人工智能的数学基础1

人工智能导论人工智能的数学基础-12021/6/271课程进度人工智能原理与应用前言绪论数学基础知识表示(1)知识表示(2)经典逻辑推理(1)经典逻辑推理(2)经典逻辑推理(3)经典逻辑推理(4)课程设计(1)课程设计(2)不确定推理(1)不确定推理(2)不确定推理(3)经典逻辑推理(5)2021/6/272本节知识框架人工智能的数学基础(1)命题逻辑与谓词逻辑多值逻辑（扩展）概率论命题谓词谓词公式谓词公式的一些特性随机现象样本空间与随机事件事件的概率条件概率2021/6/273回顾上一节课的内容绪论什么是人工智能人工智能的研究目标及内容人工智能的研究途径人工智能的研究领域智能人工智能发展简史研究目标基本内容符号处理为核心网络连接为主的专家系统机器学习模式识别自然语言理解等10重点：智能、人工智能的定义，研究目标（2），基本内容（5）,人工智能的研究途径（3）2021/6/274为什么要研究数学思维形式化、符号化人工智能研究课题基础逻辑、概率、模糊知识的表示与处理中占有重要地位。因此，在系统学习人工智能的理论与技术之前，先掌握些有关逻辑、概率论及模糊理论方面的知识是很有必要的。2021/6/275人工智能的数学基础(1)命题逻辑与谓词逻辑多值逻辑（扩展）概率论命题谓词谓词公式谓词公式的一些特性随机现象样本空间与随机事件事件的概率条件概率2021/6/276命题逻辑与谓词逻辑命题逻辑与谓词逻辑命题谓词谓词公式谓词公式的解释谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性谓词公式的等价性与用真蕴含谓向逻辑是在命题逻辑基础上发展起来的，命题逻辑可看作是谓词逻辑的一种特殊形式2021/6/277命题逻辑与谓词逻辑－命题（1）什么是命题？命题是具有真假意义的语句命题代表人们进行思维时的一种判断，或者是肯定，或者是否定，只有这两种情况例子：北京是中华人民共和国的首都。3≤5。太阳从西边升起。我今天吃的很饱。多么美丽的祖国。我吃的很饱是一个命题。表示形式用P描述2021/6/278命题逻辑与谓词逻辑－命题命题语句真假含义注意：语句和真假的含义缺一不可2021/6/279命题逻辑与谓词逻辑－命题命题逻辑的局限性？无法把它所描述的客观事物的结构及逻辑特征反映出来，也不能把不同事物间的共同特征表述出来。例如：老李是小李的父亲李白是诗人，杜甫也是诗人。思考？面对这样的问题，我们怎样解决？

