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文档简介
广东省广州重点学校2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题姓名:__________班级:__________考号:__________题号一二三四总分评分一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x>1},B={x|x2−2x−3>0}A.(3,+∞)C.(−∞,−1)∪(1,2.已知a>b,则下列不等式中成立的是()A.ab>b2 B.a2>b23.复数z满足(2−i)2z=−i,则A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.若P(AB)=19,P(A)=A.事件A 与B 互斥B.事件A 与B 对立C.事件A 与B 相互独立D.事件A 与B 既互斥又相互独立5.《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画,现收藏于中国台北故宫博物院.有甲、乙,丙,丁想根据该图编排一个舞蹈,图中的小孩扑枣有爬、扶、捡、顶四个的动作,每人模仿一个动作,若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作,则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是()A.12 B.13 C.146.在(x+1)(x−1)5展开式中A.−1 B.0 C.1 D.27.已知a,b∈R+,且a+2b=3ab,则A.3 B.4 C.6 D.98.设随机变量X~B(A.E(x)=3,D(x)=2 B.E(x)=4,D(x)=2C.E(x)=2,D(x)=1 D.E(x)=3,D(x)=1二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.完全正确得5分,漏选得2分,错选或不选不得分.9.下列命题正确的是()A.“a>1”是“1aB.命题“若x<1,则xC.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件10.在(x−2A.不存在常数项 B.所有二项式系数的和为32C.第3项和第4项二项式系数最大 D.所有项的系数和为111.有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%,则下列选项正确的有()A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B.任取一个零件是次品的概率为0.0525C.如果取到的零件是次品,且是第2台车床加工的概率为2D.如果取到的零件是次品,且是第3台车床加工的概率为212.下列说法正确的是()A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩(单位:环)如下:6,5,7,9,6,8,9,9,7,5,这组数据的第70百分位数为8B.对于随机事件A与B,若P(B)=0.C.若二项式(12−xD.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.复数z=2−1+i14.已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),且P(ξ>6)=015.现有A,B,C,D,E五人排成一列,其中16.对∀x∈R,不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立,则四、解答题:本题共6小题,共70分.17题10分,18^22每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设p:x−2x−4≤0,q:实数(1)若a=1,且p,q都为真命题,求(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.某学校共有1000名学生参加知识竞赛,其中男生400人,为了解该校学生在知识竞赛中的情况,采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查,分数分布在450∼950分之间,根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示:将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.(1)求a的值,并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)现采用分层抽样的方式从分数落在[550,650),[750,850)内的两组学生中抽取10人,再从这10人中随机抽取3人,记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量19.已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a<0.(1)当a=2时,解关于x的不等式;(2)当a>0时,解关于x的不等式.20.多巴胺是一种神经传导物质,能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格,通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪,是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流,她选择搭配的颜色规则如下:从红色和蓝色两种颜色中选择,用“抽小球”的方式决定衣物颜色,现有一个箱子,里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球,从中任取4个小球,若取出的红球比白球多,则当天穿红色,否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装,若小李同学选择了红色,再选连衣裙的可能性为0.6,而选择了蓝色后,再选连衣裙的可能性为0.5.(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望;(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.21.从2013年开始.的9年来,某地区第x年的第三产业生产总值y(单位:百万元)统计图如下图所示.