江苏省南通市海门区2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

江苏省南通市海门区2022-2023学年高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={x|x>1}，B={x|2x>4}A．R B．(1，2) C．(2，2．复数21+iA．1 B．-1 C．i D．−i3．已知底面半径为2的圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，则圆锥的母线长为（）A．2 B．2 C．22 4．若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且A．−1 B．−12 C．15．我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB=AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈D已滑到D'的位置，且A，B，D'三点共线，AD'=40cm，B为AA．−1725 B．−42125 6．A、B两组各3人独立的破译某密码，A组每个人译出该密码的概率均为p1，B组每个人译出该密码的概率均为p2，记A、B两组中译出密码的人数分别为X、Y，且A．E(X)<E(Y)，D(X)<D(Y) B．E(X)<E(Y)，D(X)>D(Y)C．E(X)>E(Y)，D(X)<D(Y) D．E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)7．在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0，0)，点A(0，8)，点M满足|MA|=5|MO|，又点A．5 B．22 C．25 8．两条曲线y=a⋅2x−ln2A．(−∞，1eC．(0，1e二、多选题9．已知在正四面体ABCD中，E、F、G、H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，则（）A．EF//平面ACD B．C．AB⊥平面FGH D．E、F、G、H四点共面10．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦点分别是F1，A．22−1 B．2+1 C．5−211．设函数f(x)=sin(ωx+φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π3.若f(−14π9)=0A．ω=B．φ=C．f(x)在(2π，D．f(x)在(0，12．若函数f(x)是定义在(0，+∞)上不恒为零的可导函数，对任意的x，y∈R+均满足：f(xy)=xf(y)+yf(x)，A．f(1)=0 B．g(1)=0C．g(4x)−g(x4)=4三、填空题13．已知某班高三模拟测试数学成绩X∼N(109.5，14.514．函数f(x)=sin(x−π2)15．已知平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=60°.若沿对角线AC将△ABC折起到△B'AC的位置，使得B'D=16．意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为{Fn}，则F1=F2=1四、解答题17．已知公差大于0的等差数列{an}满足a（1）求{a（2）在an与an+1之间插入2n个2，构成新数列{bn18．某公司开发了一款可以供n（n=3或n=4）个人同时玩的跳棋游戏.每局游戏开始，采用掷两颗质地均匀的骰子（骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6），两个骰子的点数之和除以n所得的余数对应的人先走第一步.两个骰子的点数之和除以n的余数0，1，2，⋯，n−1分别对应游戏者A1，A2，A3，⋯（1）当n=3时，在已知两个骰子的点数之和为偶数的条件下，求A3（2）当n=4时，求两颗骰子点数之和除以n的余数X的概率分布和数学期望，并说明该方法对每个游戏者是否公平.19．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PBC⊥平面PAB，PB=2PA=2，CP=CB，M，N分别为PB，CD的中点，且PA⊥MN.（1）证明：PA⊥CD；（2）若四棱锥P−ABCD的体积为1，求异面直线MN与AB所成角的余弦值.20．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，c=3，ab=4，点D满足2AD（1）若CD为∠ACB的角平分线，求△ABC的周长；（2）求3CD21．已知抛物线C：y2（1）求抛物线C的方程；（2）动直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，P是抛物线上异于A，B的一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①P点坐标为(λ2，2λ)；②k1+k22．已知函数f(x)=ax3（1）当a=−4时，求f(x)的极值；（2）当0<a<12时，设函数f(x)的两个极值点为x1，x

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因为B={x|2x>4}={x|x>2}故A∪B={x|x>1}=(1，故答案为：D.

【分析】先化简集合B={x|x>2}，再利用并集的定义可求得结果.2．【答案】B【解析】【解答】∵∴1−i的虚部为-1故答案为：B

【分析】复数化简得21+i3．【答案】C【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为l，半径为1的球的表面积为4π，因为底面半径为2的圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，所以2πl=4π解得l=22故答案为：C

【分析】根据底面半径为2的圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，利用圆锥的侧面积公式和球的表面积公式求解.4．【答案】B【解析】【解答】由|a+b即1+2a∴a故答案为：B．

【分析】对|a+b|=2两边平方，结合5．【答案】A【解析】【解答】依题意分析可知，当伞完全张开时，AD=40−24=16cm，因为B为AD'的中点，所以当伞完全收拢时，AB+BD=AD'=40cm在△ABD中，cos∠BAD=所以cos∠BAC=故答案为：A

【分析】根据题意求出AB=20，BD=20，AD=16，再根据余弦定理求出cos∠BAD6．【答案】B【解析】【解答】由题意可知：X服从二项分布B(3，p1同理：Y服从二项分布B(3，p2因为12<p1<对于二次函数y=3p(1−p)，对称轴p=12，所以在所以当12<p1<故答案为：B