提示：通常在编程当中，我们采用什么样的方式来解决相同特征的问题，函数（Function）2021/6/2710命题逻辑与谓词逻辑－谓词谓词谓名词个体函数名称参变量个体表某个独立存在的事物或者某个抽象的概念谓名词用于刻画个体的性质、状态或个体间的关系2021/6/2711命题逻辑与谓词逻辑命题谓词谓词公式谓词公式的解释谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性谓词公式的等价性与用真蕴含2021/6/2712命题逻辑与谓词逻辑－谓词老张是教师Teacher（Zhang）谓名词个体Teacher刻画了zhang的职业是教师？如果是老李也是教师，怎么描述2021/6/2713命题逻辑与谓词逻辑－谓词5＞3：Greater(5,3)。Greater(3,5)?谓词的一般形式是：P(x1,x2,…,xn)谓词名：个体：通常情况谓词名用大写表示，而个体用小写表示谓词的个体，可以是一个常量，也可以是一个变元，还可以是一个函数例如：X＜5：Less（x,5）小王的父亲是教师：Teacher(Father(Wang))比较C中的函数2021/6/2714命题逻辑与谓词逻辑－谓词几个概念：当谓词中的变元都用特定的个体取代时，谓词就具有一个确定的真值：T或FP(x1,x2,…,xn)，其中n是阶数个体变元的取值范围成为个体域。有限，无限谓词和函数的联系和区别个体常量、个体变元、函数统称为“项”采用谓词有什么样的优点2021/6/2715命题逻辑与谓词逻辑命题谓词谓词公式谓词公式的解释谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性谓词公式的等价性与用真蕴含2021/6/2716命题逻辑与谓词逻辑－谓词公式谓词公式：无论是命题逻辑还是谓词逻辑，可以利用连接词把一些简单的命题连接起来构成一个合命题，表示一个比较复杂的含义。非合取析取条件或者蕴含，p→q双条件：当且仅当2021/6/2717命题逻辑与谓词逻辑－谓词公式量词全称量词存在量词P(x)表示是证书，F(x,y)表示x，y是朋友2021/6/2718命题逻辑与谓词逻辑－谓词公式谓词公式：单个谓词是合式公式，成为原子谓词公式若A是合式公式，则┐A也是合式公式若A，B都是合式公式，则A∧B，A∨B，A→B，A←→B若A是合式公式，X是任一个体变元，包含全称量词和存在量词的也是合式公式2021/6/2719命题逻辑与谓词逻辑－谓词公式分析一个谓词公式约束变元自由变元变元换名原则:同名的约束变元应该统一变成相同的名字，注意约束条件也得修改2021/6/2720命题逻辑与谓词逻辑命题谓词谓词公式谓词公式的解释谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性谓词公式的等价性与用真蕴含2021/6/2721谓词公式的解释在命题逻辑中，对命题公式中各个命题变元的一次真值指派成为命题公式的一个解释形象理解：赋值→函数值谓词公式的解释：设D为谓词公式P的个体域，若对P中的个体常量，函数和谓词按如下规定赋值：（1）为每个个体常量指派D中的一个元素（2）为每个n元函数指派一个从Dn到D的映射，其中Dn＝｛（x1,x2,…,xn）/x1,x2,…,xn∈D｝（3）为每个n元谓词指派一个从Dn到｛F,T｝的映射，责成这些指派为公式P在D上的一个解释。2021/6/2722谓词公式的解释例如个体域D＝｛1,2｝，求公式在D上的某一个解释解:个体常量b＝1，f(1)=2,f(2)=1对谓词指派的真值：P(1)=F,P(2)=T,Q(1,1)=T,Q(2,1)=F当x=1时P(1)=F,Q(f(1),1)=Q(2,1)=FP(1)→Q(f(1),1)＝T同理x=2时，T当前的解释是的公式B是永真的2021/6/2723命题逻辑与谓词逻辑命题谓词谓词公式谓词公式的解释谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性谓词公式的等价性与用真蕴含2021/6/2724谓词公式的永真性、可满足性等永真性：如果谓词公式P对个体域D上的任何一个解释都取得真值T，则称P在D上是永真的；如果P在每个非空个体域上均永真，则称P在每个非空个体域上均永真，则称P永真。可满足性：对于谓词公式P，如果至少存在一个解释使得公式P在此解释下的真值为T，则称公式P是可满足的。不可满足性：如果谓词公式P对于个体域D上的任何一个解释都取得真值F，则称P在D上是永久假的，如果P在每个非空个体域上均永假，则称P永假。2021/6/2725命题逻辑与谓词逻辑命题谓词谓词公式谓词公式的解释谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性谓词公式的等价性与用真蕴含2021/6/2726谓词公式的等价性与永真蕴含交换律：P∨Q←→Q∨P,P∧Q←→Q∧P结合律：

(P∨Q)∨R←→P∨(Q∨R)(P∧Q)∧R←→P∧(Q∧R)分配律：P∨(Q∧R)←→(P∨Q)∧(P∨R)P∧(Q∨R)←→(P∧Q)∨(P∧R)德.摩根律！(P∨Q)←→！P∧!Q！(P∧Q)←→！P∨!Q双重否定！！P←→P吸收律P∨(P∧R)←→P,P∧(P∨R)←→P2021/6/2727谓词公式的等价性与永真蕴含补余律P∨！P←→T !P∧P←→F结合律