根据该图提供的信息解决下列问题.(1)在所统计的9个生产总值中任选2个,记其中不低于平均值的个数为X,求X的分布列和数学期望E(X);(2)由统计图可看出,从第6年开始,该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势,试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.(附:对于一组数据(x1,y1),(x2,22.为了迎接2022年世界杯足球赛,某足球俱乐部在对球员的使用上一般都进行一些数据分析,在上一年的赛季中,A球员对球队的贡献度数据统计如下:球队胜球队负总计A上场22rA未上场s1220总计50(1)求r,s的值,据此能否有99%(2)根据以往的数据统计,B球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为:0.2,①当他参加比赛时,求球队某场比赛赢球的概率;②当他参加比赛时,在球队赢了某场比赛的条件下,求B球员担当守门员的概率;③在2022年的4场联赛中,用X表示“球队赢了比赛的条件下B球员担当守门员”的比赛场次数,求X的分布列及期望.附表及公式:P(000000k2236710χ2
答案解析部分1.【答案】C【解析】【解答】解:解不等式x2−2x−3>0,得x<-1或x>3,所以B={x|x<-1或x>3},已知集合A={x|x>1},根据集合的并集集运算可得故答案为:C.【分析】先求出集合B={x|x<-1或x>3},然后根据集合的并集运算求解即可.2.【答案】D【解析】【解答】解:A、当b<0,ab<b2,故A选项错误;
B、a=1,b=-1时a2=b2,故B选项错误;
C、a>0,b<0时1a>1b,故c选项错误;3.【答案】A【解析】【解答】解:由题意(2−i)2z=−i可得z=-i2-i2=-i(3+4i)3-4i3+4i=4-3i25,4.【答案】C【解析】【解答】解:因为P(A)=2又P(AB)=19,P(B)=13,所以P(AB)=P(A)⋅P(B),则因为P(A)≠P(B),所以事件A 与B 显然不对立,无法确定事件A 与故答案为:C
【分析】根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义进行判断,可得答案。5.【答案】C【解析】【解答】解:由题意得,基本事件总数为A44=24,设事件A:甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“捡”或“扶”,
(1)如果甲模仿“爬”则乙模仿“扶”或“捡”,有2种选择,剩余的2人有2种排法,故有2×2=4种排法.
(2))如果甲模仿“扶”则乙模仿“捡”,剩余的2人有2种排法,故有1×2=2种排法.
故A包含4+2=6个基本事件,P(A)=624=16.【答案】B【解析】【解答】解:(x+1)(x−1)5=xx-15+x-15,x-15展开式第k+1项为C5kx5-k-1k,
k=3时xC53-13x2=-10x3,k=2时,C57.【答案】A【解析】【解答】因为a+2b=3ab,故2a故2a+b=1当且仅当a=b=1时等号成立,故2a+b的最小值为3。故答案为:A.
【分析】利用已知条件a+2b=3ab,变形得出2a+18.【答案】C【解析】【解答】解:由题意可知,二项式(x+p因为(x+p可得npn−1=A、若选项A成立,则E(x)=np=3D(x)=np(1−p代入上式验证不成立,故A错误;B、若选项B成立,则E(x)=np=4D(x)=np(1−p代入上式验证不成立,故B错误;C、若选项C成立,则E(x)=np=2D(x)=np(1−p代入上式验证成立,C正确;D、若选项D成立,则E(x)=np=3D(x)=np(1−p故答案为:C.
【分析】利用二项式的展开式和题设条件,得到npn−1=9.【答案】A,B,D【解析】【解答】解:A、a>1”可推出“1a<1”,但是当1a<1时,a有可能是负数,所以“1a<1”推不出“a>1”,所以“a>1”是“1D、“a≠0”推不出“ab≠0”,但“ab≠0”可推出“a≠0”,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件.
故答案为:ABD.【分析】根据不等式性质结合充分条件必要条件的判定可以判断出ACD.由全称量词命题的否定方法可知B正确.10.【答案】A,B,C【解析】【解答】解:A、(x−=x5−10B、(x−2xC、(x−D、当x=1时,(x−2x故答案为:ABC
【分析】】根据给定的二项式,写出展开式判断A;利用二项式性质判断BC;利用赋值法计算判断D作答即可.11.【答案】B,C【解析】【解答】解:记Ai为事件“零件为第i(i=1,2则P(A1)=0.A、即P(AB、P(B)=P(=0.C、P(AD、P(A故答案为:BC【分析】运用条件概率公式对每个选项逐一分析即可.12.【答案】B,D【解析】【解答】解:A、把数据从小到大排列为:5,5,6,6,7,7,8,9,9,9,而10×70%因此这组数据的第70百分位数为8+92=8B、P(B)因此P(AB)=P(A)P(B),即事件A与B相互独立,故B正确;
C、在二项式(12−x)n解得n=7,因此展开式共有8项,故C错误;
D、由随机变量ξ服从正态分布N(0,1),得对应的正态曲线关于直线而P(ξ>1)=p,则故答案为:BD【分析】利用百分位数的定义可以判断A;利用对立事件和条件概率的公式,结合独立事件的定义判断B;利用赋值法求出指数n判断C;利用正态分布的对称性计算判断D.13.【答案】-1【解析】【解答】解:由题得z=2−1+i=2(【分析】利用复数的运算法则和虚部的意义即可得出.14.【答案】0.3【解析】【解答】解:由题得随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2所以P(4<ξ<6)=0.所以P(2<ξ<4)=P(4<ξ<6)=0.故答案为:0【分析】根据正态分布的对称性求解指定区间的概率即可得出答案.15.【答案】24【解析】解:先将AB捆绑在一起,再对C的位置进行分类,可得A2故答案为:24.【分析】根据题意,先将AB捆绑在一起,再对C的位置进行分类,结合插空法,即可求解.16.【答案】(−2【解析】【解答】解:不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0当a−2=0时,即a=2时,−4<0恒成立,满足题意;当a−2≠0时,要使不等式恒成立,需a−2<0Δ<0,即有a<2解得−2<a<2.综上可得,a的取值范围为(−2,2].
