湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试题

2025届湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学高中毕业班第一次调研测试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设a，b都是不等于1的正数，则“loga2<logb2”是“2A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.已知四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=5A.1339B.13393.总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.014.已知函数fx=2x+1A.3.165B.3165.已知y=ax+b与函数f(x)=2lnx+5和gx=x²+4都相切，则不等式组x−ay+3≥0x+by−2≥0所确定的平面区域在A.2πB.3πC.6πD.12π6.已知x，y满足约束条件x−y≥0x+y≤2,A、lB.2C.3D.47.为得到y=sinA.向左平移53个单位B.向左平移π/6个单位C.向右平移5个单位D.向右平移π/6个单位8.在1−x⁵+A.74B.121C.74D.1219.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为()A.x215−y25=110.设命题P:∀a,b∈R,|ab|<|a|+|b|,则￢p为A.∀a,b∈R,|ab|≥|a|+|b|B.∃a,b∈R,|ab|<|a|+|b|C.∃a,b∈R,|ab|>|a|+|b|D.∃a,b∈R,|ab|≥|a|+|b|11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a₁=12,S₅=90,则等差数列{anA.2B.32C.3D.412.在声学中,声强级L(单位:dB)由公式L=10lg110−12给出，其中/为声强(单位：W/m²),L₁=60dB,L₂=75dB,那么A.10B.10C.−32D填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.记等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若Sn14.已知函数fx=eˣ+ax−1,若x≥0,f(x)≥15.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a−16.设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n,则m∥α;②若m⊂α，n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,m⊥n,则n⊥β;其中正确命题的序号为。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x=1+2cosαy=2(Ⅰ)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线l与曲线C交于A,B两点,与x轴交于点P,求|PA|·|PB|.18.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足(1)求数列aₙ的通项公式；(2)已知数列bₙ中，b₁=3a₁,bₙ₊₁=bₙ+1n∈N²,求数列19.(12分)已知数列aₙ满足a1=3(1)求证:数列{2ᵃaₙ}是等差数列，并求出数列{an(2)求数列{an}的前n项和Sn20.(12分)根据国家统计局数据,1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元,实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替,并表示为t;y表示全国GDP总量,表中zi(1)根据数据及统计图表，判断y=bt+a与y=cedJ(2)使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.线性回归方程y=参考数据：n45678e的近似值551484031097298121.(12分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成.在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中p、Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设∠BOP为2θ.(上述图形均视作在同一平面内)(1)记四边形COPQ的周长为f(θ),求f(θ)的表达式;(2)要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sinθ的值.22.(10分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且sinA−sinB(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=I，△ABC的周长是否有最大值?如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a，b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可.【题目详解】由“loga2<得log2a<0log2b>0或即0<a<1b>1由2n故loga2<logb2是故选C，【题目点拨】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题.2、B【解题分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cosBE【题目详解】∵PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,∴如图建立空间直角坐标系，由题意：A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,5),D(0,2,0),∵E为PC的中点,∴El∴∴异面直线BE与PD所成角的余弦值为|cosBEPD|故选:B.【题目点拨】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.3、D【解题分析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08，02.14，07.01，所以第5个个体是01，选D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.4、B【解题分析】令fx=t,则t²−2at+3a=0,由图象分析可知【题目详解】令fx=t,则y=t与y=fx顶多只有3个不同交点，要使关于x的方程f六个不相等的实数根，则t²−2at+3a=0有两个不同的根f₁,f₂∈设g1解得3<a≤故选:B.【题目点拨】本题考查复合方程报的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.5、B【解题分析】根据直线y=ax+b与f(x)和g(x)都相切，求得a.b的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆:1+3+2x−2y−22=0,，由此求得正确选项.【题目详解】f'x=2x,g'x=2x。