浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高三上学期数学1月期末试卷

浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高三上学期数学1月期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0≤x<3}，集合B={x|y=−x2A．{x|0≤x<3} B．{x|0≤x≤1}C．{x|x≤1} D．{x|x<3}2．已知复数z满足1+iz=1−i（i为虚数单位），则A．5 B．2 C．1 D．23．已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(aA．2π3 B．π6 C．5π64．已知点A，B在直线l：x−y−2=0上运动，且|AB|=22，点C在圆(x+1)2+A．5+2 B．5 C．2 5．命题“∃x∈[−2，1]，A．a≤−14 B．a≤0 C．a≥6 6．将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位后得到函数g(x)的图象.若A．(7π12，C．(5π12，7．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了人口增长模型.已知1650年世界人口为5亿，当时这段时间的人口的年增长率为0.3%.根据模型预测（）年世界人口是1650年的2倍.（参考数据：lg2=0.301A．1878 B．1881 C．1891 D．19938．已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)A．52 B．72 C．142二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列结论正确的有（）A．相关系数|r|越接近1，变量x，y相关性越强B．若随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，则D(η)=2D(ξ)C．相关指数R2D．设随机变量X服从二项分布B(6，110．设函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)=f(2−x)，f(x)=−f(x+2)，当x∈(0，1]时，A．f(x)是奇函数B．f(2024)=0C．f(x)的最小值是−D．方程f(x)=18在区间11．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，A．P为中点时，|DP|+|PQ|的值最小B．不存在点P，使得平面DPQ∥平面AC．P与端点C重合时，三棱锥D−PC1D．P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体ABCD−A112．已知O为坐标原点，F为抛物线C：x=y2的焦点，过点F且倾斜角为π3的直线l交C于A、B两点（其中点A在第一象限），过线段AB的中点PA．C的准线方程为y=−14 C．三角形OAB的面积36 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量X~N(0，σ2)，且14．已知函数f(x)=ax3+bx2的图象在(1，15．已知a+2a=lo16．已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为36π，设圆锥顶点为P，平面α为经过圆锥顶点的平面，且与直线PO所成角为π6，设平面α截球O和圆锥所得的截面面积分别为S1，S2，则四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，2(A+B)=C，sin(A−C)=−2（1）求A；（2）已知M为直线BC上一点，AM=19，CM=2MB18．已知数列{an}满足a1=4（1）令bn=a（2）若cn=(2n+1)⋅bn，求数列{c19．如图所示，在多面体MNABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，其对角线的交点为Q，BN⊥平面ABCD，DM∥BN，DM=2BN=2，点P是棱DM上的任意一点.（1）求证：PQ⊥AC；（2）求直线CN和平面AMN所成角的正弦值.20．杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单。现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束。已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立场次第一场第二场第三场第四场第五场获胜概率43131（1）求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率；（2）由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率.21．已知函数f(x)=lnx−a+1（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥−ax在(0，+∞)22．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A(−2，0)是C（1）求C的方程；（2）在直线y=m上任取一点P(t，m)，直线l：y=t2x+1与直线OP交于点Q，与椭圆C交于D，E两点，若对任意t∈R

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：要使y=-x2+1有意义，则−x2+1≥0，解得−1≤x≤1，

所以B={x|y=故答案为：B.【分析】先求集合B，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：因为复数z满足1+iz=1−i，所以z=1+i故答案为：C.【分析】根据复数的除法运算求得复数z，再求|z|即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：设向量a与b的夹角为θ，因为|a|=2|b|，(a所以cosθ=−|b|故答案为：A.【分析】由题意，利用向量(a4．【答案】B【解析】【解答】解：设圆心到直线的距离为d，C到直线的距离为d1，

易知圆心为-1,0，半径为2，圆心到直线的距离d=当d1最大时，△ABC面积最大，d1max故答案为：B.【分析】设圆心到直线的距离为d，C到直线的距离为d1，找到动点到直线距离的最大值，再求△ABC5．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可知，命题的否定“∀x∈[−2，1]，x2−x−a≤0”为真命题，即令y=x2-x，则y=x2−x=(x−所以a≥6，所以命题“∃x∈[−2，1]，x2−x−a>0”为假命题的一个充分不必要条件为【分析】由题意可知，命题的否定为真命题，分离参数求参数a的取值范围，再根据子集关系判断即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位后得到函数因为x∈(−m，m)，所以显然当2x−π6=0，即x=要想y=g(x)在(−m，则−2m−π6∈[−2π，−π)2m−π6∈(π故答案为：A.【分析】根据三角函数图象的平移变换得到g(x)=sin(2x−π6)，由x∈(−m7．【答案】B【解析】【解答】解：设x年后世界人口是1650年世界人口的2倍，由题意得(1+0解得x=lg故答案为：B.【分析】设x年后世界人口是1650年世界人口的2倍，由题意列出方程，结合给定的近似值求解即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：设双曲线C的左右焦点分别为F，F1，连接A因为A，B两点关于原点对称，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以因为|FA|−|AF1|=2a，|因为FA⋅FB=|在△AFF1中，由余弦定理可得：因为cos∠FAF1=−cos故答案为：D.【分析】设双曲线C的左右焦点分别为F，F1，连接AF9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、由相关系数的性质可知：相关系数越接近1，变量x，y正相关性越强；相关系数越接近−1，变量B、由随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，则D(η)=4D(ξ)，故B错误；C、由相关指数的定义可知：相关指数R2D、P(X=3)=C故答案为：ACD.【分析】根据已知条件，结合相关系数，方差的性质，相关指数的定义，二项分布概率计算公式逐项判断即可.10．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、函数f(x)的定义域为R，因为f(x)满足f(x)=f(2−x)，所以f(−x)=f(2+x)，又因为f(x)=−f(x+2)，所以f(−x)=−f(x)，即函数f(x)是奇函数，故A正确；B、因为f(x)=−f(x+2)，令x=x+2，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，

