选）10．（5分）（2020春•鼓楼区校级期末）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a6a7＞1，a6A．0＜q＜1 B．0＜a6a8＜1 C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6【考点】等比数列的性质．【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】由条件a1＞1，a6a7＞1，a6−1a7−1＜0，可得：1＜【解答】解：由条件a1＞1，a6a7＞1，a6可得：1＜a6，0＜a7＜1．∴a7a6=q∈（0，1），a6a8=a72∈（0，1），Sn则下列结论正确的是ABD．故选：ABD．【点评】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（多选）11．（5分）（2023秋•广东月考）若函数f（x）＝x3e|x|，则（）A．f（x）是奇函数 B．f（x）有2个极值点 C．f（x）有1个零点 D．f（x）的一条切线方程为y＝4ex﹣3e【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．【答案】ACD【分析】根据函数奇偶性定义判断A选项，根据导函数正负确定函数单调性及极值点判断B，C选项，求导数可得切线斜率再根据点斜式写出切线方程判断D选项．【解答】解：A选项，由题意，f（﹣x）＝（﹣x）3e|﹣x|＝﹣x3e|x|＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，故A正确；当x≥0时，f′（x）＝3x2ex+x3ex＝exx2（3+x）≥0，故此时f（x）单调递增，又f（x）是奇函数，所以当x＜0时，f（x）单调递增，f（x）在x＝0处图象不间断，因此f（x）在R上单调递增，且f（0）＝0，故f（x）有1个零点，无极值点，故B错误，C正确；D选项，由题意设f（x）在（x0，f（x0））处的切线斜率k=f′(x0)=x因此f（x）在这两点处的切线方程分别为y＝4ex﹣3e，y＝4ex+3e，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了函数奇偶性，单调性的判断与应用，还考查了函数零点个数的判断及导数几何意义的应用，属于中档题．（多选）12．（5分）（2023秋•江岸区月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的半径为22B．两条异面直线D1C和BC1所成的角为π3C．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4D．点D到面ACD1的距离为3【考点】点、线、面间的距离计算；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征；球外切几何体；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】BC【分析】对于A：根据条件，易求内切球的半径判断A；对于B：根据条件，可得异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C，然后求出∠AD1C即可；对于C：可证B1C⊥平面ABC1D1，则直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1；对于D：对于C：根据等体积转换VD−ACD1=VD【解答】解：对于A项，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的半径即为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长的一半，即R=12，故对于B项，如图，连接AC、CD1，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，则四边形ABC1D1为平行四边形，BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角的大小即等于直线D1C和AD1所成的角∠AD1C的大小，又AC=AD1=D1C=2，则△对于C项，如图，连接B1C，在正方形BB1C1C中，BC1⊥B1C，因为AB⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1C，又AB∩BC1＝B，AB⊂平面ABC1D1，BC1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，所以直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1=对于D项，如图，设点D到面ACD1的距离为h，因为△ACD1为正三角形，所以S△ACD1=12×AC×AD1•sinπ3=3根据等体积转换可知：VD−ACD1=VD2−ACD，即13即13×ℎ×32=故选：BC．【点评】本题主要考查了空间角、空间距离的计算，几何体的外接球问题，属于中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2024秋•闵行区期中）函数y＝x2+x在x＝1处的导数是3．【考点】基本初等函数的导数．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】3．【分析】利用求导公式以及求导法则，求得导函数，代入数值，可得答案．【解答】解：由题意可知，y′＝2x+1，当x＝1时，y′＝2×1+1＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．14．（5分）（2024秋•万州区期中）已知圆C：（x+2）2+（y﹣1）2＝8，直线l：4x﹣y﹣8＝0，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点P（2，3），则|MN|+|MP|的最小值为22．