河南省名校联盟2022-2023学年高三上学期理数1月新未来联考试卷

河南省名校联盟2022-2023学年高三上学期理数1月新未来联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={x|x+1<0}，B={x|A．(∁UA)∩BC．(∁UA)∩(2．复数(2A．−1 B．1 C．−i D．i3．(2−x)(1−x)A．16 B．−9 C．6 D．−144．已知圆C：x2+(y−1)A．22 B．63 C．255．已知点P是抛物线C：y2=8x上任意一点，则点P到抛物线A．72 B．4 C．926．已知α，β均为锐角，且sinα=2sinβ，A．14 B．223 C．37．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为2且圆心角为2π3A．43π B．83π C．8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+8)=f(x)，f(2022)=0，且当x∈(0，4)时，f(x)=x2−ax+2．若关于xA．(−2，2) C．(−2，0)∪(0，9．已知直线y=x+1与双曲线C：x2a2−y2b2=1A．5 B．10 C．2 D．510．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为A．79 B．23 C．3511．已知曲线y=xnlnx(n∈N*)与曲线A．Tn>n+1，C．Tn<n+1，二、多选题12．某公司对2021年的营收来源进行了统计，并绘制饼图如图所示．在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．则下列说法错误的是（）A．该公司在华东地区的营收额，约为东北地区营收额的三倍B．该公司在华南地区的营收额，比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多C．该公司2021年营收总额约为20300万元D．该公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比约为34.18%三、填空题13．已知非零向量a，b满足|b|=2，且a⋅b=|14．已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在(0，15．已知函数f(x)=12|ex−1|.若存在x1，x2∈(−a16．如图，三棱锥P−ABC的侧面展开图在以P为圆心，2为半径的圆上，其中A1，A2为三棱锥的顶点A在展开图中的对应点.已知BC=23四、解答题17．在如图所示的七面体EFG−ABCD中，底面ABCD为正方形，EF∥AB，FG∥BC，AE⊥平面（1）设平面ABFE∩平面GCD=l，证明：l∥平面ABCD；（2）若平面BCGF⊥平面EDG，求AE的长.18．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为S（1）若k=2，证明：数列{a（2）若k=12，求数列{1S2n19．最近几年，新型冠状病毒肺炎席卷全球，在病毒爆发之初，我国迅速建立防疫机制，通过将与新冠肺炎确诊患者接触过的人员分为“密接”和“次密接”两类人群，并对两类人群分别加以不同程度的隔离措施，有效地预防了新冠肺炎病毒的传播.已知某确诊阳性患者确诊当天的“密接”人员有2人，“次密接”人员有3人，且每个“密接”人员被感染的概率为12，每个“次密接"人员被感染的概率为（1）求在这五人中，恰好有两人感染新冠肺炎的概率；（2）设这五人中，感染新冠肺炎的人数为随机变量X，求X的数学期望.20．已知椭圆C：x29+y2b2=1(1<b<3)的上､下顶点分别为A，B，点P(t（1）求椭圆C的标准方程；（2）设△AQE的面积为S1，△BQF的面积为S21．已知函数f(x)=2x2−x−alnx（1）若f(x)在区间(1，+∞)上单调递增，求（2）设函数h(x)=f(x)+g(x)−|f(x)−g(x)|2，证明：存在唯一的正实数a，使得22．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=22sin(θ+π4)，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+（1）求圆C及直线l的直角坐标方程；（2）若射线θ=α(ρ>0)分别与圆C和直线l交于P，Q23．已知正数a，b，（1）若a=2，求1b+c（2）证明：1a+b

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】A={x|B={x|C={x|(则(∁A∪(∁(∁(故答案为：C.

【分析】求出集合A，B，C中元素范围，再根据集合的运算逐项进行判断，可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵(故答案为：B.

【分析】利用复数的运算法则即可求出答案.3．【答案】D【解析】【解答】(1−x则(2−x)(1−x)4中含x3故答案为：D.

【分析】根据式子结构特点，只需分析(1-x)4的展开式中含x2，x4．【答案】A【解析】【解答】因为圆C：x2+所以P(x0画出图形，如图圆心C(0，1)点C(0，1)因为31010>22故答案为：A.

