重点突围：专题08 矩形、菱形、正方形中动点及最值问题（解析版）-人教八下期中综合复习

八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）专题08矩形、菱形、正方形中动点及最值问题【典型例题】1．（2021·北京·八年级期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为ts．（1）边的长度为________，的取值范围为________．（2）从运动开始，当________时，．（3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）或；（3）不存在，见解析．【解析】【分析】（1）过点作于，再利用勾股定理，即可得出结论，用点，的运动速度，即可求出t的范围；（2）构造出直角三角形，表示出，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；（3）先利用求出时间，再求出，进而得出，判断，即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，过点作于，，，，，，四边形是平行四边形，，，，根据勾股定理得，，点在上运动，，点在上运动，，，故答案为，；（2）如图2，过点作于，则四边形是矩形，，，，，，根据勾股定理得，，或，故答案为或；（3）不存在，理由：得四边形是菱形，，，，此时，，而，四边形不可能是菱形．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．【专题训练】选择题1．（2022·全国·八年级）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（）A．2 B．4 C．4或 D．2或【答案】D【解析】【分析】根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，∴v的值为：4÷2=2cm/s；②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，∵5÷2=2.5s，∴2.5v=6，∴v=．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．2．（2021·上海·八年级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PEAC于点E，PFBD于点F．若AB=6，BC=8，则PE+PF的值为（

）A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4【答案】C【解析】【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，可求得OA=OD=5，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP求得答案．【详解】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==10，∴S△AOD=S矩形ABCD=12，OA=OD=5，∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，∴PE+PF==4.8．故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2021·河南镇平·八年级期中）如图，已知菱形ABCD的顶点A的坐标为（﹣，0），顶点B的坐标为（0，﹣1），若动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒2个单位长度的速度移动，则第2021秒时，点P的坐标为（）A．（﹣，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（，0）【答案】C【解析】【分析】根据点A的坐标和顶点B的坐标可以求出菱形的边长，进而找出运动规律，从而算出第2021秒时点P的位置．【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A的坐标为（﹣，0），顶点B的坐标为(0，﹣1)，∴OA=，OB=1，∴在Rt△ADO中，AB=，即菱形的边长为2，∴P点走一圈所用的时间为4秒，∵2021=505×4+1，∴第2021秒时，点P在B点的位置，∴∴点P的坐标为(0，-1)；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，点的坐标规律，涉及了勾股定理，点的坐标变化等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．4．（2022·广东高州·九年级期末）如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（）A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变【答案】D【解析】【分析】连接AE，根据，推出，由此得到答案．【详解】解：连接AE，∵，∴，故选：D．．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE是解题的关键．5．（2021·广东·深圳市东升学校九年级阶段练习）如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动．设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（

）A．8 B．3 C．6 D．12【答案】B【解析】【分析】连接AC交BD于O，根据图②求出菱形的边长为4，对角线BD为6，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，然后求出AC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，b为点P在CD上时△ABP的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解．【详解】解：如图，连接AC交BD于O，由图②可知，BC＝CD＝4，BD＝14－8＝6，∴BO＝BD＝×6＝3，在Rt△BOC中，CO＝，AC＝2CO＝2，所以，菱形的面积＝AC•BD＝×2×6＝6，当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为b，所以，b＝×6＝3．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半，根据图形得到菱形的边长与对角线BD的长是解题的关键．二、填空题6．（2021·广东南海·九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．【答案】【解析】【分析】根据题意，AM=EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．【详解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC==5，∴BC边上的高h=，∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF的中点，∴AM=EF，∴AM=AP，∴当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，∴AP的最小值为，∴AM的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．