自动控制原理-第4章第二次课

自动控制原理1

广义根轨迹是指根轨迹参数除了根轨迹增益之外的所有根轨迹。(1)参数根轨迹，(2)开环零点个数大于开环极点个数的根轨迹，(3)具有正反馈内环的零度根轨迹，等等。1.参数根轨迹

以非根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹引入等效开环传递函数的概念4-3广义根轨迹A为除K*外，系统任意变化的参数注意：等效意义在于特征方程相同，而此时闭环零点是不同的。等效开环传递函数自动控制原理2例设单位反馈系统的开环传递函数为等效开环传递函数：等效后的闭环传递函数：绘制以a为参变量的根轨迹4-3广义根轨迹自动控制原理3例4.10系统开环传递函数为

试绘制以时间常数为参变量的广义根轨迹。解：该系统的闭环特征方程式为

用除方程的两端

其等效开环传递函数为自动控制原理4根据绘制常规根轨迹的规则，可以绘制以为参变量的根轨迹。

(1)开环零点

，开环极点

(2)实轴上根轨迹(-∞，-1]

由于该系统等效开环传递函数的零点数m=3，大于极点数n=2，所以在该根轨迹中将有一条从负无穷远处沿实轴终止于开环零点-1的根轨迹分支。(3)确定复数极点p1，p2的出射角

自动控制原理5(4)与虚轴交点采用劳斯表容易求得根轨迹与虚轴交点的jω和相应的τ自动控制原理6第四节系统性能的分析一、利用闭环主导极点估算系统的性能

利用根轨迹求出系统的闭环极点、零点后，可以定性地分析或定量地估算系统的性能。

在S平面上最靠近虚轴而附近又无闭环零点的闭环极点对系统性能的影响最大，称为系统的主导极点

比主导极点实部大5倍以上的其它闭环零、极点的影响可以忽略；甚至在近似计算中把比主导极点实部大2—3倍的闭环零、极点也可略去。

在一般情况下，高阶系统的设计都以获得衰减振荡响应过程为最满意，因此，闭环主导极点常常是一对共轭复数主导极点，相应高阶系统的瞬态响应指标也可由一对共轭复数主导极点所确定的二阶系统参数近似估算。自动控制原理7例4.12已知单位反馈系统的开环传递函数

试用根轨迹分析系统的稳定性，若主导极点具有阻尼比近似求取系统的超调量和调节时间。

解：将开环传递函数写出零、极点形式

（1）绘制系统的根轨迹图

自动控制原理8自动控制原理9（2）根据阻尼比的要求，确定闭环主导极点s1和s2的位置。

首先，在s平面上作出时的阻尼线，使其与实轴负方向的夹角

阻尼线与根轨迹的交点为s1。从根轨迹图上可得

利用根轨迹图和幅值方程可求出其对应的开环增益根轨迹绘制法则8

，可以求出时闭环特征方程的的另一个根所以是一对共轭闭环主导极点，系统可以近似为二阶系统。

自动控制原理10由，得：所以系统的闭环传递函数可以近似为

于是系统的动态性能指标近似为

采用MATLAB做仿真对比，原系统的在时的闭环传递函数

自动控制原理11MATLAB程序如下：%简化后闭环系统的阶跃响应曲线num1=0.436;den1=[10.660.436];step(num1,den1)holdon%原闭环系统的阶跃响应曲线num2=1.06;den2=[1321.06];step(num2,den2)legend('简化后系统','原系统')

自动控制原理12二.