(P∨Q)∨R←→P∨(Q∨R)(P∧Q)∧R←→P∧(Q∧R)连接词化归律P→Q←→！P∨Q量词转化律

2021/6/2728谓词公式的等价性与永真蕴含2021/6/2729谓词公式的等价性与永真蕴含P规则：推理的任何步骤可以引入的前提T规则：前面推出的结论，在后续的推理中，使用CP规则：从R和前提结合中推出来S，使用结论R→S反证法：这些规则在后续的讨论中，我们在进行相关介绍。2021/6/2730人工智能的数学基础(1)命题逻辑与谓词逻辑多值逻辑（扩展）概率论命题谓词谓词公式谓词公式的一些特性随机现象样本空间与随机事件事件的概率条件概率2021/6/2731多值逻辑经典命题逻辑和谓词逻辑的语义解释只有两个：真和假，0和1。现实生活中的某些问题不是简单的真和假的问题，而是存在于真和假之间的某个位置上（甚至更复杂）三值逻辑：第三个结论有很多讨论，有人提出无意义这个值，是为了解决悖论2021/6/2732多值逻辑命题取值只能有三个：真，假，还有一个（无意义，不能判定：悖论）城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。命题：理发师给自己刮脸吗？/lib/paradox/2021/6/2733人工智能的数学基础(1)命题逻辑与谓词逻辑多值逻辑（扩展）概率论命题谓词谓词公式谓词公式的一些特性随机现象样本空间与随机事件事件的概率条件概率2021/6/2734概率论概率论随机现象样本空间与随机事件事件概率条件概率全概率公式与Bayes公式2021/6/2735概率论为什么要引入概率论概率关系模拟概率论是研究随机现象中数量规律的一门学科。反应了事物的不确定性2021/6/2736概率论随机现象样本空间与随机事件事件概率条件概率全概率公式与Bayes公式2021/6/2737概率论－随机现象在相同的条件下重复进行某种试验时，试验结果不一定完全相同且不可预知的现象称为随机现象。难忘一课（老师名单）2021/6/2738概率论随机现象样本空间与随机事件事件概率条件概率全概率公式与Bayes公式2021/6/2739样本空间与随机事件在试验中每一个可能出现的结果称为试验的一个样本点，由样本电的全体构成的集合称为样本空间。抛硬币：2个色子：6个彩票：？，中彩票的概率是多少？2021/6/2740样本空间与随机事件我们把要考察的由一些样本点构成的集合称为随机事件，简称事件。在某次试验中，若事件包含的某一个样本点出现，就称这一事件发生。必然事件，不可能事件。2021/6/2741样本空间与随机事件2021/6/2742概率论随机现象样本空间与随机事件事件概率条件概率全概率公式与Bayes公式2021/6/2743事件的概率表示事件发生可能性大小的数称为事件概率P(A)古典概型：如果随机试验E的样本空间D中只包含有限个基本条件，并且在每次试验中每个基本事件发生的可能性相同，则称E为古典型随机试验，简称古典概型。P(A)=m/n如：1,2,…,7这7个数字当中，取一个数字A＝｛取数字3的倍数｝B＝｛取偶数｝2021/6/2744事件的概率统计概率在同一组条件下所做的大量重复试验中，事件A出现的频率fn(A)总是在[0,1]上的一个确定的常数p附近摆动，并且稳定于p，则称P为事件A的概率。硬币，色子等2021/6/2745事件的概率P(A)∈[0,1]必然事件P(D)=1,不可能事件P(D)=0P(!A)=1-P(A)P(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(A∩B)A1,A2,…,An两两互补相容:??事件B是事件A的子集：P(A-B)=P(A)-P(B)2021/6/2746概率论随机现象样本空间与随机事件事件概率条件概率全概率公式与Bayes公式2021/6/2747条件概率假设A与B是某个随机试验中的两个事件，如果在事件B发生的