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；分析法；直线与圆；逻辑思维．【答案】22【分析】易知，点P与圆在直线l的同侧，先求出P关于直线l的对称点P′，然后将问题转化为圆上的点到点P′距离最小的问题求解．【解答】解：圆C的圆心C（﹣2，1），半径r=22点C到直线l的距离d=|4×(−2)−1−8|42+1=将点C（﹣2，1）代入直线l的方程左侧得：﹣17＜0，点P（2，3）坐标代入直线l方程左侧得﹣3＜0，所以圆C与点P在直线l的同侧，设P关于l的对称点为P′（a，b），则4×a+2解得a=5817，b=45所以|P′C|=(5817所以|MN|+|MP|＝|MN|+|MP′|≥|P′N|≥|P′C|−22=2故答案为：22【点评】本题考查对称问题、点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系等，属于中档题．15．（5分）（2023春•旌阳区校级月考）已知a、b、c分别为锐角△ABC的三个内角A、B、C的对边，D为BC中点，a＝2，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则AD长度的取值范围为(213【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】(【分析】利用正弦定理与余弦定理可求cosA，由平面向量的线性运算和数量积，可得|AD【解答】解：由正弦定理及（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC得，（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，整理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，cosA=b因为0＜A＜π，所以A=π由正弦定理得，bsinB所以bc==4因为锐角△ABC，所以0＜B＜π20＜C=所以2B−π所以sin(2B−π所以bc的取值范围为(8因为D为BC中点，所以AD→所以|AD因为b2+c2﹣a2＝bc，所以|AD故答案为：(21【点评】本题考查解三角形与三角函数的综合应用，熟练掌握正余弦定理，三角恒等变换公式，正弦函数的图象与性质，平面向量的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16．（5分）（2020秋•郑州期末）设F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l交双曲线C的右支于A、B两点，且AF1【考点】双曲线与平面向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】173【分析】由题意，设|AF2|＝m，则|BF2|＝2m，利用勾股定理，求出a，m的关系，再利用勾股定理确定a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，设|AF2|＝m，|AF2||BF2∴|AF1|＝2a+m，|BF1|＝2a+2m，∵AF2⊥AF1，∴（2a+2m）2＝（2a+m）2+（3m）2，∴m=23∵（2c）2＝（2a+m）2+（m）2，∴e=c故答案为：173【点评】本题考查双曲线的离心率，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023春•芜湖县校级期中）已知函数f(x)=2sinxcosx+3cos2x，x∈（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调区间．【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】（1）π；（2）单调递增区间为[kπ−5π12，kπ+【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）利用整体代换的方法，分别计算2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π【解答】（1）解：f(x)=2sinxcosx+3所以函数f（x）的最小正周期T=2π（2）令2kπ−π2≤2x+∴f（x）的单调递增区间为[kπ−5π令2kπ+π2≤2x+∴f（x）的单调递减区间为[kπ+π【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，还考查了正弦函数的单调性的应用，属于中档题．18．（12分）（2023春•日照期末）某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由Rt△ABF，直角梯形BCEF和以C为圆心的四分之一圆弧ED构成，其中AB⊥BF，BC⊥CE，BF∥CE，且BC＝BF＝1，CE＝2，AB=72，将平面图形ADEF以（1）求该烟花的体积；（2）工厂准备将矩形PMNQ（该矩形内接于图形BDEF，M在弧DE上，N在线段EF上，PQ在AD上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设∠MCE＝θ（0＜θ≤π①请用θ表示燃料的体积V；②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系t=V【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；空间位置关系与距离；逻辑思维；直观想象；运算求解．【答案】（1）V=53π（2）①V＝π|MP|2•|PQ|＝8πcos2θ（1+sinθ﹣cosθ）；（2）2π．【分析】（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，求解体积，即可得到结果．