专题八 四边形常见模型-简单数学之2022年中考二轮专题复习（原卷版）（全国适用）

专题八四边形常见模型一、中点四边形例题1如图，已知△ABC，点O是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，连接OA，OB，OC，并顺次连接AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G得四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若使四边形DEFG为矩形，则OA与BC的位置关系是；若使四边形DEFG为菱形，则OA与BC的数量关系．练习题1．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？2．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是．（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．3．如图，、是四边形的对角线，点E、F、G、H分别是线段、、、上的中点（1）求证：线段、互相平分；（2）四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论．4．如图1，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是等角线四边形（填写图形名称）；②若、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，当对角线、还要满足______时，四边形是正方形．（2）如图2，已知在中，，，，为平面内一点．①若四边形是等角线四边形，且，求符合条件的等角线四边形的面积．②设点是所在平面上的任意一点且，若四边形是等角线四边形，求出四边形面积的最大值，并说明理由．5．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点，中点四边形是_______________．（2）如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想．（3）若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．6．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．7．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，顺次连接E、G、F、H．（1）求证：四边形EGFH是菱形．（2）当∠ABC与∠DCB满足什么关系时，四边形EGFH为正方形，并说明理由．（3）猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三个角之间的关系，并证明你的猜想是成立的．8．已知：在矩形ABCD中，，．（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，．①连接BG，若，求AF的长；②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由．二、十字模型例题2如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（

）A．13 B．14 C．15 D．16练习题1．如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，折痕为、，点在上，点在上，则的大小为（

）A．15° B．30° C．45° D．60°2．如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点，点重合）将正方形纸片折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于，折痕为，连接，.则的周长是______．3．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）如图1，求证AE⊥BF；（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN；4．如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点．（1）求证：；（2）如图2，连接、，点、、、分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；（3）如图3，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长．5．如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG．（1）当AG=1时，求EG的长；（2）当AG的值等于时，BE=8－2DF；（3）过G点作GM⊥EG交CD于M

①求证：GB平分∠AGM；

②设AG=x，CM=y，试说明的值为定值．6．如图1，正方形中，是对角线，点在上，点在上，连接（与不垂直），点是线段的中点，过点作交线段于点．（1）猜想与的数量关系，并证明；（2）探索，，之间的数量关系，并证明；（3）如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变，请直接写出，，之间的数量关系．7．已知四边形和四边形都是正方形，且．（1）如图1，连接、，求证：；（2）如图2，将正方形绕着点旋转到某一位置，恰好使得，.①求的度数；②若正方形的边长为，请直接写出正方形的边长的值．8．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：(1)【观察与猜想】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，，则的值为______；(2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，，，点E是AD上的一点，连接CE，BD，日．求的值；(3)【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，且，，求AB的长；三、与正方形有关的三垂直模型例题3如图，四边形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三点共线，，则图中阴影部分的面积是（

）A．12 B．10 C．8 D．6练习题1．如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4=__．2．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F．（1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系．3．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，接EF．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．4．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．5．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．(1)求证：△ABD≌△ACF；(2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．6．如图，四边形是正方形，点是线段的延长线上一点，点是线段上一点，连接，以点为直角顶点作交的角平分线于，过点作交于，连接，，．（1）求证：．（2）求证：．（3）若，，求的长．7．（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图．8．（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．9．如图1，已知正方形和正方形，点在同一直线上，连接，，与相交于点．（1）求证：．（2）如图2，是边上的一点，连接交于点，且．①求证：；②若，直接写出的值．10．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的关系（直接写出答案，不用证明）；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤60°），判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图②证明你的结论；（3）若BC＝DE＝4，当α等于多少度时，AE最大？并求出此时AF的值．四、垂美四边形例题4如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是_____________．（2）性质探究：如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE交AB于点M，已知AC=4，AB=5，求GE的长．练习题1．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．2．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：（填写序号）；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长．3．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）（1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是；（2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系_________________________；（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，联结CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．4．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图1，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由；（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形中探究、、、之间的数量关系；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．若AB=3，AC=2，求线段GE的长．5．（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）（2）【概念理解】如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．（3）【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，试探究，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；（4）【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．6．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探究垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系，写出证明过程（先画出图形）（3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求的长．7．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________；（2）如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点D在格点上．（3）如图2，在正方形中，点E，F，G分别在，，上，四边形是垂等四边形，且．①求证：；②若，求n的值；8．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形