设直线y=ax+b与f(x)相切于点.Ax₀2lnx₀+5,斜率为2x0,所以切线方程为y−2lnx0+5=2x0x−x0,化简得y=2x0x+2lnx0+3circle1令g'x=2x=2x0,解得x=1x0,g1x0=1x02+4,所以切线方程为y−1x02+4=2x0x−1x0,故选:B【题目点拨】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.6、D【解题分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论.【题目详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，z=2x+y等价于y=2x+z,作直线y=2x,向上平移,易知当直线经过点(2，0)时z最大，所以zₘₐₓ=2×2+0=4,故选D.【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.7、D【解题分析】试题分析：因为所以为得到y=sin(2x−π3的图象，只需要将考点：三角函数的图像变换.8、D【解题分析】根据(1−x⁵+1−x⁶+1−x【题目详解】因为在1−x所以含x的项为：C+所以含x³的项的系数是的系数是−=−故选:D【题目点拨】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，9、C【解题分析】判断出已知条件中双曲线C的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.【题目详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x轴的夹角时要分为两种情况.依题意，双曲渐近线与x轴的夹角为30°或60°,双曲线C的渐近线方程为y=±33x或y=±3x.A选项渐近线为y=±33x,B选项渐近线为y=±3故选:C【题目点拨】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.10、D【解题分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【题目详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题1)：∀a.b∈R,|ab|<|a|+|b|,则￢P为:∃a,b∈R,|a−b|≥|a|+|b|.故本题答案为D.【题目点拨】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题，11、C【解题分析】根据等差数列的求和公式即可得出.【题目详解】∵∠Ag=12,S₅=90,∴5×12+解得d=1.故选C.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12、D【解题分析】由L=101gI10−12得lgI=【题目详解】∵L=101g∴L=10∴当L₁=60时，lg当L₂=75时，lg∴故选:D.【题目点拨】本小题主要考查对数运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】结合等差数列的前n项和公式，可得a7【题目详解】由题意，S因为SnTn故答案为：11【题目点拨】本题考查了等差数列的前n项和公式及等差中项的应用，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.14、[1,+∞)【解题分析】求导得到f'【题目详解】因为fx=eˣ+ax−1,所以f'当a+l..0,即a≥l时,f(x)..0,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,从而f(x)..f(0)=0,故a≥1符合题意;当a+1<0,即a<1时,因为f'x=e¹+a在[0,+∞)上单调递增,且x₀∈0+∞,值范围是[1.+∞).故答案为:|1.+∞).【题目点拨】本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.15、π/3【解题分析】把|a【题目详解】因为|所以a∴cos所以θ=故答案为：π【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16、④【解题分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【题目详解】对于①，当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，①错误；对于②,当m⊂α,n⊂α,且m∥β,n∥β时,由两平面平行的判定定理,不能得出α∥β,②错误;对于③,当α∥β,且m⊂α,n⊂β时,由两平面平行的性质定理,不能得出m∥n,③错误;对于④,当α⊥β,且α∩β=m,n⊂α,m⊥n时,由两平面垂直的性质定理,能够得出n⊥β,④正确；综上知，正确命题的序号是④.故答案为：④.【题目点拨】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.1x−1²+y²=4,【解题分析】(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于1的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.【题目详解】(1)由曲线C的参数方程x=1+2cosa1y=2sinα(α为参数)→(x1=2xasa,(α为参数),两式平方相加，得曲线C的普通方程为x−1(2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为x=2+22t,y=22t(t为参数).设A,B两点对应的参数分别为t₁,t₂,则|PA|·|PB|=|t₁|·|t₂|,将x=2+22ty=2218、【解题分析】(1)当n≥2时,利用aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁可得anan−1=(2)利用分组求和法可求数列aₙ+bₙ的前n项和Tn,【题目详解】(1)当n=1时,2S₁+a₁=1,所以a当n≥2时,2Sₙ+aₙ=1,①2Sn1+an1=1,②所以2即3aₙ=aₙ₁,又因为a1−13≠0,故所以aₙ是首项a1=13故a(2)由bn+1=bn+1得：数列bn为等差数列，公差d=1，bT====【题目点拨】本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19、(1)证明见解析,a【解题分析】(1)将等式an=an−12+12n−1变形为2ⁿaₙ=2ⁿ⁻¹aₙ₋₁+2,进而可证明出{(2)利用错位相减法可求得数列{aₙ}的前n项和Sn.【题目详解】(1)因为an=an+12+所以数列2ⁿaₙ是等差数列，且公差d=2，其首项：2a₁=3所以2ⁿaₙ=3+n−1×2=2n+1,解得2S①②,得Sn2=【题目点拨】本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20、1【解题分析】(1)由散点图知y=ceᵈᵗ更适宜，对y=ceᵈᵗ两边取自然对数得lny=lnc+dt,令z=lny,a=lnc,b=d,则z=a+bt，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；(2)将t=5.2代入所求的回归方程中计算即可.【题目详解】(1)根据数据及图表可以判断，y=ceᵈ更适宜作为全国GDP总量y关于1的回归方程.对y=ce因为所以a=所以2关于(的线性回归方程为==1.405t2.312,所以y关于l的回归方程为y(2)将15.2代入y=c于是2020年的全国GDP总量约为：î=c【题目点拨】本题考查非线