2025年新高考数学一轮复习第5章第03讲复数(八大题型)(练习)(学生版+解析)

第03讲复数目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：复数的概念 2题型二：复数的运算 2题型三：复数的几何意义 3题型四：复数的相等与共轭复数 3题型五：复数的模 3题型六：复数的三角形式 4题型七：与复数有关的最值问题 4题型八：复数方程 502重难创新练 503真题实战练 7题型一：复数的概念1．（2024·河南信阳·模拟预测）复数的虚部为（

）A． B． C．1 D．22．（2024·陕西安康·模拟预测）若的虚部为2，则（

）A．4 B． C．8 D．3．（2024·甘肃张掖·三模）已知复数z满足，则的虚部为（

）A． B．1 C． D．0题型二：复数的运算4．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（

）A． B． C． D．5．（多选题）下列各式的运算结果是实数的是（

）A． B．C． D．6．（多选题）（2024·福建泉州·一模）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．7．（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为，则（

）A．i B．-i C． D．8．（2024·高三·黑龙江绥化·期中）已知复数和（i是虚数单位），则．题型三：复数的几何意义9．（2024·陕西·模拟预测）已知复数，，，若，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2024·青海海西·模拟预测）已知，复数，则“”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．（2024·高三·湖南岳阳·期中）已知复数的共轭复数为，且满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型四：复数的相等与共轭复数13．（2024·北京海淀·二模）若，则.14．（2024·重庆·模拟预测）复数满足（为虚数单位），则．15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则的虚部为.16．（2024·山东青岛·二模）已知复数满足，则复数.题型五：复数的模17．（2024·高三·上海·期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模等于．18．（2024·高三·上海嘉定·期中）若复数（为虚数单位），则．19．（2024·高三·辽宁大连·期中）设复数，满足，，则.20．若复数z满足，则题型六：复数的三角形式21．（2024·高三·辽宁·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（

）A． B．C． D．22．（2024·全国·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则（

）A． B． C． D．23．复数的三角形式是（

）A． B．C． D．24．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（

）A．B．C．D．题型七：与复数有关的最值问题25．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．26．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．327．（2024·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．228．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（

）A．2 B．C． D．329．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．430．已知复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B．3 C． D．题型八：复数方程31．（2024·上海浦东新·二模）已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则．32．（2024·上海嘉定·二模）设，则．33．复数（i为虚数单位）的平方根为34．已知关于的方程的两根为、，满足，则实数的值为35．已知方程有两个虚根，则的取值范围是1．（2024·西藏·模拟预测）已知复数，则（

）A． B． C． D．2．（2024·甘肃兰州·三模）已知复数，则（

）12．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数，下列说法正确的是（

）A．若为纯虚数，则B．若是的共轭复数，则C．若，则D．若，则取最大值时，13．（2024·天津南开·二模）是虚数单位，复数.14．（2024·天津北辰·三模）是虚数单位，复数的虚部为.15．（2024·河南南阳·三模）若，则16．（2024·上海·三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为.17．（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为.1．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（

）A． B．C． D．2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）（

）A．1 B．2 C． D．53．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）（

）A． B．1 C． D．4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设，则（

）A．-1 B．0

· C．1 D．25．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，则（

）A． B． C． D．6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（

）A． B． C．0 D．17．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．9．（2022年新高考全国II卷数学真题）（

）A． B． C． D．10．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设，其中为实数，则（

）A． B． C． D．11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若．则（

）A． B． C． D．12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（

）A． B． C． D．13．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．14．（2022年新高考北京数学高考真题）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．2515．（2022年新高考全国I卷数学真题）若，则（

）A． B． C．1 D．216．（2024年天津高考数学真题）已知是虚数单位，复数．17．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知虚数，其实部为1，且，则实数为．18．（2023年天津高考数学真题）已知是虚数单位，化简的结果为．19．（2022年新高考天津数学高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为．第03讲复数目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：复数的概念 2题型二：复数的运算 3题型三：复数的几何意义 5题型四：复数的相等与共轭复数 6题型五：复数的模 7题型六：复数的三角形式 8题型七：与复数有关的最值问题 10题型八：复数方程 1202重难创新练 1403真题实战练 20题型一：复数的概念1．（2024·河南信阳·模拟预测）复数的虚部为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】因为，所以复数的虚部为.故选：B2．（2024·陕西安康·模拟预测）若的虚部为2，则（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【解析】由题得，则.故.故选：D.3．（2024·甘肃张掖·三模）已知复数z满足，则的虚部为（

