2025年中考数学二轮复习《圆》解答题专项练习四（含答案）

2025年中考数学二轮复习《圆》解答题专项练习四LISTNUMOutlineDefault\l3如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．(1)求证：BC平分∠ABE；(2)若∠A＝60°OA＝4，求CE的长．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线．(2)求DE的长．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为6，线段BC＝2，求∠BAC的正弦值.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．⑴求证：PB是⊙O的切线；⑵连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．(1)判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；(2)若⊙O的半径为2，AC＝3，求BD的长度．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．(1)求证：DH是圆O的切线；(2)若A为EH的中点，求EF：DF的值；(3)若EA＝EF＝1，求圆O的半径．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，以O为圆心的弧BD的度数为60°，∠BOE＝45°，DA⊥OB于点A，EB⊥OB于点B.(1)求的值；(2)若OE与弧BD交于点M，OC平分∠BOE，连接CM，说明：CM是⊙O的切线；(3)在(2)的条件下，若BC＝2，求tan∠BCO的值.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB．(1)求证：AB是圆的切线；(2)若点E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝eq\f(5,3)，AB：BC＝2：3，求圆的直径．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，且DA＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若sinC＝eq\f(4,5)，AC＝12，求⊙O的直径．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．(3)若AB＝8，BC＝10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3(1)证明：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥DE，而BE⊥DE，∴OC∥BE，∴∠OCB＝∠CBE，而OB＝OC，∴∠OCB＝∠CBO，∴∠OBC＝∠CBE，即BC平分∠ABE；(2)解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝4eq\r(3)，∵∠OBC＝∠CBE＝30°，在Rt△CBE中，CE＝eq\f(1,2)BC＝2eq\r(3)．LISTNUMOutlineDefault\l3证明：(1)连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．(2)过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝4．∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4．LISTNUMOutlineDefault\l3(1)证明：连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴OA⊥OC，又∵AD∥OC，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线；(2)延长CO交圆O于F，连接BF.∵∠BAC＝∠BFC，∴sin∠BAC＝sin∠BFC＝eq\f(1,3).LISTNUMOutlineDefault\l3证明：⑴如图所示，连接OB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA.∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线．⑵解：⊙O的半径为3，∴OB＝3，AC＝6．∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C.又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴即BC＝2.25．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)BC与⊙O相切．证明：连接OD．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD．又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA．∴∠CAD＝∠ODA．∴OD∥AC．∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切．(2)由(1)知OD∥AC．∴△BDO∽△BCA．∴OB：AB＝OD：AC．∵⊙O的半径为2，∴DO＝OE＝2，AE＝4．∴(BE＋2)：(BE＋4)＝2：3．∴BE＝2．∴BO＝4，∴BD＝2eq\r(3)．LISTNUMOutlineDefault\l3证明：(1)连接OD，如图1，∵OB＝OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB②，由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线；(2)如图2，在⊙O中，∵∠E＝∠B，∴由(1)可知：∠E＝∠B＝∠C，∴△EDC是等腰三角形，∵DH⊥AC，且点A是EH中点，设AE＝x，EC＝4x，则AC＝3x，连接AD，则在⊙O中，∠ADB＝90°，AD⊥BD，∵AB＝AC，∴D是BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，OD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×3x＝eq\f(3,2)x，∵OD∥AC，∴∠E＝∠ODF，在△AEF和△ODF中，∵∠E＝∠ODF，∠OFD＝∠AFE，∴△AEF∽△ODF，(3)如图2，设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF＋EF＝r＋1，∴BD＝CD＝DE＝r＋1，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r＋1，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣(1＋r)＝r﹣1，在△BFD和△EFA中，综上所述，⊙O的半径为eq\f(1＋\r(5),2).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵EB⊥OB，∠BOE＝45°，∴∠E＝∠EOB，∴BE＝BO，在Rt△OAD中，＝sin∠DOA＝，∴＝，∴＝＝；(2)∵OC平分∠BOE，∴∠BOC＝∠MOC，在△BOC和△MOC中，，∴△BOC≌△MOC，∴∠OMC＝∠OBC＝90°，∴CM是⊙O的切线；(3)∵△BOC≌△MOC，∴CM＝CB＝2，∵∠E＝∠EOB＝45°，∴CE＝eq\r(2)CM＝2eq\r(2)，∴BE＝2＋2eq\r(2)，∴OB＝2＋2eq\r(2)，∴tan∠BCO＝eq\r(2)＋1.LISTNUMOutlineDefault\l3证明：(1)∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ACB＋∠DBC＝90°，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝90°∴∠ABC＝90°∴AB⊥BC，∴AB是圆的切线．在RT△AEB中，tan∠AEB＝eq\f(5,3)，∴＝eq\f(5,3)，即AB＝eq\f(5,3)BE＝eq\f(20,3)，在RT△ABC中，＝eq\f(2,3)，∴BC＝eq\f(3,2)AB＝10，∴圆的直径为10．LISTNUMOutlineDefault\l3证明：(1)∵AB＝AC，AD＝DC，∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，∴∠1＝∠B，又∵∠E＝∠B，∴∠1＝∠E，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠E＋∠EAD＝90°，∴∠1＋∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；(2)过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA＝DC，∴CF＝eq\f(1,2)AC＝3，在Rt△CDF中，∵sinC＝＝，设DF＝4x，DC＝5x，∴CF＝3x，∴3x＝3，解得x＝1，∴DC＝5，∴AD＝5，∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，∴△ADE∽△DFC，∴＝，即＝，解得AE＝eq\f(25,4)，即⊙O的直径为eq\f(25,4)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)BC所在直线与小圆相切．理由如下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC；又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE＝OA，∴BC所在直线是小圆的切线．(2)AC＋AD＝BC．理由如下：连接OD