新高考2025届高考数学二轮复习专题突破精练第3讲函数的性质：奇偶性单调性周期性对称性教师版

第3讲函数的性质：奇偶性、单调性、周期性、对称性一．选择题（共34小题）1．函数的定义域为，若与都是奇函数，则A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．是奇函数【解答】解：与都是奇函数，，，函数关于点及点对称，，，故有，函数是周期的周期函数，，，即，是奇函数．故选：．【点评】本题主要考查抽象函数中一些主条件的变形，来考查函数有关性质，方法往往是紧扣性质的定义．2．（2024•山东三模）已知，且，函数，设函数的最大值为，最小值为，则A． B． C． D．【解答】解：，令，，，由，可知，故函数的图象关于原点对称，设的最大值是，则的最小值是，由，令，时，在，递减，的最小值是，的最大值是（1），故（1），的最大值与最小值的和是，时，在，递增，的最大值是，的最小值是（1），故（1），故函数的最大值与最小值之和为8，综上：函数的最大值与最小值之和为8，故选：．【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的最值问题，是一道中档题．3．（2024春•昆明期中）设函数的定义域为，为奇函数，且当时，，若最大值为，最小值为．现有下列四个结论：①；②；③；④．其中全部正确结论的编号为A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④【解答】解：由已知得的图象关于点对称，当时，，所以当，时，，当时，，作出函数的简图如下：所以函数的最大值，最小值，所以，，，，所以①②正确．故选：．【点评】本题考查的学问要点：函数的性质，对称性和单调性的应用，函数的导数和单调性的关系，函数的极值的求法和应用，主要考查学生的运算实力和数学思维实力，属于中档题．4．（2024•颍州区校级开学）定义在上的函数满意，则的值为A． B． C．2 D．0【解答】解：当时，①，②，两式相加可得，则有，故，所以的周期为6．（3）（2）（1），故选：．【点评】本题主要考查利用函数的周期求值．先利用周期把所求化到已知区间，再代入对应的解析式即可．属于基础题．5．（2024•甲卷）设是定义域为的奇函数，且．若，则A． B． C． D．【解答】解：由题意得，又，所以，又，则．故选：．【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，属于基础题．6．（2024秋•道里区校级月考）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数，当，时，，，其中，则在区间，上函数与与图象交点个数是A．7 B．8 C．10 D．11【解答】解：当，时，，即，，当时，过点，，此时直线与半圆相交，当时，圆心到直线的距离，此时直线与半圆相切，故当，与相交，当，时有2个交点，因为是周期为4的奇函数，周期为2，作出图像如下：由图可得，在区间，上函数与图象交点个数是11个，故选：．【点评】本题考查函数零点个数的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（2024秋•禅城区月考）已知函数，若（1），则的取值范围A．，， B． C． D．，【解答】解：，，则函数是偶函数，由（1）得（1），即（1），得（1），当时，，恒成立，即函数在，上为增函数，则不等式（1），等价为（1），则或，得或，即的取值范围，，，故选：．【点评】本题主要考查不等式的求解，结合条件推断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，有肯定的难度．8．（2024秋•泸州期末）已知函数为自然对数的底数），若实数满意（1），则实数的取值范围是A．，， B．，， C．， D．，【解答】解：，求导，则在单调递增，则，则为奇函数，则由（1），则（1），（1），由，解得：，实数的取值范围，．故选：．【点评】本题考查利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性及对数的运算性质，考查转化思想，属于中档题．9．（2024秋•秦州区校级期末）已知函数是定义域在上的奇函数，且在区间，单调递增，若实数满意（1），则的取值范围是A．， B． C． D．，【解答】解：是定义域为上的奇函数，不等式（1），等价为（1），即（1），则（1），在区间，上是单调递增函数，，解得，故选：．【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键10．（2024秋•四川期末）已知函数是定义在，，上的奇函数，在区间上是单调递增，且．若实数满意（1），则实数的取值范围是A．， B． C．， D．【解答】解：为奇函数；（1），且；由得，；；①若，，依据题意在上单调递增；由得，（1）；；；②若，，在上单调递增；由得，；；；综上得，实数的取值范围是．故选：．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，对数的换底公式，对数函数的单调性，以及增函数的定义．11．（2024春•海安县校级期中）若定义在上的函数满意：对随意的，，有为非零常数），则下列说法肯定正确的是A．