）A． B．1 C． D．0【答案】C【解析】因为，则，所以，所以复数的虚部为.故选：C.题型二：复数的运算4．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】设复数在复平面内对应的点分别为，为坐标原点，则复数在复平面内对应的向量为，且，，，所以四边形为菱形，且，又，与轴正半轴所成的角为，所以与轴正半轴所成的角为，所以与关于轴对称，所以，则，所以，故B正确；因为，所以，故A错误；，故C正确；，故D错误.故选：BC5．（多选题）下列各式的运算结果是实数的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A项中，，故A正确；B项中，，故B错误；C项中，，故C正确；D项中，，故D错误.故选：AC.6．（多选题）（2024·福建泉州·一模）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】设复数，可得因为复数z满足，可得，则，可得且，由时，可得或，当时，可得，此时；当时，方程，无解；对于A中，当，可得，可得；当，可得，可得，所以A正确；对于B中，当，可得，且，则，所以B不正确；对于C中，当，可得，可得，所以C不正确；对于D中，当，可得，可得，则；当，可得，可得，则，所以D正确.故选：AD.7．（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为，则（

）A．i B．-i C． D．【答案】B【解析】z对应的点坐标为，所以，所以故选：B.8．（2024·高三·黑龙江绥化·期中）已知复数和（i是虚数单位），则．【答案】/【解析】由题意，得，，则.故答案为：.题型三：复数的几何意义9．（2024·陕西·模拟预测）已知复数，，，若，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因为，，所以，则有，解得，所以，复平面内对应的点为，在第一象限.故选：A.10．（2024·青海海西·模拟预测）已知，复数，则“”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，则可得，故“”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的充要条件．故选：C．11．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，所以，则，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.12．（2024·高三·湖南岳阳·期中）已知复数的共轭复数为，且满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】设，则，代入，得，∴，．∴．∴在复平面内的对应点的坐标为：，位于第二象限．故选：B．题型四：复数的相等与共轭复数13．（2024·北京海淀·二模）若，则.【答案】1【解析】因为，所以，即，所以，解得.故答案为：1.14．（2024·重庆·模拟预测）复数满足（为虚数单位），则．【答案】【解析】依题意，，所以，所以.故答案为：15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则的虚部为.【答案】/0.5【解析】，所以，则的虚部为.故答案为：16．（2024·山东青岛·二模）已知复数满足，则复数.【答案】【解析】易知，所以.故答案为：.题型五：复数的模17．（2024·高三·上海·期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模等于．【答案】【解析】设，由可得，则，解得：，故，所以复数z的模等于.故答案为：.18．（2024·高三·上海嘉定·期中）若复数（为虚数单位），则．【答案】【解析】，，故答案为：19．（2024·高三·辽宁大连·期中）设复数，满足，，则.【答案】【解析】由题意设：，，，所以得：，化简得：，，，化简得：，，所以得：，所以得：.故答案为：.20．若复数z满足，则【答案】【解析】，则，故.故答案为：.题型六：复数的三角形式21．（2024·高三·辽宁·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故.故选：A.22．（2024·全国·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，.故选：B.23．复数的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，令，则，所以，因为，所以，所以的三角形式是.故选：D.24．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C.题型七：与复数有关的最值问题25．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【解析】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值，如图所示，最大值为.故选：D.26．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【解析】的几何意义是复数z对应的点Z到点的距离为1，即点Z在以点为圆心，1为半径的圆上，的几何意义是点Z到点的距离．如图所示，故．故选：B．27．（2024·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】设，则，即，由于，故，解得，则，故选：D28．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（