【分析】分别求出圆心C(0，5．【答案】C【解析】【解答】解：由抛物线C：y2准线方程为x=−2，根据题意作图如下；点P到直线l：x−3点P到x=−2的距离为|PB由抛物线的定义知：|PB所以点P到直线l：x−3y+7=0和准线且点F(2，0)所以点P到直线l：x−3y+7=0和准线故答案为：C．

【分析】点P到直线l：x−3y+7=0的距离为|PA|，点P到x=−2的距离为|PB6．【答案】C【解析】【解答】由sinα=2sinβ，cosα=1又4sin2又α，βsin(α−β)=故答案为：C

【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得a，β角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得答案.7．【答案】D【解析】【解答】由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆锥的13所以体积V=1故答案为：D.

【分析】由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆锥的138．【答案】D【解析】【解答】因为f(x+8)=f(x)，所以函数的周期为8，f(2022)=f(253×8−2)=f(−2)，又函数是奇函数，所以f(−2)=−f(2)，所以f(2)=22−2a+2=0当x∈(0，4)时，f(x)=x2−3x+2=(x−32)2−14故答案为：D

【分析】首先判断函数的周期，并根据条件求a，并画出函数在区间(−4，4)的图像，转化为函数y=t与函数9．【答案】B【解析】【解答】双曲线C：x2a2显然直线y=x+1与直线bx−ay=0交点在第一象限，则有ba>1，即由y=x+1bx−ay=0解得x=ab−a由y=x+1bx+ay=0解得x=−ab+ay=b即(ab−a)所以双曲线C的离心率e=a故答案为：B

【分析】求出双曲线的渐近线方程与直线y=x+1联立，求出点A，B的坐标，通过|OA|=2|OB|，转化求解双曲线的离心率即可.10．【答案】A【解析】【解答】由6S=a2sinA+b2因此a+bc=3ab(a+b)故当a=b时，a+bc取到最大值3，此时a+b=3c，c=故cosC=a故答案为：A

【分析】根据面积公式以及正弦定理得3abc=a3+b3，进而根据不等式求解a+bc的最值，即可得11．【答案】B【解析】【解答】由题意知：y'1=n由于两曲线在x=xn处的切线互相平行，因此记g(x)=x(lnx+1)，g'(x)=lnx+2，故当x>e−2时，g'(x)>0，此时g(x)单调递增，当0<x<e−2时，g'(x)<0，此时因此2e=xnn所以lnT设h(x)=ex−x−1，(x>0)ex>x+1，故e1n>设m(x)=ex−x2−x−1，(1>x>0)，m'(x)=ex−2x−1，n(x)=m'(x)，n'(x)=ex−2，当0<x<ln2时，n因此Sn=x1+x2+⋯+x由ln因此Sn故答案为：B

【分析】根据切线平行可得斜率相等，即2e=xnn(lnx12．【答案】A,C,D【解析】【解答】A：因为35.B：因为在华中地区的三省中，河南省的营收额最少，所以河南省的营收额为6.因为19.所以本选项不正确；C：因为在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．所以有14217D：因为在华中地区的三省中，河南省的营收额最少，所以公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比为7.故答案为：ACD

【分析】根据饼图中所给的数据，逐项进行计算，即可得答案.13．【答案】π【解析】【解答】∵|b|=2∴a⋅b又θ∈[0，∴θ=故答案为：π3

【分析】根据向量的夹角公式求解可得答案.14．【答案】1<ω<2【解析】【解答】由x∈(0，π6又函数f(x)=sin(ωx+π6)所以ωπ6所以0<ω≤2，又函数在(π所以ωπ6+π综上，1<ω<2.故答案为：1<ω<2.

【分析】通过函数f(x)在(0，π6)上单调递增，求出ω的范围，再根据在(π15．【答案】a>2【解析】【解答】f(x)=12|因为x1<x所以−12e所以f'(x1)=−所以x1+x2=所以−a<ln4<a，即故答案为：a>2

【分析】根据条件切线互相垂直，可知两条切线斜率之积为-1，首先判断斜率是否存在，是否等于0，然后分类讨论，结合等式有解，求出实数a的取值范围.16．【答案】2【解析】【解答】解：如图，在三棱锥P−ABC，设点Q是点P在平面ABC上的射影，连接QA，则PQ⊥平面ABC，又QA，QB，QC⊂平面由题可得PA=PB=PC=2，所以QA=QB=QC，则点Q是△ABC的外心，QA为外接圆半径，则三棱锥P−ABC的外接球的球心在射线PQ上，又在△ABC中，可得AB=AC=10，BC=23，由余弦定理得又∠BAC∈(0，π)，所以sin∠BAC=所以QA=577设三棱锥P−ABC的外接球的半径为R=OA=OP，则在Rt△OQA中，OA可得OA2=QA2故三棱锥P−ABC的外接球的半径为221故答案为：221