（2）①求解PQ，然后通过V＝π|MP|2•|PQ|求解即可．（2）t=V【解答】解：（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，又V半球=12×所以该烟花的体积V=16π（2）①由图可知：PM＝NQ＝2cosθ，PC＝2sinθ，在梯形BCEF中，由CE＝2，BF＝BC＝1，易知∠CEF=π4，故CQ＝2﹣2cos则PQ＝CP+CQ＝2+2sinθ﹣2cosθ，所以V＝π|MP|2•|PQ|＝8πcos2θ（1+sinθ﹣cosθ）．②由上问可知：t=即t==8π(si令m=tanθ2，则上式即为t=8π(又令n＝8m﹣1，n∈(−1，833当n＝0时，t＝π，当﹣1＜n＜0时，t＜π，当n＞0时，t=π[1+n当且仅当n=9n，即n＝3，即该烟花燃烧的最长时间为2π．【点评】本题考查几何体体积的求解，函数的最值的求法，考查换元法以及基本不等式的应用，是难题．19．（12分）（2023春•江门期末）如图，ABDC是平面四边形，△ABC为正三角形，BC＝CD＝4，BC⊥CD．将△ABC沿BC翻折，过点A作平面BCD的垂线，垂足为H．（1）若点H在线段BD上，求AD的长；（2）若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为31313，求二面角A﹣BC﹣【考点】二面角的平面角及求法．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；数学建模；运算求解．【答案】（1）4；（2）12【分析】（1）由AH⊥平面BCD得AH⊥BD，AH⊥CH，结合勾股定理可得BH＝CH，从而BH＝CH＝DH，H为BC中点，由勾股定理计算可得AD；（2）方法一：当点H在△BCD内部，知AH⊥平面BCD，则AH⊥BC，设O是BC的中点，AO⊥BC，得BC⊥平面AOH，BC⊥OH，则∠AOH为二面角A﹣BC﹣D的平面角．利用等体积法得：VA﹣BCD＝VB﹣ACD，求得AH，从而得出答案；方法二：由点H在△BCD内部，知AH⊥平面BCD，∠AOH为二面角A﹣BC﹣D的平面角．过点H作HN∥BC交CD于N，可证得CD⊥平面AHN，平面ACD⊥平面AHN，过点H作HQ⊥AN，交AN于点Q，则HQ⊥平面ACD，由直线AB与平面ACD所成的角，求得HQ，进而出AH，OH，即可得解．【解答】解：（1）∵AH⊥平面BCD，BD，CH⊂平面BCD，∴AH⊥BD，AH⊥CH，∴在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，在Rt△ACH中，AH2+CH2＝AC2，∵AB＝AC，∴BH＝CH，由于△BCD为等腰直角三角形，∴BH＝CH＝DH，H为BC中点，在Rt△ACH中由勾股定理得，AH2＝AC2﹣CH2＝16﹣8＝8，∴AH=22在Rt△ADH中由勾股定理得，AD2＝AH2+DH2＝8+8＝16，∴AD＝4；（2）方法一：当点H在△BCD内部，知AH⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，则AH⊥BC，设O是BC的中点，连接OH，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，∵AO∩AH＝A，AO，AH⊂平面AOH，∴BC⊥平面AOH，∵OH⊂平面AOH，∴BC⊥OH，∴∠AOH为二面角A﹣BC﹣D的平面角，设B点到平面ACD的距离为hB，则ℎB过H点作HN∥BC，连接AN，由AH⊥平面BCD，AB＝AC，∴HB＝HC⇒H在BC的中垂线上，设AH＝h，则AN=ℎ由等体积法得：VA﹣BCD＝VB﹣ACD，∴13S△BCD∴BC•AH＝AN•hB，解得h＝3，所以OH=3∴cos∠AOH=OH方法二：当点H在△BCD内部，知AH⊥平面BCD，此时H在线段OM（不含端点）上，∵AO⊥BC，OM⊥BC，∴∠AOH为二面角A﹣BC﹣D的平面角，由于CD⊂平面BCD，AH⊥CD，过点H作HN∥BC交CD于N，连接AN，HD，AE，∵CD⊥BC，∴HN⊥CD，又因为AH∩HN＝H，∴CD⊥平面AHN，∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面AHN，过点H作HQ⊥AN，交AN于点Q，又平面ACD∩平面AHN＝AN，∴HQ⊥平面ACD，设α为直线AB与平面ACD所成的角，则点B到平面ACD的距离为2HQ，sinα=2HQAB=在Rt△AHN中，可设AH=x，AN=4+由于AN⋅HQ=AH⋅HN⇒x2+4在Rt△AOH中，OH=A所以cos∠AOH=OH【点评】本题考查平面图形翻折为空间几何体类型，涉及到求线段长，求二面角的余弦值等知识，属中档题．20．（12分）（2023秋•高邮市月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足2a3＝a4+3，S7＝49．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=an，n为奇数2n【考点】数列求和的其他方法．【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）1409．【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{an}的首项和公差，从而求得an；（2）利用分组求和法求得T10．【解答】解：（1）依题意，设数列{an}的公差为d，因为2a3=解得：a1所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）因为bn所以bn所以T12＝b1+b2+⋯+b9+b10＝1+22+5+24+⋯+17+210＝（1+5+⋯+17）+（22+24+⋯+210）=5×(1+17)【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了分组求和法求数列的前n项和，属于中档题．