【分析】对a进行讨论,结合二次函数的图象与性质,解不等式即可得到a的取值范围.17.【答案】(1)解:当a=1时,可得x2可化为x2−2x−3<0,解得又由命题p为真命题,则B={所以p,q都为真命题时,则x的取值范围是A∩B={x|2≤x<3}(2)解:由x2−2ax−3a因为p:2≤x<4,且p是即集合{x|2≤x<4}是{x|−a<x<3a}的真子集,则满足−a<23a≥4a>0,解得a≥43,所以实数【解析】【分析】(1)求得q命题对应的不等式解集,与p命题对应的不等式取交集即可得出;(2)根据集合之间的关系,列出不等式,即可求得结果.18.【答案】(1)解:由题意知100×(0.解得a=0.样本平均数为x=500×0.15+600×0(2)解:由题意,从[550,650)中抽取7人,从随机变量x的所有可能取值有0,1,2,3.P(x=k)=C所以随机变量X的分布列为:P0123X3563211随机变量X的数学期望E(X)=【解析】【分析】(1)由频率分布直方图中频率和为1可求得a的值,每组数据用该组区间的中点值乘以频率相加得均值;(2)由频率分布直方图知从[550,650)中抽取7人,从[750,85019.【答案】(1)解:当a=2时,不等式2x2﹣x﹣1<0可化为:(2x+1)(x﹣1)<0,∴不等式的解集为{x(2)解:不等式ax2﹣x+1﹣a<0可化为:(x﹣1)(ax+a﹣1)<0,当a>0时,(x−1)(x+1−1(x−1)(x+1−1a)=0①当0<a<12时,1<1a−1②当a=12时,③当a>12时,1>1a−1综上,当0<a<12时,不等式解集为当a=12时,不等式解集为当a>12时,不等式解集为{x|【解析】【分析】(1)将原不等式化为(2x+1)(x﹣1)<0即可求得结果;(2)将不等式化为(x﹣1)(ax+a﹣1)<0,当a>0时,不等式变为(x−1)(x+1−120.【答案】(1)解:设抽到红球的个数为X,则X的取值可能为4,3,2,P(X=4)=C44C6所以X的分布列为:X432P182故E(X)=4×1(2)解:设A表示穿红色衣物,则A表示穿蓝色衣物,B表示穿连衣裙,则B表示穿套装.因为穿红色衣物的概率为P(A)=P(X=4)+P(X=3)=1则穿蓝色衣物的概率为P(A穿红色连衣裙的概率为P(B|A)=0.6=3则当天穿连衣裙的概率为P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A所以小李同学当天穿连衣裙的概率为1425【解析】.【分析】本题考查超几何分布,全概率的计算公式.(1)根据超几何分布求出P((2)设A表示穿红色衣物,则A表示穿蓝色衣物,B表示穿连衣裙,则B表示穿套装.求出P(A),21.【答案】(1)解:依题知,9个生产总值的平均数为:14+16+20+26+33+42+60+78+989由此可知,不低于平均值的有3个,所以X服从超几何分布,P(X=k)=C所以P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C分布列为:X012P511所以E(X)=0×5(2)
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