为偶函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为奇函数【解答】解：令，则由得，则，，，即不是奇函数，解除，令，，则由，得，即，则不成立，即不是偶函数，解除，，即是奇函数，故解除，故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性的推断，结合抽象函数关系以及利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．12．（2024•西湖区校级模拟）定义在上的函数满意：对随意，有，则A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数【解答】解：依据题意，对随意，有，令可得：，解可得，再令，，则有，变形可得，不是偶函数也是奇函数，、错误；对于，进而变形可得，则是奇函数不是偶函数，错误；正确；故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的推断，涉及抽象函数的解析式，属于基础题．13．（2024•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则A． B． C．（2） D．（4）【解答】解：由题意，为偶函数，可得，为奇函数，可得，令为奇函数，可得（1），（3）（1），即，，易知的周期，其他选项的值不肯定等于0．即，故选：．【点评】本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．14．（2024秋•公主岭市校级期中）若定义在上的函数满意：对随意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为A．2024 B．2024 C．4032 D．4034【解答】解：令得，，令得，，令，则，，，是奇函数，，即，．故选：．【点评】本题考查了奇偶性的推断与性质，属于中档题．15．（2024秋•吉林校级月考）已知函数，且，则实数的取值范围为A．，， B．，， C．， D．【解答】解：函数为自然对数的底数），，故函数为偶函数，且在单调递增，，，即，解得，实数的取值范围为：，，．故选：．【点评】本题考查了偶函数的性质，单调性，解函数不等式的基本方法，属于中档题16．（2024秋•长安区校级期中）已知函数是定义域为的奇函数，满意．若（1），则（1）（2）（3）A． B．0 C．2 D．60【解答】解：依据题意，是定义域为的奇函数，则，且；又由即有，则，进而得到，为周期为4的函数，若（1），可得（3）（1），（2），（4），则（1）（2）（3）（4），则（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）；故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，留意分析函数的周期，属于基础题．17．（2024•浙江模拟）设函数满意，且当，时，，当时，，又函数，函数在，上的零点个数为A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：因为函数满意，所以为偶函数，图象关于轴对称，因为当，时，，当时，，所以当时，，所以，，当，时，，，所以，又，所以，所以为偶函数，图象关于轴对称，令，得，所以求函数在，上的零点个数，即求图象与图象在，上交点的个数，在同一坐标系中画出的图象与的图象，如下图所示，又，，所以函数在，上的零点个数为7个．故选：．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，解题的关键是将函数零点问题转化成求图象交点的问题，同时考查了数形结合的思想和转化实力，属于中档题．18．（2024•北京）设函数为常数），则“”是“为偶函数”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：设函数为常数），则“”“为偶函数”，“为偶函数”“”，函数为常数），则“”是“为偶函数”的充分必要条件．故选：．【点评】本题考查命题真假的推断，考查函数的奇偶性等基础学问，考查推理实力与计算实力，属于基础题．19．（2024秋•大武口区校级期末）已知函数满意，若函数与图象的交点为，，，，，，，则交点的全部横坐标和纵坐标之和为A．1010 B． C．2024 D．4040【解答】解：函数满意，即为，可得的图象关于点对称，函数的图象关于点对称，可得若，为交点，则，也为交点，同理可得若，为交点，则，也为交点，则交点的全部横坐标和纵坐标之和为，故选：．【点评】本题考查函数的对称性的推断和运用，考查转化思想和运算实力、推理实力，属于中档题．20．（2024•江西模拟）已知偶函数满意，，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：偶函数满意满意，，的周期为8，且的图象关于直线对称．由于，上含有50个周期，且在每个周期内都是轴对称图形，关于的不等式在，上有3个整数解．当，时，，在上单调递增，在，上单调递减，（1），（2）（3）（4），当，2，3，时，，当时，在，上有4个整数解，不符合题意，，由可得或．明显在，上无整数解，故而在，上有3个整数解，分别为1，2，3．（4），（3），（1），．故选：．【点评】本题考查了函数单调性与不等式的解的关系，属于中档题．21．