7．（2021·重庆大足·九年级期末）如图，长方形ABCD中，，，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】根据题意将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，进而结合全等三角形判定可得当CG⊥TG时，CG的值最小，依据矩形的性质和含30°的直角三角形进行分析计算即可得出答案.【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，∵∠BET=∠FEG=30°，∴∠BEF=∠TEG，在△EBF和△TEG中，，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B=∠ETG=90°，∴点G的在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵∠EJG=∠ETG=∠JGT=90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴∠JET=90°,GJ=TE=BE=2，∵∠BET=30°，∴∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°，∵，∴,∴CG=CJ+GJ=.∴CG的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（2021·四川泸县·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若，，则GH的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=AF，求出AF的最小值即可解决问题．【详解】连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AB=BC=2∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，GH=AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB=90°，∵∠B=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=AB=×2=，∴GH=即GH的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．9．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学九年级阶段练习）如图，正方形ABCD，边长为7，点E在边BC上，，点F是AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右作等边，连接CG，线段CG的最小值是___________．【答案】【解析】【分析】把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，根据旋转的性质得∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，易得四边形HEPQ为矩形，则PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，接着计算出CP，从而得到CQ的长，然后利用垂线段最短得到CG的最小值．【详解】解：∵△EFG为等边三角形，∴EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝＝，∴CQ＝CP＋PQ＝＋2＝．∴CG的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．10．（2021·河南·平顶山市第十三中学九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点P是对角线AC上的一个动点（不与A，C两点重合），过点P作EF⊥AC分别交AD，AB于点E，F，将△AEF沿EF折叠，点A落在点A′处，当△A′BC是等腰三角形时，AP的长为_______．【答案】或##或【解析】【分析】分两种情形①CA'=CB，②A'C=A'B，分别求解即可解决问题．【详解】解：在菱形ABCD中，连接DB交AC于点O，则AC=2AO∵∠BAD=60°，∴∠BAC=30°，∵AB=2，∴∴∴AC=，①当CA'=BC=2时，AA'=AC-CA'=，∵将△AEF沿EF折叠，点A落在点A'处，∴AP=AA'=．②当A'C=A'B时，∵∠BAC=∠ACB=30°，∴∠A'CB=∠A'BC=30°，∵∠ABC=120°，∴∠ABA'=90°，∵∴，即∴∴∴AA'=，∴AP=AA'=．故答案为：或．【点睛】本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解．三、解答题11．（2022·全国·九年级专题练习）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝4．BD＝5．点P是线段AO上一动点（不与A，O重合）．点E与点P在AD所在直线的两侧．AE⊥AB．AE＝BD．点F在AD边上，DF＝AP．连接PE，BF．(1)补全图形，求PE：BF的值；(2)连接BP，点P在何处时BP+BF取得最小值？并求出这个最小值．【答案】(1)图见解析，PE：BF＝1(2)点P在BE与OA的交点处时，【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可，利用全等三角形的性质证明PE=BF，可得结论．（2）当点P在BE与OA的交点处时，BP+BF的值最小，最小值BE=．(1)图形如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠DAO＝∠BAO，∴∠AOD＝90°，∵EA⊥AB，∴∠EAP+∠BAO＝90°，∵∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠EAP＝∠BDF，∵AE＝DB，AP＝DF，∴△EAP≌△BDF（SAS），∴PE＝BF，∴PE：BF＝1．(2)∵PE＝BF，∴BP+BF＝BP+PE≥BE，∴当点P在BE与OA的交点处时，BP+BF的值最小，最小值BE．【点睛】本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．12．（2021·辽宁法库·九年级期中）如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．（1）求证：PA＝PF；（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2）PQ的长不变，见解析；（3）AB+BF＝PB【解析】【分析】（1）连接PC，由正方形的性质得到，，然后依据全等三角形的判定定理证明，由全等三角形的性质可知，，接下来利用四边形的内角和为360°可证明，于是得到，故此可证明；（2）连接AC交BD于点O，依据正方形的性质可知为等腰直角三角形，于是可求得AO的长，接下来，证明，依据全等三角形的性质可得到；（3）过点P作，，垂足分别为M，N，首先证明为等腰直角三角形于是得到，由角平分线的性质可得到，然后再依据直角三角形全等的证明方法证明可得到，，于是将可转化为的长．