闭环偶极子4-4系统性能的分析一对相距很近的闭环零点、极点。

如果这对偶极子不十分靠近坐标原点和其他极点，则它们对动态性能的影响可以忽略不计。闭环极点闭环零点一对偶极子自动控制原理134-4系统性能的分析如果偶极子十分接近原点，即因此，靠近坐标原点的偶极子对动态性能的影响必须考虑。偶极子的确定：闭环零、极点之间的距离比它们到其他极点的距离及其自身的模值小一个数量级，这对闭环零、极点构成偶极子。自动控制原理144-4系统性能的分析简化后错误自动控制原理15三、1.附加开环零点的作用4-3广义根轨迹(1)附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。(2)可以改善系统的动态性能。

（a)（b)自动控制原理164-3广义根轨迹（c)（d)结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。自动控制原理174-3广义根轨迹三、2.附加开环极点的作用（a)（b)（c)

引入开环极点，可使根轨迹向右弯曲或移动，它增加了系统的滞后，相当于积分作用（在第五章会有更深入的分析）。在上例中，引入的开环极点越接近原点，系统的稳定性被破坏的程度越大，甚至导致不稳定。

自动控制原理18四、附加开环偶极子对根轨迹的影响

如果系统引入一对相距很近的开环零、极点(实数或复数)，且它们之间的距离比它们的模值小一个数量级时，则这一对开环零、极点称为开环偶极子。

这对接近原点的开环偶极子可以改变开环增益的大小。

自动控制原理19

因此远离坐标原点的开环偶极子对系统性能的影响可以忽略不计。靠近坐标原点的开环偶极子不能忽略，它对根轨迹的作用可以概括为：（1）开环偶极子不影响稍远离开偶极子位置的根轨迹形状。（2）开环偶极子不影响根轨迹上各点的根轨迹增益，但可影响根轨迹上各点的开环增益。合理地配置偶极子中的开环零、极点，可以在不影响动态特性的基础上，改善系统的稳态性能。自动控制原理20分离点d=-0.423分离点处所对应的根轨迹增益为：3.系统性能的定性分析4-4系统性能的分析自动控制原理21模值条件:如果没有开环零点:自动控制原理224-4系统性能的分析自动控制原理23Matlab命令：num=0.38den=[1320.38]step(num,den)4-4系统性能的分析自动控制原理24Matlab命令：num=1den=[1320]r=rlocus(num,den，2)r=-2.5214-0.2393+0.8579i-0.2393-0.8579i4-4系统性能的分析自动控制原理25Matlab命令：num=2den=[1322]step(num,den)4-4系统性能的分析自动控制原理26Matlab命令：num=6den=[1326]step(num,den)4-4系统性能的分析自动控制原理27Matlab命令：num=10den=[13210]step(num,den)4-4系统性能的分析自动控制原理28闭环系统具有3个负实数根，系统没有振荡的动态分量，阶跃响应呈现过阻尼状态。4-4系统性能的分析自动控制原理294-4系统性能的分析自动控制原理30闭环系统具有1个实数根和一对共轭复数根，它们均位于复平面左半部，系统有衰减振荡的动态分量，阶跃响应呈现欠阻尼状态。4-4系统性能的分析自动控制原理314-4系统性能的分析自动控制原理32闭环系统具有复平面右半部的根，系统有发散的动态分量，此时的系统为不稳定系统。4-4系统性能的分析自动控制原理33（4）调节时间：主要取决于闭环复数主导极点的实部绝对值，如果是实数极点距虚轴最近，附近没有实数零点，取决于该极点的模值。（1）稳定性：闭环极点全部位于左半S平面系统稳定性与闭环极点有关，与闭环零点无关。（2）运动形式：闭环系统无零点，且闭环极点均为实数，时间响应一定是单调的；若闭环极点均为复数，时间响应一般是振荡的。（3）超调量：超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率并与其它闭环零、极点接近坐标的程度有关。闭环系统零、极点位置对时间响应性能指标的影响，归纳为：4-4系统性能的分析自动控制原理34（5）实数零、极点影响：零点减小系统阻尼，使得峰值时间提前，超调量增大；实数极点增大系统阻尼，使峰值时间推迟，超调量减小。（6）偶极子及其处理。远离原点及其他极点的偶极子