【分析】由题意分析，X，Y均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得.7．【答案】B【解析】【解答】设M(x，因为点O(0，0)，点A(0，所以x2+(y−8)而点M在曲线y=−x2+2x+4上，方程y=−x2则两个圆的公共弦为两圆的方程相减，整理得：x+2y−6=0.所以M(x，y)满足y=−x2所以|MO|=2故答案为：B

【分析】先判断出点M是两个圆的公共点，求出M(2，2)，进而求出8．【答案】C【解析】【解答】由题可知a⋅2即a⋅x⋅2令t=x⋅2x>0又t'=2x+x⋅所以a=ln设h(t)=lntt由h'(t)>0可得t∈(0，e)，且h(e)=1作出函数h(t)=lntt由图象可知当a∈(0，1e即a∈(0，1e)时，两条曲线故答案为：C.

【分析】由题可得a⋅2x−ln2=9．【答案】A,B,D【解析】【解答】把正四面体ABCD放到正方体里，画图为：对于A项，∵E、F分别为AB，BC的中点，∴EF又∵AC⊂平面ACD且EF⊄平面ACD∴EF//平面ACD对于B项，从正方体的角度上看易得AC⊥BD，B符合题意.对于D项，∵E、F、G、H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点EF//ACGH//AC所以EF所以四边形EFGH是平行四边形，故E、F、G、H四点共面，所以D符合题意.对于C项，若AB⊥平面FGH成立，即AB⊥平面EFGH又因为HE⊂平面EFGH所以AB⊥HE又因为E、H分别为AB，AD的中点，所以EH所以AB⊥BD而△ABD为等边三角形，与AB⊥BD矛盾，所以C不正确.故答案为：ABD

【分析】把正四面体ABCD放到正方体里，根据线面平行的判定定理证明，可判断A；利用正方体结构特征直接求解，可判断B；利用反证法判断，可判断C；证明四边形EFGH是平行四边形，可判断D.10．【答案】B,C【解析】【解答】当PQ⊥x轴时，将x=c代入C：x2a2所以PF2=因为△PQF1所以PF2=F1即e2−2e−1=0，解得e=1−2当PQ与x轴不垂直时，由于对称性，不妨设PQ倾斜角为锐角，且P在x轴上方，则可得PF所以由△PQF1根据双曲线的定义可得QF1−Q又因为PF1−P又因为QF12所以QF在直角三角形QF1F即8a2+4(2故答案为：BC.

【分析】利用双曲线的定义和勾股定理，结合双曲线的离心率公式进行计算，可得答案.11．【答案】B,C【解析】【解答】函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为T，由f(−14πT4⋅(2k−1)即有8π2k−1>5π2，k∈N当k=1时，T=8π，ω=14，由有φ=k1π+7π18，k当k=2时，T=8π3，ω=3有φ=k2π+π6所以T=8πf(x)=sin(34x+π所以函数f(x)在(2π，当0<x<3π时，π6<34x+所以函数f(x)在(0，故答案为：BC

【分析】利用已知条件建立等量关系式得到T=8π2k−1，k∈N∗，由f(x)的最小正周期大于5π212．【答案】A,C,D【解析】【解答】令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0，A符合题意；因为f(xy)=xf(y)+yf(x)，则f(xy)xy又因为f(1)=0，f(x)是定义在(0，+∞)上不恒为零的可导函数，所以可设因为f(2)=2，所以f(2)2=kln2，即所以g(x)=f'(x)=令y=2，所以f(2x)=xf(2)+2f(x)，所以f(2x)=2f(x)+2x，所以2f'(2x)−2f'所以g(x2)−g(x4)=1，累加得：g(4x)−g(x因为f(2x)=2f(x)+2x，所以f(2×2f(2×2f(2×2⋯f(2×2累加得：f(2×20)+f(2×设Sn=f(2所以Sn=2S所以Sn2n−Sn−12累加得Sn所以Sn2所以k=1n故答案为：ACD.

