2024-2025学年上学期合肥高二数学期末典型卷1

第1页（共1页）2024-2025学年上学期合肥高二数学期末典型卷1一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝2，n2a4（n+1）2a2（n+1）an+nan+1＝0，则（）A． B． C．22021 D．220222．（5分）（2017•闵行区校级开学）已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1代表的曲线是椭圆”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件3．（5分）（2023秋•房山区期中）已知直线l1：2x+（a﹣1）y+a＝0与直线l2：ax+y+2＝0平行，则a的值为（）A．﹣1或2 B． C．2 D．﹣14．（5分）（2019•荆州三模）已知在数列{an}中，an＝an﹣1+1（n∈N*且n≥2），设Sn为{an}的前n项和，若S9＝72，则a9＝（）A．8 B．12 C．16 D．365．（5分）（2023春•辽宁期中）已知函数（其中a∈R，e为自然对数底数）在x＝1处取得极小值，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞﹣e C．﹣e≤a＜0 D．a＜﹣e6．（5分）（2020秋•柯桥区期末）已知双曲线C：左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交双曲线左支于P，交渐近线于点Q，且F1Q⊥F2Q，若|PQ|＝2|PF1|，则双曲线的离心率为（）A． B． C．1 D．17．（5分）（2023秋•安徽月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为BC的中点，则三棱锥M﹣A1BD的外接球的表面积为（）A．7π B．9π C．11π D．13π8．（5分）已知x、y、z∈（0，1），且满足e2x＝2ex，e3y＝3ey，e4z＝4ez，则（）A．x＜y＜z B．x＜z＜y C．z＜y＜x D．z＜x＜y二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2023秋•天宁区校级期中）已知点P为圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上一点，点Q（1，2）在圆O外，若满足∠OQP＝45°的点P有且只有4个，则圆的半径r可以取（）A． B． C．2 D．（多选）10．（5分）（2024春•海珠区校级月考）已知x＝1和x＝3是函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x+k（a，b∈R）的两个极值点，且函数f（x）有且仅有两个不同零点，则k值为（）A． B． C．﹣1 D．0（多选）11．（5分）过点E（2，0）的直线交抛物线C：y2＝2px（p＞0）于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线l：x＝﹣1，O为坐标原点，直线OA和OB分别交l于点C，D，记△OCD、△OAB的面积分别为S1，S2，若OA⊥OB，则（）A．p＝1 B．x1x2＝2 C．S2＝4S1 D．S1+S2的最小值为5（多选）12．（5分）（2023秋•江西月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面BCC1B1内（含边界）一点，则（）A．若D1P⊥平面A1C1D，则点P与点B重合 B．以D为球心，为半径的球面与截面ACD1的交线的长度为 C．若P为棱BC中点，则平面D1EP截正方体所得截面的面积为 D．若P到直线A1B1的距离与到平面CDD1C1的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021秋•浙江期中）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．现有阳马P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角的大小为．14．（5分）（2023秋•安顺期末）已知等比数列{an}满足a1•a2•a3＝27，则a2＝．15．（5分）（2023秋•孝义市期中）已知圆M经过点（0，2），（0，4），且圆心M在直线2x﹣y﹣1＝0上，则圆M的方程为．16．（5分）（2022春•工业园区校级期中）已知a＞0，b∈R，若关于x的不等式恒成立，则的最小值为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2024春•沈阳期中）已知正项等差数列{an}，Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝2，S3＝12，设数列{bn}满足n．（1）分别求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）将数列{an}中与数列{bn}相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Tn，求T100．18．（12分）（2023秋•常州期中）已知动圆P与圆M：（x+3）2+y2＝1外切，与圆N：（x﹣3）2+y2＝81内切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）求的取值范围．19．（12分）（2024•大武口区校级一模）如图所示，直角梯形PABC中，AB∥PC，∠B＝90°，D为PC上一点，且AB＝PA＝PD＝2DC＝2，将PAD沿AD折起到SAD位置．（1）若SD⊥CD，M为SD的中点，求证：平面AMB⊥平面SAD；（2）若，求平面SAD与平面SBC夹角的余弦值．20．（12分）（2024•宝鸡模拟）已知函数．（1）当m＝﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）已知x＞0，求证：当m≥1时，f（x）＜0恒成立；（3）设m＞0，求证：当函数f（x）恰有一个零点时，该零点一定不是函数的极值点．21．（12分）（2021春•碑林区校级期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n+1，Sn+3）在抛物线y＝x2上．（1）求an；（2）求数列{|an﹣9|}的前n项和Tn．22．（12分）（2022秋•南岗区校级期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过点F2与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且△F1PF2的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A（3，0）的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆C交于点E，且EF1⊥x轴，过点S的另一直线与椭圆C交于M、N两点，若S△SMA＝3S△SEN，求MN所在的直线方程．