【详解】解：（1）证明：连接PC，如图所示：∵ABCD为正方形，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴．∵，∴．∴．∴，∴；（2）PQ的长不变．理由：连接AC交BD于点O，如图所示：∵，∴．∵，∴．∴．又∵四边形ABCD为正方形，∴，．在和中，，∴．∴；（3）如图所示：过点P作，，垂足分别为M，N．∵四边形ABCD为正方形，∴．∵，∴，∴．∵BD平分，，，∴．在和中，，∴．∴．∵，∴．∴．【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些性质定理是解题关键．13．（2022·广东南沙·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．【答案】(1)见解析(2)4(3)4【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．(1)解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；(2)如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；(3)如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．14．（2021·广西北海·九年级期中）如图1，在□ABCD中，AB＝14，AD＝8，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O．一动点P在边AB上由A向B运动（不与A，B重合），连接PO并延长，交CD于点Q．（1）求证：OP＝OQ；（2）过点D作DE⊥AB于点E，画出图形并求出线段DE的长度；（3）当AP＝9时，求线段OP的长度；（4）连接AQ，PC，如图2，随着点P的运动，四边形APCQ可能是菱形吗？如果可能，请求出此时线段AP的长度；如果不可能，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）图见解析，；（3）；（4）有可能，AP=【解析】【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，，∴∠QDO=∠PBO，∠DQO=∠BPO，∴△QDO≌△PBO（AAS），∴OP=OQ；（2）如图（2）：过D作DE⊥AB，垂足为E，∵∠DAB=60°，∠DEA=90°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD=4，∴；（3）∵BE=AB-AE=14-4=10，PE=AP-AE=9-4=5，PB=AB-AP=5，∴PE=PB，∵OB=OD，∴OP为△DBE的中位线∴OP=DE=；（4）有可能，理由如下：如图（3）：过C作CF⊥AB交AB延长线于F，∵平行四边形ABCD，∴BC//AD，BC=AD，∴∠CBF=∠DAB=60°，∴BF=BC=4，∴CF=，∵OP=OQ，OA=OC，∴四边形APCQ为平行四边形当四边形APCQ为菱形时，则需AP=CP，∵PF=AB+BF-AP=18-AP，∴在Rt△PCF中，PC2=FC2+PF2∴AP2=()2+(18-AP)2，解得AP=．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．15．（2021·广东·广州市番禺区实验中学八年级期中）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2AB，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒．当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；②若点P、Q的速度分别为v1、v2（cm/s），点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，试探究a与b满足的数量关系．【答案】（1）证明见解析，AF＝5；（2）①t＝秒；②【解析】【分析】（1）先证明△AOE≌△COF得到OE＝OF，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形作出判定，根据勾股定理即可求AF的长；（2）①分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；②由①的结论用v1、v2表示出A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时所需的时间，计算即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．∵在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴AF＝5；（2）①解：根据题意得，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形，同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC＝5t，QA＝12﹣4t，∴5t＝12﹣4t，解得：t＝，∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝秒；②如图3，由①得，PC＝QA时，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，设运动时间为y秒，则yv1＝12﹣yv2，解得，y＝，∴a＝×v1，b＝×v2，∴，如图4，当AP＝CQ时．四边形APCQ是平行四边形，则yv2＝12﹣yv1，解得：y＝，同理可得，，如图5，当AP＝CQ时，四边形APCQ是平行四边形，则yv1＝12﹣yv2，解得，y＝，∴a＝×v1，b＝×v2，∴．【点睛】本题考查的是菱形的判定、平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质定理和判定定理、菱形的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．16．（2021·陕西莲湖·九年级期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．问题提出（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是，CE与CB的位置关系是．（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．问题解决（3）如图3，连湖公园有一块观赏园林区，其形状是一个边长为20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，对角线BD是一条花间小径，现计划在BD延长线上（包括D点）取点P，以AP为边长修建一个等边△APE的娱乐区，放置各类运动娱乐设施，从娱乐区顶点E再修一条直直的小路BE，为了让游客们更轻松愉快地游玩，园区还计划在BE中点处设置一个直饮水点F，求饮水点F到C点的最短距离．【答案】（1）；；（2）结论成立，证明过程见详解；（3）m【解析】【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质得出，再延长交于，根据全等三角形的性质即可得出；（2）结论仍然成立．