）A．2 B．C． D．3【答案】B【解析】设，其中，则，∵，∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴即为圆上动点到定点的距离，∴的最大值为.故选：B.29．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】设，在复平面内对应的点的坐标为，由，得，即，因此点在圆上运动，圆心的坐标为，半径，又，于是可以看成是点到点的距离，显然此点在圆外，所以.故选：D30．已知复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【解析】设复数在复平面内对应的点为，因为复数满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为，又表示点到点的距离，所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，当为时，到定点的距离最小，最小值为1，所以的最小值为1，故选：A．题型八：复数方程31．（2024·上海浦东新·二模）已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则．【答案】0【解析】是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，则，即，，.故答案为：032．（2024·上海嘉定·二模）设，则．【答案】5.【解析】由，则．故答案为：533．复数（i为虚数单位）的平方根为【答案】【解析】设复数（i为虚数单位）的平方根为，则，即，所以，解得或，所以或，故答案为：或34．已知关于的方程的两根为、，满足，则实数的值为【答案】4或【解析】，若，则方程的两根为实数，且，解得.若，则方程的两根为虚数，该方程可化简为：，故两根分别为，，所以，故，故答案为或.35．已知方程有两个虚根，则的取值范围是【答案】【解析】因为为方程两个根，所以，，方程有虚根，所以，故，故填.1．（2024·西藏·模拟预测）已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以．故选：A．2．（2024·甘肃兰州·三模）已知复数，则（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】，故.故选：D3．（2024·山西阳泉·三模）已知是实系数方程的一个复数根，则（

）A． B． C．1 D．9【答案】A【解析】因为是实系数方程的一个复数根，则也是实系数方程的一个复数根，所以，解得，所以.故选：A4．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知是虚数单位，则复数（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.5．（2024·浙江·三模）已知复数z满足，其中i是虚数单位，则（

）A．2 B． C． D．5【答案】D【解析】设，a，，则则，．∴，，所以，故选：D．6．（2024·安徽安庆·模拟预测）（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】.故选：.7．（2024·四川绵阳·模拟预测）虚数满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】C【解析】由已知，，所以，，所以，解得.故选：C.8．（2024·福建泉州·模拟预测）若复数z满足，则z的一个可能值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，由，得，即，整理得，显然选项ACD不满足要求，B符合要求.故选：B9．（多选题）（2024·湖北襄阳·二模）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为4C．当时，则 D．当时，则【答案】AD【解析】设在复平面内的对应点分别为，由得，所以在直线上.由得，所以在圆上.如图所示：对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，所以的最小值为，故A正确；对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，所以的最小值为，故B错误；对于CD：因为是方程在复数范围内的两根，所以.若，即或，此时，由得或，∴当或时，；当时，，故C错误；若，即，此时，为一对共轭虚根，，故D正确.故选：AD.10．（多选题）（2024·广西贵港·模拟预测）已知复数，，，则下列说法中正确的有（

）A．若，则或 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【解析】对于A，或，故A正确．对于B，方法：，，，所以以3为周期，所以，故B正确．方法二（复数的三角表示）：，所以的模为1，辐角为，则的模为1，辐角为，所以．故B正确．对于C，取，，则，此时，故C错误．对于D，，，所以，故D正确．故选：ABD11．（多选题）（2024·山东菏泽·二模）下列选项正确的有（

）A．若是方程的一个根，则B．复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为C．若复数满足，则的最大值为D．若复数，满足，则【答案】BCD【解析】对于A：若是方程的一个根，则方程的两个根分别，所以，所以，故A错误；对于B：由题意可知，所以，所以向量表示的复数为，故B正确；对于C：设，若复数满足，则在复平面内点在圆上，圆的圆心，半径，则的几何意义为原点到圆上点的距离，又，则的最大值为，C正确；对于D：因为，所以，，所以，D正确．故选：BCD.12．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数，下列说法正确的是（

）A．若为纯虚数，则B．若是的共轭复数，则C．若，则D．若，则取最大值时，【答案】CD【解析】对于A：复数的实部为，虚部为，若为纯虚数，则，故，错误；对于B：因为，所以，则，错误；对于C：，则，正确；对于D：因为，所以，即，令，则，因为，所以，所以当时，取到最大值2，此时，所以，正确.故选：CD13．（2024·天津南开·二模）是虚数单位，复数.【答案】【解析】由题.故答案为：.14．（2024·天津北辰·三模）是虚数单位，复数的虚部为.【答案】【解析】，所以复数Z的虚部为.故答案为：15．（2024·河南南阳·三模）若，则【答案】/【解析】，所以，故答案为：.16．（2024·上海·三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为.【答案】3【解析】因为关于的一元二次方程有两个虚根，所以，即，得或，所以中，因为，整理得，解得或（舍），故，所以实数的值为3.故答案为：317．（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，