（2024春•兴庆区校级期末）设函数，则使得成立的的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：函数，那么可知是偶函数，当，是递增函数，成立，等价于，解得：，故选：．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．22．（2024秋•庄河市校级期末）设偶函数在，单调递增，则使得成立的的取值范围是A．， B．，， C．， D．，，【解答】解：因为为偶函数，所以可化为又在区间，上单调递增，所以，即，解得，所以的取值范围是，，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生敏捷运用学问解决问题的实力．23．（2024秋•城中区校级期末）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，，【解答】解：函数的定义域为，且，所以为奇函数，，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，所以为减函数，所以不等式等价于，所以，解得或，即实数的取值范围是．故选：．【点评】本题主要考查利用导数探讨函数的单调性，函数奇偶性的推断，利用函数的性质解不等式，属于中档题．24．（2024秋•平顶山期末）已知函数，（a），则A． B．2 C． D．3【解答】解：（a），（a），即，则，故选：．【点评】本题主要考查函数值的计算，结合对数函数的运算性质进行转化是解决本题的关键．25．（2024•河南模拟）已知函数，若（a），则A．0 B． C． D．【解答】解：由题意知，（a），故，故选：．【点评】本题考查了学生的化简运算实力．26．（2024•杭州模拟）已知函数是偶函数，则，的值可能是A．， B．， C．， D．，【解答】解：依据题意，设，则，则，，又由为偶函数，则，即，变形可得：对于随意恒成立，则有，分析选项：满意，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数诱导公式的应用，属于基础题．27．（2024•内江一模）已知函数，，若与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，函数的图象关于直线对称图像与函数图像有交点．函数图像关于直线对称图像函数为的反函数．函数为的反函数为，对称图像函数为．此图像与与函数的图像在，上有交点可转化为关于的方程在，上有解．可得．问题又可转化为求函数的值域即为的取值范围．得，函数在，上的递减区间为，，递增区间为，，的最小值为（e），的最大值为，函数的值域，，的取值范围为，，故选：．【点评】本题考查反函数、导数应用、函数方程思想、转化思想、数形结合思想，属于中档题．28．（2024春•历城区校级月考）已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，，使得关于直线对称，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：关于直线的对称函数为，则与在，上有交点，作出与在，上的函数图象如图所示：设经过点，，则，设与相切，切点为，，则，解得，．．故选：．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要仔细审题，留意函数性质的合理运用．29．（2024•宝鸡三模）函数的图象的对称性为A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【解答】解：因为，所以，所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义推断函数的奇偶性是解决本题的关键．30．（2024秋•和平区校级月考）已知定义域为且函数图象关于原点对称，并满意，当时，，则A． B． C． D．【解答】解：依据题意，定义域为且函数图象关于原点对称，则为奇函数，则有，满意，则有，故，变形可得，为奇函数，则，又由，则，则，故选：．【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性和对称性的应用，属于基础题．31．（2024秋•咸阳月考）已知定义在上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则A． B． C． D．【解答】解：因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，所以函数为上的奇函数，由，可得，故函数的周期为2，因为函数在上单调递增，则在上也是单调递增函数，因为，且，则．故选：．【点评】本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数的对称性、周期性以及单调性的应用，函数图象变换的应用，考查了逻辑推理实力与转化化归实力，属于中档题．32．（2024秋•9月份月考）已知函数关于直线对称，对随意实数，恒成立，且当，时，，则A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：由函数关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，故为偶函数，所以，又对随意实数，恒成立，所以，所以，所以函数的周期为2，当，时，，则（1）．故选：．【点评】本题考查了抽象函数的应用，函数奇偶性、对称性以及周期性的应用，考查了转化思想与逻辑推理实力，属于中档题．