2024-2025学年上学期合肥高二数学期末典型卷1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝2，n2a4（n+1）2a2（n+1）an+nan+1＝0，则（）A． B． C．22021 D．22022【考点】数列递推式．【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】C【分析】由n2a4（n+1）2a2（n+1）an+nan+1＝0，即[nan+1+2（n+1）an+1][nan+1﹣（n+1）an]＝0，又数列{an}的各项均为正数，则nan+1＝2（n+1）an，则，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，然后求解即可．【解答】解：由n2a4（n+1）2a2（n+1）an+nan+1＝0，则[nan+1+2（n+1）an][nan+1﹣2（n+1）an]+[nan+1﹣2（n+1）an]＝0，即[nan+1+2（n+1）an+1][nan+1﹣（n+1）an]＝0，又数列{an}的各项均为正数，则nan+1+2（n+1）an+1＞0，则nan+1＝2（n+1）an，则，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，即，即，故选：C．【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题．2．（5分）（2017•闵行区校级开学）已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1代表的曲线是椭圆”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】椭圆的几何特征；充分条件与必要条件．【专题】对应思想；转化法；简易逻辑．【答案】B【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2＝1的曲线不一定是椭圆，例如：当m＝n＝1时，方程mx2+ny2＝1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题．3．（5分）（2023秋•房山区期中）已知直线l1：2x+（a﹣1）y+a＝0与直线l2：ax+y+2＝0平行，则a的值为（）A．﹣1或2 B． C．2 D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】由两条直线平行，可得参数的关系，进而求出a的值．【解答】解：直线l1：2x+（a﹣1）y+a＝0与直线l2：ax+y+2＝0平行，所以2×1＝a（a﹣1），且2×2≠a2，解得a＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查平行直线的性质的应用，属于基础题．4．（5分）（2019•荆州三模）已知在数列{an}中，an＝an﹣1+1（n∈N*且n≥2），设Sn为{an}的前n项和，若S9＝72，则a9＝（）A．8 B．12 C．16 D．36【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】B【分析】推导出数列{an}是以1为公差的等差数列，S99a5＝72，解得a5＝8．由此能求出a9．【解答】解：∵在数列{an}中，an＝an﹣1+1（n∈N*且n≥2），∴an﹣an﹣1＝1，∴数列{an}是以1为公差的等差数列，∵Sn为{an}的前n项和，S9＝72，∴S99a5＝72，解得a5＝8．∴a9＝a5+4＝12．故选：B．【点评】本题考查等差数列第9项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）（2023春•辽宁期中）已知函数（其中a∈R，e为自然对数底数）在x＝1处取得极小值，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞﹣e C．﹣e≤a＜0 D．a＜﹣e【考点】由函数的极值求解函数或参数．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】B【分析】对函数f（x）求导，得到f'（x）＝（ex+a）（ex﹣e），若a≥0，满足在x＝1处取得极小值，若a＜0，令f'（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），只需ln（﹣a）＜1就满足在x＝1处取得极小值，求解即可．【解答】解：由，得f'（x）＝e2x+（a﹣e）ex﹣ae＝（ex+a）（ex﹣e），当a≥0时，ex+a＞0，由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得x＜1，∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，则f（x）在x＝1取得极小值；当a＜0时，令f'（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），为使f（x）在x＝1取得极小值，则有ln（﹣a）＜1，∴﹣e＜a＜0．综上可得：a＞﹣e．故选：B．【点评】本题考查了函数的极值，考查了利用导数求函数的单调性，属于中档题．6．（5分）（2020秋•柯桥区期末）已知双曲线C：左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交双曲线左支于P，交渐近线于点Q，且F1Q⊥F2Q，若|PQ|＝2|PF1|，则双曲线的离心率为（）A． B． C．