21．（12分）（2019秋•桃城区校级月考）已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，恰好又是双曲线C：x2a2−y2（1）求抛物线E和双曲线C的标准方程；（2）已知直线l过点F，且与抛物线E交于A，B两点，以AB为直径作圆M，设圆M与y轴交于点P，Q，求∠PMQ的最大值．【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】分类讨论；方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由双曲线C过点(1，22)，且其离心率为2．可得1a2−12b2=1，ca=2，c2＝a2+b2（2）①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为：x＝1．此时A（1，2），B（1，﹣2）．⊙M的方程为：（x﹣1）2+y2＝4．可得∠PMQ．②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），由题意可得：k≠0．联立化为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系可得|AB|＝x1+x2+2．设⊙M的半径为r，r=|AB|2．过点M作MN⊥PQ，垂足为N．在Rt△PMN中，cos∠PMN=|MN||MP|=【解答】解：（1）由双曲线C过点(1，22)∴1a2−12b2=1，ca=联立解得：a2=12=b2∴双曲线C的标准方程为：2x2﹣2y2＝1．由c＝1，可得p2=1，解得∴抛物线的标准方程为：y2＝4x．（2）①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为：x＝1．此时A（1，2），B（1，﹣2）．⊙M的方程为：（x﹣1）2+y2＝4．可得P（0，3），Q（0，−3）．∠PMQ=②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），由题意可得：k≠0．联立y=k(x−1)y2=4x，化为：k2x2﹣（2k2+4）x+设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=2k2+4k2xM=x∴|AB|＝x1+x2+2=4设⊙M的半径为r，则r=|AB|过点M作MN⊥PQ，垂足为N．在Rt△PMN中，cos∠PMN=|MN||MP|=∴∠PMN∈（0，π3），则∠PMQ∈（0，2π综上可得：∠PMQ的最大值为2π3【点评】本题考查了双曲线与抛物线的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）（2024•镇江开学）已知函数f（x）＝cosx+ln（1+x）﹣1．（1）判断函数f（x）在区间(0，π（2）若f（x）≤ax恒成立，求实数a．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；分类法；转化法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）f（x）在(0，π2)【分析】（1）令ℎ(x)=f′(x)=−sinx+11+x，可得ℎ′(x)=−cosx−1(x+1)2，当x∈(0，π2)时，h′（x）＜0，则f′（x）在(0，π2)上单调递减，结合f′(0)＞0，f′(（2）由f（x）≤ax，得cosx+ln（1+x）﹣ax﹣1≤0，令g（x）＝cosx+ln（1+x）﹣ax﹣1，x∈（﹣1，+∞），则g（0）＝0，只需x＝0是g（x）的一个极大值点，由g′（0）＝1﹣a＝0，解得a＝1，从而证明当a＝1时，g（x）＝cosx+ln（1+x）﹣x﹣1≤0恒成立．【解答】解：（1）由f（x）＝cosx+ln（1+x）﹣1，可得f′(x)=−sinx+1令ℎ(x)=f′(x)=−sinx+11+x，则因为x∈(0，π2)，所以cosx＞0，（x+1）2＞0，则h所以f′（x）在(0，πf′(0)=1＞0，f′(π2)=−1+1π2+1＜0且f（由零点存在定理知存在唯一零点x0∈(0，π2)，使所以x∈（0，x0）时，f′（x0）＞0，f（x）在（0，x0）单调递增；x∈(x0，π2)时，f′（x0）＜0，所以f（x）在(0，π因为x∈（0，x0）时，f（x）＞f（0）＝0，则x∈（0，x0）时，f（x）无零点．又因为f（x0）＞f（0）＝0，且f(π因为f（x）在(x0，π2)单调递减，则存在唯一零点x所以f（x）在(0，π（2）令g（x）＝f（x）﹣ax＝cosx+ln（1+x）﹣ax﹣1，x∈（﹣1，+∞），由g（x）≤0恒成立，得g（x）max≤0．因为g（0）＝0，g（x）图象在定义域上连续不间断，只需x＝0是g（x）的一个极大值点．因为g′(x)=−sinx+11+x−a，则g′（0）＝1﹣a下证：当a＝1时，g（x）＝cosx+ln（1+x）﹣x﹣1≤0恒成立．因为g′(x)=−sinx+1当x∈（﹣1，0]时，−sinx≥0，−x所以g（x）≤g（0）＝0．当x∈[0，+∞）时，g（x）＝（cosx﹣1）+[ln（x+1）﹣x]，令φ(x)=ln(1+x)−x，x∈[0，+∞)，φ′(x)=1则φ（x）在[0，+∞）单调递减，则φ（x）≤φ（0）＝0．ln（1+x）﹣x≤0，又因为cosx﹣1≤0，所以当x∈[0，+∞）时，g（x）＝（cosx﹣1）+[ln（1+x）﹣x]≤0，综上，当a＝1时，f（x）≤ax恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点与方程根的关系，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．