【分析】赋值即可判断A；可根据题设条件，构造函数f(x)x=klnx(k≠0)，求出解析式，可判断B；通过对13．【答案】0.34【解析】【解答】因为P(X≥124)=0.16，所以故答案为：0.34

【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合已知条件可求出答案.14．【答案】π【解析】【解答】∵f(x)=sin∴f∴f'(又∵f(π2)=−根据导数几何意义得切线方程为y−0=1⋅(x−π即y=x−π切线与x轴的交点为(π2，0)，与所以围成三角形的面积为12故答案为：π

【分析】由题意得f(x)=−cosx，求导可得切线方程，进而求出切线与x轴的交点，与15．【答案】19【解析】【解答】如图示：在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=60°，则AC所以AC=13则在三棱锥B'−ACD中，故可将三棱锥B'则a2+b由题意可知三棱锥B'则r=a故外接球体积为V=4故答案为：19

【分析】由题意画出图象，根据余弦定理求出AC，将三棱锥B'−ACD中补成一个长方体，由题意可知三棱锥16．【答案】3【解析】【解答】从图（2）可得到正三角形的面积等于三个等腰梯形的面积加上小正三角形的面积，所以12整理可得F6由此可推断出F2021所以12整理可得F2025所以F=故答案为：3.

【分析】根据图示规律和数列递推关系求出答案.17．【答案】（1）解：设公差为d，(d>0)，由题意得(5−d)(5+d)=5+8d，化简得d2+8d−20=0，解得d=2或所以an（2）解：由（1）知在2n−1与2n+1之间插入2n个2，所以当忽略数列{an}中的项，则当有当n=5时，有62个数；当n=6时，共有126个数，所以110项应该介于a6和a7之间，即表示共有104个2和原先{a所以S110【解析】【分析】（1）设公差为d，利用基本量代换求出d=2，再利用通项公式即可得到答案；

（2）先判断出当有n次插入新数，共有2n+1−2个项，从而判断出110项应该介于a618．【答案】（1）解：因为掷两颗质地均匀的骰子所得点数之和有如下36种基本样本点（表）：

123456123456723456783456789456789105678910116789101112在已知两个骰子点数之和为偶数的条件下，共有基本事件18个，设事件“A3先走第一步”为D，表示和被n=3除后的余数为2的基本事件有和为2，8对应的情形有6个，依据古典概型可知：P(D)=即A3先走第一步的概率为1（2）解：当n=4时，两颗骰子点数之和除以n的余数X可能为0，1，2，3，且P(X=0)=3+5+136P(X=2)=1+5+336所以随即变量X的概率分布为X0123P1215故E(X)=0×1由于和被4除所得余数（即随即变量X取值）的概率大小不完全相同，说明该方法对每个游戏者不公平.【解析】【分析】（1）列举基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解；

（2）根据试验，分析出当n=4时，两颗骰子点数之和除以n的余数X可能为0，1，2，3，分别求概率，得到分布列，即可判断.19．【答案】（1）证明：如图，连接CM，因为CP=CB，M为PB中点，所以CM⊥PB，由CM⊆平面PBC，平面PBC⊥平面PAB，平面PBC∩平面PAB=PB，故CM⊥平面PAB；因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA；因为PA⊥MN，CM⊥PA，且CM∩MN=M，CM，MN⊂所以PA⊥平面CMN；而CD⊂平面CMN，所以PA⊥CD.（2）解：由（1）PA⊥CD，且ABCD为平行四边形，所以PA⊥AB，因为PB=2PA=2，所以AB=由于四棱锥P−ABCD的体积为VP−ABCD故VP−ABC=V如图，以A为坐标原点，AP，AB方向为x，y轴正方向建立空间直角坐标系，则B(3，0，0)，因为N为CD的中点，且CD=BA=(−所以MN=设异面直线MN与AB所成角为θ，θ∈(0，π2所以异面直线MN与AB所成角的余弦值为5【解析】【分析】（1）根据平面PBC⊥平面PAB得到CM⊥PA，再根据PA⊥MN得到PA⊥平面CMN，即可得到PA⊥CD；

（2）以A为坐标原点，AP，AB方向为x，y轴正方向建立空间直角坐标系，求解即可.20．【答案】（1）解：在△ADC中，ADsin∠ACD在△BCD中，BDsin∠BCD因为CD为∠ACB的角平分线，所以∠ACD=∠BCD，所以sin∠ACD=因为∠ADC+∠BDC=π，所以sin∠ADC=所以ADBD又因为2AD=DB又因为ab=4，所以a=22，b=所以△ABC的周长为3+32（2）解：在△ACD中，cos∠ADC=在△BDC中，cos∠BDC=因为∠ADC+∠BDC=π，所以cos∠BDC+所以3CD因为ab=4，所以3CD因为△ABC，所以a+3>b所以a+3>4a，令t=a2，则则f(t)=t+32t−6f'当1<t<42时，f'(t)<0，当t>4所以在(1，42所以f(t)∈[82−6，27)，所以【解析】【分析】（1）由ADsin∠ACD=ACsin∠ADC和BDsin∠BCD=BCsin∠BDC，根据CD为∠ACB的角平分线，得到ADBD=AC21．【答案】（1）解：因为抛物线C：y2所以4=2p，所以p=