1 D．1【考点】求双曲线的离心率．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．【答案】A【分析】由F1Q⊥F2Q，得出|OQ|＝c，求出点Q坐标，再利用|PQ|＝2|PF1|，表示出点P坐标，代入双曲线方程得关于a，b，c的等式，变形后可求得e．【解答】解：因为F1Q⊥F2Q，O是F1F2中点，所以|OQ|＝c，设Q（x，y）（x＞0，y＞0），则，又a2+b2＝c2，解得，即Q（a，b），|PQ|＝2|PF1|，则2，所以（xP﹣a，yP﹣b）＝2（﹣c﹣xP，﹣yP），解得，又P在双曲线上，所以1，解得e（舍去），故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于a，c的关系式，属于中档题．7．（5分）（2023秋•安徽月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为BC的中点，则三棱锥M﹣A1BD的外接球的表面积为（）A．7π B．9π C．11π D．13π【考点】球的表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，设外接球球心坐标为（x，y，z），由题意可得，计算可求外接球的半径，进而可求三棱锥M﹣A1BD的外接球的表面积．【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（2，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），M（1，2，0），设外接球球心坐标为（x，y，z），则球心到D，A1，B，M四点的距离相等，都等于半径R，即，解得，故外接球的半径为，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝11π．故选：C．【点评】本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，属中档题．8．（5分）已知x、y、z∈（0，1），且满足e2x＝2ex，e3y＝3ey，e4z＝4ez，则（）A．x＜y＜z B．x＜z＜y C．z＜y＜x D．z＜x＜y【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；综合法；构造法；导数的综合应用；运算求解．【答案】C【分析】化简可得，，，从而构造函数f（x），求导判断函数的单调性，从而比较大小．【解答】解：∵e2x＝2ex，e3y＝3ey，e4z＝4ez，∴，，，构造函数f（x），则f′（x），故当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；故f（2）＞f（3）＞f（4），即，即，又∵x、y、z∈（0，1），∴x＞y＞z；故选：C．【点评】本题考查了导数的综合应用及化简转化能力，属于中档题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2023秋•天宁区校级期中）已知点P为圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上一点，点Q（1，2）在圆O外，若满足∠OQP＝45°的点P有且只有4个，则圆的半径r可以取（）A． B． C．2 D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】BC【分析】根据题意得到12+22＞r2，再求出QP为圆的切线时，求解圆的半径，从而得到正数r的取值范围．【解答】解：由题意得12+22＞r2，解得0，如图所示，此时∠OQP1＝∠OQP2＝45°且OP1⊥QP1，OP2⊥QP2，此时满足∠OQP＝45°的点P有2个，|OQ|，此时r，故要想满足∠OQP＝45°的点P有且只有4个，则要r，综上：正数r的取值范围是（，）．故选：BC．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．（多选）10．（5分）（2024春•海珠区校级月考）已知x＝1和x＝3是函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x+k（a，b∈R）的两个极值点，且函数f（x）有且仅有两个不同零点，则k值为（）A． B． C．﹣1 D．0【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．【答案】BD【分析】先对函数求导，结合导数与极值关系可求出a，b，然后结合函数零点存在条件即可求解．【解答】解：f'（x）＝3ax2+2bx﹣3，依题意1，3是f'（x）＝0的两个根，所以，解得故，易求得函数f（x）的极大值为f（3）＝k，极小值为，要使函数f（x）有两个零点，则f（x）极大值k＝0或f（x）极小值0，所以k＝0或．故选：BD．【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了函数零点存在条件的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）过点E（2，0）的直线交抛物线C：y2＝2px（p＞0）于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线l：x＝﹣1，O为坐标原点，直线OA和OB分别交l于点C，D，记△OCD、△OAB的面积分别为S1，S2，若OA⊥OB，则（）A．p＝1 B．x1x2＝2 C．S2＝4S1 D．S1+S2的最小值为5【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】由题意，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量的坐标运算、三角形面积公式以及基本不等式对选项进行逐一分析，进而即可求解．【解答】解：不妨设直线AB的方程为x＝my+2，联立，消去x并整理得y2﹣2pmy﹣4p＝0，由韦达定理得y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣4p，对于选项A：因为OA⊥OB，所以4＝（m2+1）（﹣4p）+4m2p+4＝4﹣4p＝0，解得p＝1，故选项A正确；对于选项B：易知y1y2＝﹣4，y1+y2＝2m，所以x1x2＝（my1+2）4m2+4＝4，故选项B错误；对于选项C：易知直线AO的方程为，因为，解得，同理得，则△OCD的面积，△OAB的面积S2，整理得S2＝4S1，故选项C正确；对于选项D：由选项C知，当且仅当m＝0时，S1+S2取得最小值，最小值为5，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．