证明方法同（1）；（3）根据题目，为了使到点的距离最短，在固定的情况下，越小，越短，越小，点距离点越小，即边长越小，即当点位于点时，最小．【详解】（1）如图1中，结论：，.理由：连接.∵四边形是菱形，，∴，都是等边三角形，，∴，，∵是等边三角形，∴，，∵，∴，，∴，∴，，延长交于，∵，∴，∴，即.故答案为，.（2）结论仍然成立.理由：如图2，连接交于，设交于.∵四边形是菱形，，∴，都是等边三角形，，∴，，∵是等边三角形，∴，，∵，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，（3）根据题目，为了使到点的距离最短，在固定的情况下，越小，越短，越小，点距离点越小，即边长越小，即当点位于点时，最小,如图所示：且四边形为菱形，点位于线段上，，则点A为的中点点与点重合，为等边三角形点到点的最短距离为m．【点睛】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确添加常用辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．17．（2021·辽宁·东北育才双语学校八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒（t＞0）．（1）用含t的式子表示线段的长度：PD＝cm，（2）当5＜t＜10时，运动时间t为时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．（3）当点Q第一次从点C向点B运动时，以A、P、Q、B为顶点的四边形能否是菱形，若能，请求出运动时间t的值，若不能，请求出在其他条件不变的情况下点Q的速度为多少时，以A、P、Q、B为顶点的四边形可以是菱形．【答案】（1）（10﹣t）；（2）或8．（3）厘米/秒【解析】【分析】（1）根据速度与时间表示出路程即可；（2）由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分类推理，列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．（3）根据菱形的性质，得出边长为6cm，求出运动时间和点Q的运动路程即可．【详解】解：（1）当0≤t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t；故答案为：（10﹣t）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．设运动时间为t．当5＜t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t﹣20，BQ＝30﹣4t，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t＜10时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣30，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．故答案为：或8．（3）当0≤t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t，BQ＝10﹣4t；以A、P、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，则AP＝BQ．t＝10﹣4t，解得，t＝2．此时AP＝2cm，AB＝6cm，以A、P、Q、B为顶点的平行四边形不是菱形；以A、P、Q、B为顶点的四边形是菱形，则AP＝BQ＝BA=6cm，CQ＝4cm，∵P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，∴t＝6，Q的速度为（厘米/秒），点Q的速度为每秒cm时，以A、P、Q、B为顶点的四边形可以是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定和一元一次方程的应用，用速度和时间表示出线段长，列出关于t的一元一次方程是解题的关键．18．（2021·湖南·常德市第五中学九年级开学考试）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，证明：BD＝CF；（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变时：①猜想CF、BD之间的关系，并证明你的结论；②连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析．（2）①相等证明见解析．②△AOC为等腰三角形

证明见解析．【解析】【分析】（1）利用正方形和等腰直角三角形的性质找出全等三角形，再通过全等三角形对应边相等得到证明．（2）①仍然利用正方形和等腰直角三角形的性质找出全等三角形，再通过全等三角形对应边相等，最后得出结论相等．②通过证明∠CDF+∠CFD=90°得出∠DCF=90°，再由正方形的性质得到OD=OF，得到．【详解】（1）∵四边形ADEF为正方形∴AF=AD∵△ABC为等腰直角三角形∴AB=AC．∵∠BAD+∠DAC=∠FAC+∠DAC=90°．∴∠BAD=∠FAC，在△ABD和△FAC中．∴△ABD≌△FAC（SAS）．（2）①∵△ABC为等腰直角三角形．∴AB=AC．∵四边形ADEF为正方形．∴AF=AD．∵∠CAF+∠FAB=∠DAB+∠FAB=90°．∴∠CAF=∠DAB．在△ACF和△ABD中．∴△ACF≌△ABD．∴BD=CF．②由①得△ABD≌△ACF∴∠ADB=∠AFC．∵AD=AF，∠DAF=90°．∴∠ADF+∠AFD=90°．∴∠CDF+∠CFD=∠CDF+∠AFC+∠AFD=∠CDF+∠ADB+∠AFD=∠ADF+∠AFD=90°．∴∠DCF=90°．∵正方形ADEF的对角线交于点O．∴OD=OF．∴．∴．∴OC=OA．∴△AOC是等腰三角形．【点睛】此题重点考查正方形性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是找出并证明图中的全等三角形并给予证明．19．（2021·吉林靖宇·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，CD＝10cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AD向点D运动；同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿BC向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题：（1）BC＝_______cm．（2）求t为何值时四边形PQCD是平行四边形．（3）求t为何值时四边形PQBA是矩形．（4）是否存在t的值，使得△DQC是等腰三角形．若存在请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）26；（2）t＝4；（3）t＝5.2；（4）存在，t的值为：4或或【解析】【分析】（1）过D作DH⊥BC于H，在Rt△DHC中，勾股定理求得CH，根据BC＝BH+CH，即可求得；（2）根据平行四边形的性质，利用PD＝CQ，即可求得；（3）根据矩形的性质，利用AP＝BQ，即可求得；（4）分类讨论①若CD＝DQ，过D作D