新教材适用2024-2025学年高中数学第6章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理素养作业新人教A版选择性必修第三册

第六章6.1A组·基础自测一、选择题1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有(B)A．5种 B．12种C．20种 D．60种[解析]从油画中选，有3种不同的选法；从国画中选，有4种不同的选法；从水彩画中选，有5种不同的选法．依据分类加法计数原理，共有3＋4＋5＝12种不同的选法．故选B.2．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全绽开后的项数为(B)A．9 B．12C．18 D．24[解析]每个括号内各取一项相乘才能得到绽开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全绽开后的项数为2×2×3＝12.3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，3，…，9}，且P⊆Q.把满意上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(B)A．9 B．14C．15 D．21[解析]因为P⊆Q，所以分两类．当x＝2时，y∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以点的个数为7；当x≠2时，x＝y∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以点的个数为7.则满意题意的点共有14个．4．体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放球方法有(B)A．8种 B．10种C．12种 D．16种[解析]首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；其次种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置，有3×2＝6种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果．综上可知共有1＋6＋3＝10种结果．5．(多选)如图所示，从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则(AD)A．从A地到D地不同走法有6种B．从C地到B地不同走法有6种C．从A地到B地不同走法有9种D．从A地到B地不同走法有24种[解析]依据分步乘法计数原理得，从A地到D地不同走法有3×2＝6(种)，从C地到B地不同走法有2×4＝8(种)，从A地到B地不同走法有3×2×4＝24(种)．二、填空题6．有A，B，C型号的高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4名操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型号的电脑，而丁只会操作A型号的电脑．从这4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有8种．[解析]要完成“从4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑”这件事，可分四类：第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型号的电脑，故有2×2×1＝4(种)选派方法；其次类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型号的电脑，故有2种选派方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时只有1种选派方法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种选派方法．依据分类加法计数原理，知共有4＋2＋1＋1＝8(种)选派方法．7．甲、乙等5个志愿者被安排到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少一个志愿者，则甲、乙两人各自独立担当一个岗位工作的分法共有_72__种．[解析]由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在A，B，C，D四个岗位中选一个，有4种选择；乙在剩下的3个岗位中选一个，有3种选择．丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个岗位，每人有2个选择，总共有2×2×2＝8种选择，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的状况，即有8－2＝6种选择，∴所求方法数为4×3×6＝72.8．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有_96__种．(用数字作答)[解析]依据题意，假设正五角星的区域依次为A，B，C，D，E，F，如图所示．要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A区域涂色有3种方法，B，C，D，E，F这5个区域都与A相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有3×2×2×2×2×2＝96(种)涂色方案．三、解答题9．有一项活动，需从3位老师、8名男同学和5名女同学中选人参与．(1)若只需1人参与，则有多少种不同的选法？(2)若需老师、男同学、女同学各1人参与，则有多少种不同的选法？[解析](1)选1人，可分三类：第1类，从老师中选1人，有3种不同的选法；第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法，共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法．(2)选老师、男同学、女同学各1人，分三步：第1步，选老师，有3种不同的选法；第2步，选男同学，有8种不同的选法；第3步，选女同学，有5种不同的选法，共有3×8×5＝120(种)不同的选法．10．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．(1)P可以表示平面上的多少个不同点？(2)P可以表示平面上的多少个其次象限的点？(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？[解析](1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点．(2)依据条件需满意a<0，b>0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的3×2＝6(个)其次象限的点．(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，其次步b的取法有5种，依据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．B组·实力提升一、选择题1．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)A．243 B．252C．261 D．279[解析]由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成的三位数的个数为9×10×10＝900，组成无重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，因此组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.2．支配高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参与社会实践，去哪个工厂可以自由选择，但必需有一个班级去甲工厂，则不同的方案有(B)A．48种 B．37种C．18种 D．16种[解析]高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参与社会实践，共有43种方法，若甲工厂没有班级去，则有33种方法，所以不同的方案有43－33＝37种．3．(多选)已知m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示(AC)A．圆的个数为5个B．焦点在x轴上的椭圆的个数为9个C．焦点在y轴上的椭圆的个数为20个D．双曲线的个数为12个[解析]当m与n相等时，方程表示圆，共有5种状况．当m＝2，n＝1；当m＝3，n＝1,2；当m＝4，n＝1,2,3；当m＝5，n＝1,2,3,4时，表示焦点在x轴上的椭圆，共有10种状况．当m＝1，n＝2,3,4,5,6,7；当m＝2，n＝3,4,5,6,7；当m＝3，n＝4,5,6,7；当m＝4，n＝5,6,7；当m＝5，n＝6,7时，表示焦点在y轴上的椭圆，共有20种状况．方程不行能表示双曲线．二、填空题4．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法242种．[解析]取两本书中，一本数学、一本语文，依据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法．5．一个旅游景区的巡游线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路巡游A，B，C三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点O外)的巡游线路有_48__种．(用数字作答)[解析]依据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观其次个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完其次个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任选一个，有2种选法．由分步乘法计数原理知，共有6×4×2＝48种不同的巡游线路．三、解答题6．如图所示，从A地到B地有3条不同的道路，从B地到C地有4条不同的道路，从A地不经过B地干脆到C地有2条不同的道路．(1)从A地到C地有多少种不同的走法？(2)从A地到C地再回到A地有多少种不同的走法？(3)从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时不同的道路，有多少种不同的走法？(4)从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时完全不同的道路，有多少种不同的走法？[解析](1)从A地到C地的走法分为两类：第一类经过B地，其次类不经过B地．在第一类中分两步完成：第一步，从A地到B地；其次步，从B地到C地．故从A地到C地的不同走法总数是3×4＋2＝14.(2)该事务发生的过程可以分为两步：第一步是去，其次步是回．由(1)可知这两步的走法都是14种，所以去后又回来的走法总数是14×14＝196.(3)该事务发生的过程与(2)一样，可分为两步，但不同的是其次步(即回来时)的走法比去时少一种，所以走法总数为14×13＝182.(4)该事务同样分去与回两步，但需对去时的各类走法分别探讨．若去时用第一类走法，则回来时用其次类走法或用第一类中的部分走法，即第一类中的两步各去掉1种走法后的走法，这样的走法总数为3×4×(2＋3×2)＝96.若去时用其次类走法，则回来时可用第一类走法或用其次类中的另一种走法，这样的走法总数为2×(4×3＋1)＝26.故走法总数为96＋26＝122.C组·创新拓展如图，一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植