（多选）12．（5分）（2023秋•江西月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面BCC1B1内（含边界）一点，则（）A．若D1P⊥平面A1C1D，则点P与点B重合 B．以D为球心，为半径的球面与截面ACD1的交线的长度为 C．若P为棱BC中点，则平面D1EP截正方体所得截面的面积为 D．若P到直线A1B1的距离与到平面CDD1C1的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧【考点】点、线、面间的距离计算；轨迹方程；棱柱的结构特征；球内接多面体；平面的基本性质及推论；直线与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．【答案】ABC【分析】对于A，推导出D1B⊥平面A1C1D，点P不与B重合，从而D1P∥D1B，进而当D1P⊥平面A1C1D时，点P与B重合；对于B，三棱锥D﹣ACD1为正三棱锥，顶点D在底面ACD1的射影为△ACD1的中心H，连接DH，由，得，求出截面圆的半径，得到球面与截面ACD1的交线是以H为圆心，为半径的圆在△ACD1内部部分，由此能求出球面与截面ACD1的交线的长度；对于C，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接D1M、D1G，分别交侧棱C1C于点N，交侧棱A1A于点H，连接EH和NP，则截面为五边形D1HEPN，由此能求出结果；对于D，推导出PB1⊥A1B1，点P到平面CDD1C1的距离为点P到CC1的距离，点P到点B1的距离等于点P到CC1的距离，从而点P的轨迹是以B1为焦点，以CC1为准线的抛物线在侧面BCC1B1内的部分．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面BCC1B1内（含边界）一点，对于A，由正方体的性质，由题意得D1B⊥平面A1C1D，点P不与B重合，∵D1P⊥平面A1C1D，∴D1P∥D1B，与D1P∩D1B＝D1矛盾，∴当D1P⊥平面A1C1D时，点P与B重合，故A正确；对于B，由题意知三棱锥D﹣ACD1为正三棱锥，∴顶点D在底面ACD1的射影为△ACD1的中心H，连接DH，∵，∴，∴，∵球的半径为，∴截面圆的半径，∴球面与截面ACD1的交线是以H为圆心，为半径的圆在△ACD1内部部分，如图，，∴，HF2+HM2＝MF2，∴，同理，其余两弦所对圆心角也等于，∴球面与截面ACD1的交线的长度为，∴以D为球心，为半径的球面与截面ACD1的交线的长度为，故B正确；对于C，P为棱BC中点，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接D1M、D1G，分别交侧棱C1C于点N，交侧棱A1A于点H，连接EH和NP，如图，则截面为五边形D1HEPN，则，，，，cos∠D1GM，∴，∴，，∴五边形D1HEPN的面积，故C正确；对于D，P到直线A1B1的距离与到平面CDD1C1的距离相等，∵A1B1⊥平面BCC1B1，∴PB1⊥A1B1，∵平面BCC1B1⊥平面CDD1C1，∴点P到平面CDD1C1的距离为点P到CC1的距离，由题意知点P到点B1的距离等于点P到CC1的距离，∴点P的轨迹是以B1为焦点，以CC1为准线的抛物线在侧面BCC1B1内的部分，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查正方体结构特征、线面垂直的判定与性质、点到平面的距离、抛物线性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021秋•浙江期中）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．现有阳马P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角的大小为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间角；运算求解；新文化类．【答案】【分析】取AB，BC，PA的中点E，F，G，连接EF，FG，GE，AF，则EF∥AC，EG∥PB，所以∠GEF或其补角为异面直线PB与AC所成的角，再结合余弦定理即可求出结果．【解答】解：取AB，BC，PA的中点E，F，G，连接EF，FG，GE，AF，如图所示，则EF∥AC，EG∥PB，∴∠GEF或其补角为异面直线PB与AC所成的角，设PA＝2，∴EF，，AF，∴，在△GEF中，由余弦定理可得cos∠GEF，又∵∠GEF∈（0，π），∴∠GEF，∴异面直线PB与AC所成的角为，故答案为：．【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14．（5分）（2023秋•安顺期末）已知等比数列{an}满足a1•a2•a3＝27，则a2＝3．【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】3．【分析】根据等比中项的性质即可求解．【解答】解：∵等比数列{an}满足a1•a2•a3＝27，∴27，解得a2＝3．故答案为：3．【点评】本题考查等比中项的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）（2023秋•孝义市期中）已知圆M经过点（0，2），（0，4），且圆心M在直线2x﹣y﹣1＝0上，则圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用圆的定义求出圆的方程．【解答】解：由于圆M过点（0，2）和（0，4），故圆心在直线y＝3上，由于圆心过直线2x﹣y﹣1＝0，故圆心的坐标为（2，3），故半径r，故圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．16．（5分）（2022春•工业园区校级期中）已知a＞0，b∈R，若关于x的不等式恒成立，则的最小值为﹣1．