即函数f(x)是以4C、当x∈(0，1]时，f(x)=2x2−x∈[−D、当x∈[−1，0)时，−x∈(0，1]，则因为f(x)=f(2−x)，所以函数f(x)关于直线x=1对称，所以f(x)在[−1，3]上的图象如图所示：由图可知：f(x)=18在[−1，3]有4个交点，又因为函数f(x)的周期为所以方程f(x)=18在区间[0，故答案为：AB.【分析】根据已知条件，逐项分析判断即可.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、由侧面展开图可知：当DQ与CC1交于点P时，|DP|+|PQ|的值最小，此时PCB、若存在点P，使得平面DPQ//平面A由平面AB1C1D∩平面AB1若点P与C1重合，则平面DPQ∩平面AC、P与端点C重合时，三棱锥D−PC1Q三棱锥的外接球即是以C1Q，D、连接A1由三角形中位线性质和正方体的性质知，PQ//A1D，PQ=12AA1Q=DP=5故答案为：BCD.【分析】利用侧面展开图可以确定点P的位置即可判断A；存在点P，利用条件可得DQ//12．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、因为抛物线的方程C：x=y2，所以准线方程为B、焦点坐标为F(14,0)，故直线联立直线与抛物线方程y=3(x−1设A(x1,所以x1+x22又|AB|=x1+所以|AP|=|BP|=|PN|，故∠PAN=∠PNA,因为∠PAN+∠PNA+∠PBN+∠PNB=π，所以∠PNA+∠PNB=π2，所以C、点O到直线AB的距离为d=|故三角形OAB的面积为12D、由B选项可得x1=34,故答案为：BD.【分析】直接求出准线方程即可判断A；求出l的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，得到xP=512，进而求出|PN|=23，|AB|=43，故|AP|=|BP|=|PN|，从而推出∠ANB=π2即可判断B；求出点O到直线13．【答案】15【解析】【解答】解：因为随机变量X服从正态分布X~N(0,σ2)，且则二项式(x−1故答案为：154【分析】由正态分布求参数a，再利用二项式定理计算即可.14．【答案】1【解析】【解答】解：函数f(x)=ax3+bx2的导函数为f'(x)=3ax2+2bx，

因为在点(1，f(1))处的切线方程为3x−y−2=0，

所以f(1)故答案为：1.【分析】根据导数的几何意义求出a、b即可求解.15．【答案】8【解析】【解答】解：设函数f(x)=x+2x，易知函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，且f(1)=1+21=3同理：方程b+log2b=3只有一解故答案为：8.【分析】利用函数的单调性解方程，得到a，b的值从而可求2a+b16．【答案】81【解析】【解答】解：记球O的半径为R，则4π3R3=36π，解得R=3，由平面α与直线得平面α截球所得小圆半径r=Rcosπ6由球O的内接圆锥高为2，得球心O到此圆锥底面距离d=R−2=1，则圆锥底面圆半径r'令平面α截圆锥所得截面为等腰△PAB，线段AB为圆锥底面圆O1点C为弦AB中点，如图所示，

依题意∠CPO1=π6，CO1=23，显然AB=2(2故答案为：815【分析】记球O的半径为R，根据给定条件，求出球O半径，平面α截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面α截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可求解.17．【答案】（1）解：在△ABC中，A+B+C=π，2(A+B)因为sin(A−C即3tan又A∈(0，π)，则（2）解：因为C=2π3，A=π6，所以在△MAC中AM解得AC=3（负值舍去），所以S△ABC【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用三角形内角和定理结合两角和差的正弦公式化简求解即可；（2）利用余弦定理求边长，再根据三角形面积公式求面积即可.18．【答案】（1）证明：因为bn+1b所以数列{bn}是以首项为b（2）解：由（1）可知：bn所以Tn2T故①-②−T【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用等比数列定义证明即可；（2）由（1）可得bn19．【答案】（1）证明：因为DM∥BN，所以B，因为DM⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DM⊥AC，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，又DM∩BD=D，DM⊂平面BDM，BD⊂平面BDM，所以AC⊥平面BDM，而PQ⊂平面BDM，所以PQ⊥AC.（2）解：由题意，DA，DC，DM互相垂直，以D为原点，以DA，DC，DM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0则CN=(2，0，设平面AMN的法向量为n=(x所以由n⋅AM=0令z=2，可得n设直线CN和平面AMN所成角为θ，则sinθ=所以直线CN和平面AMN所成角的正弦值为427【解析】【分析】（1）根据已知条件，先证明AC⊥平面BDM，即可得出线线垂直；（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可.20．【答案】（1）解：设事件Ai(i=1P=P==（2）解：设事件B表示第一场甲获胜，事件A表示甲以3：1获胜，则PP=PP所以A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率为189【解析】【分析】（1）设事件Ai(i=1（2）事件B表示第一场甲获胜，利用条件概率计算公式求解即可.21．【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=lnx−1+1x，令f'(x)<0，解得：0<x<1；令f'所以f(x)在(0，1)上单调递减，