考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．3．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα=y2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．45B．35C．−35分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r=x∴cosα=x故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．4．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2π【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为π③利用图象．图象重复的x的长度．5．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．6．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ7．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．8．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=kx（k＞0）型，增长特点是y随③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y=14000分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%=14A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤14D中，函数y=14000x2，易知满足①，当x＝400时，故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x=kt+1（（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x=k且当t＝0时，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x=2生产成本为32x+3，每件售价32所以，y=[3＝16x−t2+（2）因为32t+1+t+12≥8所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．9．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn=a1(1−qn)1−q，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或⇔a1＜0q＞1{an}是递减数列；q＝1【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．10．数列求和的其他方法【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】除了常用的方法外，还有其他数列求和的技巧，如变换法、分组法等．﹣变换法：通过对数列进行变换，使其成为已知形式的数列．﹣分组法：将数列项分组，利用分组结果求和．﹣应用：适用于处理复杂的数列和问题，特别是涉及多个数列项的求和．【命题方向】常见题型包括利用其他方法计算数列的前n项和，结合具体数列进行分析．已知数列{an}，Sn为{an}的前n项和，其中a1＝﹣1010，an+1=an+3，n为奇数a解：因为an+1=a∴a1＝﹣1010，a2＝a1+3＝﹣1007，a3＝a2﹣1＝﹣1008，a4＝a3+3＝﹣1005，a5＝a4﹣1＝﹣1006，a6＝a5+3＝﹣1003，a7＝a6﹣1＝﹣1004，……，∴a2+a3＝﹣2015，a4+a5＝﹣2011，a6+a7＝﹣2007，……，令bn＝a2n+a2n+1，则数列{bn}是以﹣2015为首项，4为公差的等差数列，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1010＝1010×（﹣2015）+1010×1009又∵T1010＝a2+a3+a4+a5+……+a2020+a2021，∴S2021＝T1010+a1＝3030﹣1010＝2020．11．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g(x)]′=3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx−2x)′=对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)′=故选C．12．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．13．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．14．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．15．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．16．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2R③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S=12a•ha（ha表示边2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．17．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2R③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题