【考点】利用导数研究函数的最值；函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化思想；构造法；转化法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】﹣1．【分析】构造函数f（x），求出f'（x），判断f（x）的单调性和最值，题意转化为f（x）的图象恒在y＝ax+b的下方，即可得出答案．【解答】解：令f（x），f'（x），由f'（x）＞0得0＜x＜e，由f'（x）＜0得x＞e，∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴当x＝e时，f（x）取得极大值也是最大值，f（e），且当x＞1时，f（x）＞0，关于x的不等式恒成立，转化为f（x）的图象恒在y＝ax+b的下方，∵a＞0，令ax+b＝0，即x，故取到最小值时，直线在x轴上的截距最大，再令f（x）＝0，可得x＝1，则﹣x＝﹣1，由此可得的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】题考查利用导数研究函数的单调性和函数恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2024春•沈阳期中）已知正项等差数列{an}，Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝2，S3＝12，设数列{bn}满足n．（1）分别求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）将数列{an}中与数列{bn}相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Tn，求T100．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】（1）an＝2n，bn＝2n；（2）11302．【分析】（1）结合等差数列的求和公式及通项公式先求出an，结合数列和与项的递推关系及等比数列的通项公式可求bn；（2）先分析两数列相同项的特点，然后结合等差与等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：（1）因为正项等差数列{an}满足a1＝2，S3＝6+3d＝12，所以d＝2，an＝2+2（n﹣1）＝2n；因为n，所以n﹣1，n≥2，当n≥2时，两式相减得，1，即bn＝2n，当n＝1时，b1＝2适合上式，故bn＝2n；（2）由（1）得，数列{bn}的前8项分别为2，4，8，16，32，64，128，256，对应数列{an}的第1，2，4，8，16，32，64，128项，结合一次函数及指数函数的增长速度可知，前100项中共有7项重复，故数列{cn}的前100项为{an}的前100项，剔除数列{bn}的前7项，则T10011302．【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式及求和公式的应用，还考查了数列递推关系在数列通项公式求解中的应用，属于中档题．18．（12分）（2023秋•常州期中）已知动圆P与圆M：（x+3）2+y2＝1外切，与圆N：（x﹣3）2+y2＝81内切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）求的取值范围．【考点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据已知可得PM+PN＝r+1+9﹣r＝10＞MN，确定轨迹方程；（2）利用椭圆方程，转化为二次函数求最值问题即可．【解答】解：（1）圆M：（x+3）2+y2＝1的圆心为M（﹣3，0），半径r1＝1．圆N：（x﹣3）2+y2＝81的圆心为N（3，0），半径r2＝9，MN＝6＜r2﹣r1，所以圆M与圆N的关系是内含．设动圆圆心为P（x，y），动圆半径为r，动圆P与圆M：（x+3）2+y2＝1外切，则PM＝r+1，动圆P与圆N：（x﹣3）2+y2＝81内切，则PN＝9﹣r，则PM+PN＝r+1+9﹣r＝10＞MN，所以P点的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为10的椭圆，从而c＝3，a＝5，所以b＝4，所以点P的轨迹方程为．（2）a﹣c≤PM≤a+c，即2≤PM≤8，，当PM＝5时，﹣（PM﹣5）2+25取得最大值为25；当PM＝2或8时，﹣（PM﹣5）2+25取得最小值为16，即，即，所以的取值范围为．【点评】本题考查轨迹问题，考查椭圆的性质，属于中档题．19．（12分）（2024•大武口区校级一模）如图所示，直角梯形PABC中，AB∥PC，∠B＝90°，D为PC上一点，且AB＝PA＝PD＝2DC＝2，将PAD沿AD折起到SAD位置．（1）若SD⊥CD，M为SD的中点，求证：平面AMB⊥平面SAD；（2）若，求平面SAD与平面SBC夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．【专题】转化思想；转化法；立体几何；逻辑思维．【答案】（1）证明见解析．（2）．【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可．（2）以O为原点，分别以OA、OB、OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的坐标系，分别求出平面SAD与平面SBC的法向量，由二面角的向量公式求解即可．【解答】解：（1）证明：梯形PABC中，AB∥PC，∠B＝90°，易知，所以∠ADP＝60°，而PA＝PD，所以△PAD为等边三角形，∴SD⊥AM，又∵SD⊥CD，CD∥AB，∴SD⊥AB，AB，AM⊂面AMB，AB∩AM＝A，∴SD⊥面AMB，∵SD⊂面SAD，∴平面AMB⊥平面SAD．（2）由（1）知△SAD为等边三角形，∴△BAD为等边三角形，取AD的中点O，得SO⊥AD，，，∵，∴SO⊥OB，因为OB，AD⊂面ABCD，OB∩AD＝O，∴SO⊥面ABCD，以O为原点，分别以OA、OB、OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的坐标系：得，，，，，设平面SBC的法向量为，∴得，令x＝1，则，则．取平面SAD的法向量为，|cos，|＝||＝||，∴平面SAD与平面SBC夹角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，二面角大小，解题关键空间向量法的应用，属于中档题．