【分析】根据题意画图，设点Q是点P在平面ABC上的射影，可得点Q是△ABC的外心，根据正、余弦定理求得△ABC外接圆半径，确定高度PQ的值，再结合图形，则三棱锥P−ABC的外接球的球心在射线PQ上，利用勾股定理计算可得三棱锥P−ABC的外接球的半径.17．【答案】（1）证明：因为底面ABCD为正方形，所以AB∥CD，因为AB⊂平面ABFE，CD⊄平面ABFE，所以CD∥平面ABFE，因为CD⊂平面GCD，平面ABFE∩平面GCD=l，所以CD∥l，因为l⊄平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以l∥平面ABCD；（2）解：因为AE⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面所以AE⊥AB，因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以AB，所以以A为原点，AB，AD，设AE=a（a>0），因为FE=FG=1，AB=2，EF∥AB，FG∥BC，底面所以A(所以BC=(0设平面BCGF和平面EDG的法向量分别为m=m⋅BC=2y=0令z=1，x1m=因为平面BCGF⊥平面EDG，所以m⋅n=a−2a所以AE的长为2.【解析】【分析】(1)证明直线和平面平行，可以先证直线和平面内一条直线平行，然后得到线面平行；

(2)已知AE⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，以A为原点，AB，AD，AE所在的直线分别为x，18．【答案】（1）证明：当k=2时，2Sn当n≥2时，2Sn−1①-②得2a∵a∴所以数列{a又n=1时，2S1=a1∴a2n=综合得an∴当n≥2时，a故数列{a（2）解：当k=12时，1当n≥2时，12S①-②得12∵a∴所以数列{a又n=1时，12S1=a∴a2n=则S∴1∴T【解析】【分析】（1）代入k=2，利用an=Sn-Sn-1得an+1−an−1=2，分别求出a2n，a2n−1，进而可得an，根据an可证明得数列{an}19．【答案】（1）解：“密接”人员感染两人的概率P1“次密接”人员感染两人的概率P2“密接”人员，“次密接”人员各感染一人概率P3=C（2）解：对于（2），可得感染人数可能为0，1，2，3，4，5.则P(X=0)=(1−P(X=1)=C21P(X=3)=(1P(X=4)=CP(X=5)=(得分布列如下：X012345P27814523111则E(X)=0×27【解析】【分析】(1)分别求出"密接”人员感染两人的概率P1“次密接”人员感染两人的概率P2，“密接”人员，“次密接”人员各感染一人概率P3，则恰好有两人感染新冠肺炎的概率为P=P1+P220．【答案】（1）解：tan∠PAB=tb−1，tan因为tan∠PAB=3tan∠PBA，所以tb−1=3t所以椭圆方程C：（2）解：kAP=−1t，所以直线联立y=−1tx+2x29+即E(kBP=3t，所以直线联立y=3tx−2得xB=0或xFkEF直线EF的方程y−8t2−184即Q(0，S1S2因为点P(t，1)(t>0)在椭圆内，所以tS1S2S【解析】【分析】（1）根据已知条件tan∠PAB=3tan∠PBA列式求出b，即可求出椭圆C的标准方程；

（2）利用直线与椭圆方程联立求点E、F的坐标，再求直线EF的方程，得点Q的坐标，并利用坐标表示S1S221．【答案】（1）解：因为f(x)=2x2−x−alnx由题意可得f'(x)≥0在易知f'(x)=4x−1−a所以f'(x)在(1所以0<a≤3，所以实数a的取值范围为(0（2）证明：因为h(x)=f(x)+g(x)−|f(x)−g(x)|又因为g(x)=bx−易知g(x)在定义域上单调递减，所以当x>1时，h(x)≤g(即h(x)在(1，因为g(12)=2b−又因为2x02−x0≥0因为当x∈(0，所以若h(x)=0恰有两个零点，只需因为f'(x)=4x−1−ax=则f(x)在(又因为a=4x12−x1，若a≥1所以f(x)若0<a<12，则x1∈(14又因为当x趋于0时，f(x)趋于+∞，