33．（2024春•东城区校级期中）已知定义在上的奇函数满意，关于对称且在区间，上单调递增，则A． B． C． D．【解答】解：因为满意，所以的周期为8，则，，（3），又因为为上的奇函数，且关于对称，所以（3）（1），又在区间，上单调递增，则在，上也是单调递增，所以在，上单调递增，故（1），所以．故选：．【点评】本题考查了函数性质的综合应用，函数奇偶性、周期性、单调性的应用，解题的关键是将所要推断的函数值进行等价转化，考查了逻辑推理实力与转化化归实力，属于中档题．34．（2024秋•静宁县校级月考）已知函数的定义域为，且函数的图象关于点对称，对于随意的，总有成立，当时，，函数，对随意，存在，使得成立，则满意条件的实数构成的集合为A． B． C． D．【解答】解：的图象关于点对称，的图象关于点对称，即是奇函数，由得，即函数是周期为4的周期函数，当时，，当时，，即，同时（4），（2），当时，，，则的值域为，若对随意，存在，使得成立，则存在，使得即可．即，即可，则有解，当时，抛物线开口向下，满意条件，当时，则满意判别式△，得，综上，故选：．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，依据条件求出函数的值域，利用存在性与随意性的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．二．多选题（共2小题）35．（2024春•临沂期末）已知函数在上单调递增，且，（2），则A．的图象关于点对称 B． C． D．不等式的解集为，，【解答】解：依据题意，依次分析选项：对于，函数满意，即，则的图象关于点对称，正确；对于，函数满意，令可得，又由在上单调递增，则，则有，错误；对于，函数满意，令可得，又由在上单调递增，则，则有，正确；对于，函数满意，令可得：（2），则有，不等式即或，则有或，即不等式的解集为，，，正确；故选：．【点评】本题考查函数单调性以及对称性的应用，留意分析函数的对称中心，属于中档题．36．（2024秋•姑苏区校级月考）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则以下说法正确的有A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数的一个周期为4 D．（2）【解答】解：因为定义域为，且为偶函数，所以，①所以关于直线，对称，故正确；又为奇函数，所以，即，用替换上式中，得，②所以关于点对称，故正确；由①②得：③所以④，所以，即，所以函数周期为4，故正确；因为为奇函数，所以，无法推断（2）的取值，故错误．故选：．【点评】本题考查了抽象函数的性质，属于中档题．三．填空题（共14小题）37．（2005•西城区校级一模）函数，，中，是奇函数，是偶函数．【解答】解：函数，，为偶函数．函数，当时，，．又，．当时，，．又，．当时，，．又，．综上，对随意都有，为偶函数．函数，，为奇函数．故答案为：；，【点评】本题以函数为载体，考查函数奇偶性的推断，应先推断函数的定义域关于原点对称，再合理运用定义，要留意分段函数的推断，需分段探讨．38．设函数的最大值为，最小值为，则2．【解答】解：，令，则为奇函数，的最大值与最小值的和为0，函数的最大值和最小值的和为，即，故答案为：2．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查转化思想，是基础题．39．（2024秋•广东期中）设函数的最大值为，最小值为，则2．【解答】解：，令，函数的定义域为，且，则函数为奇函数，设其最大值为，则其最小值为，，，．故答案为：2．【点评】本题考查函数奇偶性的判定及其应用，考查函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．40．（2024秋•上饶县校级月考）设函数的最大值为，最小值为，则2．【解答】解：函数，则为奇函数，则，即，则，故答案为：2．【点评】本题主要考查函数最值的求解，利用分式函数的性质构造奇函数是解决本题的关键．41．定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则2．【解答】解：函数为奇函数，，又的最大值为，最小值为，又，即为奇函数，且的最大最小值分别为，，由奇函数的性质可得，解得．故答案为：2．【点评】本题考查函数的奇偶性，涉及函数的最值问题，属基础题．42．（2024•浦东新区校级模拟）已知，设函数的最大值为，最小值为，则的值为4039．【解答】解：函数令，由于是单调递增，是单调递增，可得．，，（a）则故答案为：4039．【点评】本题考查分别常数处理方法，函数的单调性的应用，构造为定值是解题的关键．属于中档题．43．（2012•临川区校级模拟）设函数的最大值为，最小值为，那么4021．【解答】解：函数在上为增函数，在上为减函数在上为增函数，而在上也为增函数在上为增函数，故答案为4021【点评】本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最大值与最小值，关键是把函数化简成可以推断单调性的形式．44．（2024秋•东丽区校级月考）设函数的定义域为，满意，且当，时，．若对随意，，都有，则的取值范围是．【解答】解：因为，，，时，，，，时，，，，；，时，，，，，当，时，由解得或，若对随意，，都有，则．故答案为：，．