20．（12分）（2024•宝鸡模拟）已知函数．（1）当m＝﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）已知x＞0，求证：当m≥1时，f（x）＜0恒成立；（3）设m＞0，求证：当函数f（x）恰有一个零点时，该零点一定不是函数的极值点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）递增区间为（﹣1，0），递减区间为（0，+∞）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）求出函数导数，利用导数求函数的单调区间即可；（2）可转化为g（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣x2﹣m＜0（x＞0），求出g（x）max即可得证；（3）函数f（x）零点x0满足，求出的极值点代入方程，无解即可．【解答】（1）解：m＝﹣1时，f（x）＝ln（x+1）﹣x+1，，所以当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．即f（x）的递增区间为（﹣1，0），递减区间为（0，+∞）．（2）证明：因为x＞0，f（x）＜0⇔（x+1）ln（x+1）＜x2+m，令g（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣x2﹣m（x＞0），则g′（x）＝ln（x+1）+1﹣2x，令h（x）＝g′（x），则，即g′（x）在（0，+∞）上单调递减，且，即存在唯一，使g′（x0）＝ln（x0+1）+1﹣2x0＝0，且g（x）max＝g（x0）＝（x0+1）ln（x0+1）m，又因为，则，所以m≥1时，g（x）＜0恒成立，即f（x）＜0．（3）证明：由（2）知函数f（x）的零点就是函数g（x）的零点，当f（x）有唯一零点时，设为x0，则，又，即该函数的极值点为，代入（*）得，化简得，此方程无解，所以原命题成立．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查运算求解能力，属于难题．21．（12分）（2021春•碑林区校级期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n+1，Sn+3）在抛物线y＝x2上．（1）求an；（2）求数列{|an﹣9|}的前n项和Tn．【考点】数列与解析几何的综合；数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）通过点在抛物线上，得到数列的和，然后求解通项公式即可．（2）求出数列的通项公式，然后讨论n求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为点（n+1，Sn+3）在抛物线y＝x2上，所以，所以．当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时．所以．（2）易求，当n≤4时，；当n≥5时，，综上，．【点评】本题考查数列与解析几何相结合，数列求和的方法的应用，考查分析问题解决问题的能力．22．（12分）（2022秋•南岗区校级期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过点F2与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且△F1PF2的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A（3，0）的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆C交于点E，且EF1⊥x轴，过点S的另一直线与椭圆C交于M、N两点，若S△SMA＝3S△SEN，求MN所在的直线方程．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征．【专题】转化思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】（1）1；（2）y＝±x+1．【分析】（1）由离心率的值及三角形的面积可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得点E的坐标，进而可得S的坐标，可得SA与SE的关系，分直线MN的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线MN的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，再由两个三角形的面积之比，可得SN，SM的数量关系，可得M，N的横坐标的关系，再与两根之和及两根之积联立，可得直线MN的斜率，进而求出直线MN的方程．【解答】解：（1）由题意，可得b2＝5，1，可得a2＝9，所以椭圆的方程为：1；（2）由椭圆的方程可得a＝3，b，c＝2，因为EF1⊥x轴，可得E（﹣2，），可得，即，可得SO＝1，即S（0，1），当直线MN的斜率不存在时，N（0，），M（0，），SN1，SM＝1，这时与题意矛盾，所以直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理可得：（5+9k2）x2+18kx﹣36＝0，显然Δ＞0，x1+x2，x1x2，因为，这时•，因为S△SMA＝3S△SEN，可得SM＝2SN，即2，可得x1＝﹣2x2，代入x1+x2，可得x2，x1，再代入x1x2中，，可得18k2＝5+9k2，解得k＝±，所以直线MN的方程为y＝±x+1．【点评】本题考查求椭圆的方程的求法及直线与椭圆的综合应用，三角形面积之比的应用，属于中档题．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m恒成立，∵x2+x+1＝（x）2，∴0，∴m≤0．3．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）4．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．5．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．6．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．7．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Snn2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn，∴Tn，即数列{bn}的前n项和Tn．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．8．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．9．数列与解析几何的综合【知识点的认识】函数、数列、解析几何作为高中数学的主要躯干，蕴含着诸多的数学思想和方法（数形结合、函数与方程、转化和归纳等），因而一直是高考的重点．尤其是它们互相之间及和其他数学知识（如复数、向量等）之间的互相渗透、互相联系，更为高考命题带来广阔的空间．而传统的章节复习法使学生分散地学习知识，对各个章节的联系和渗透考虑较少，从而造成对一些综合题心存胆怯．近几年高考中常见的函数﹣数列﹣解析几何综合题就是其中的典型．【解题方法点拨】事实上，无论是函数、数列还是解析几何中的曲线（包括复数、向量），都表现出数和形两种状态，数列是一个特殊的函数；函数的图象（解析式）则可看作解析几何中一种特殊的形（方程）；而复数、向量的坐标顺理成章地使它们与函数、数列及解析几何发生联系．解函数﹣数列﹣解析几何综合题首先是建立在对数学基本概念理解的基础上，然后抓住概念间内在的联系，将问题转化为较熟悉的数学问题予以解决，当然这也离不开对各章节内部的扎实基本功．10．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴11．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．12．由函数的极值求解函数或参数【知识点的认识】1、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．【解题方法点拨】﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数．﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数．﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．【命题方向】常见题型包括通过极值求解函数的参数或特定值，结合具体函数进行分析．已知函数在区间（m，m+3）上存在极大值与极小值，则实数m的取值范围是_____．解：，则f'（x）＝x2+2x＝x（x+2），令f（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）的极大值点是x＝﹣2，极小值点是x＝0．由于函数f（x）在区间（m，m+3）上存在极大值与极小值，∴，解得：﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．13．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．14．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．15．球内接多面体【知识点的认识】1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都是半径．球内接多面体也叫做多面体外接球．球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都是球的半径．球外切多面体也叫做多面体内切球2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面．3、球与多面体的接、切中有关量的分析：（1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r，正方体的棱长为a，则：①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处；②正方体的四个顶点都在球面上；③轴截面就是正方体的对角面；④在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造一个直角三角形；⑤球半径和正方体棱长的关系：ra．＝16．球的表面积【知识点的认识】球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为．【解题方法点拨】﹣计算公式：表面积计算公式为．﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．【命题方向】﹣球的表面积计算：考查如何根据球的半径计算表面积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的表面积计算．17．平面的基本性质及推论【知识点的认识】平面的基本性质及推论：1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．【解题方法点拨】1．公理1是判定直线在平面内的依据．2．公理2及推论是确定平面的依据．3．公理3是判定两个平面相交的依据．18．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．2、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：19．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．20．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．21．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．（2）当，π时，θ＝π，，cosθ＝﹣cos，．22．点、线、面间的距离计算【知识点的认识】23．直线的一般式方程与直线的平行关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．24．圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等