老高考新教材适用2025版高考数学二轮复习专题检测六函数与导数

专题检测六函数与导数一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022·山东济宁一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),则f(2022)=()A.0 B.1 C.-1 D.20222.(2022·浙江·7)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=()A.25 B.5 C.259 D.3.(2022·四川泸州诊断测试)函数f(x)=0,x=04.(2022·河北石家庄二中模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f'(2)ex-2-f(0)x+12x2,则f(x)的单调递减区间为(A.(-∞,0) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(0,+∞)5.(2022·广东惠州一模)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog21+SN,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫做信噪比.当信噪比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比SN从1000提升至5000,则C大约增加了()(附:lg2A.20% B.23% C.28% D.50%6.(2022·四川凉山三模)函数f(x)=a2x2-sinx,若f(x)在0,π2上有最小值,则实数A.(0,+∞) B.(0,1)C.(-∞,0) D.(-1,0)7.(2022·广东韶关二模)已知直线l:y=kx(k>0)既是函数f(x)=x2+1的图象的切线,同时也是函数g(x)=pxx+1+lnx(p∈R)的图象的切线,则函数g(x)零点个数为(A.0 B.1 C.0或1 D.1或28.(2022·全国甲·理12)已知a=3132,b=cos14,c=4sin14A.c>b>a B.b>a>cC.a>b>c D.a>c>b9.(2022·江苏盐城模拟)函数f(x)=12ax2-(a+2)x+2lnx在定义域上单调递增的充要条件为(A.a>2 B.a=2 C.a<2 D.a=110.(2022·山东潍坊三模)已知定义域为R的函数f(x)满足f(1+x)+f(1-x)=0,函数g(x)=f(x)sinωx(ω>0),若函数y=g(x+1)为奇函数,则ω的值可以为()A.π4 B.π2 C.π D.11.(2022·广东佛山三模)已知0<b<a<1,则下列不等式成立的是()A.logab<logba B.logab<1C.alnb<blna D.alna>blnb12.(2022·广东茂名模拟)设函数f(x)=x-ln|A.f(x)为奇函数B.函数y=f(x)-1有两个零点C.函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D.过原点与函数f(x)的图象相切的直线有且只有一条二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·新高考Ⅱ·14)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):.

①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.14.(2022·山东烟台一模)已知f(x)为R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,当-1<x<0时,f(x)=2x,则f(2+log25)的值为.

15.(2022·北京·14)设函数f(x)=-ax+1,x<a,(x-2)2,16.(2022·河北衡水模拟)设函数f(x)=x(x+1)(x-2m)的两个极值点为x1,x2,若f(x1)+f(x2)>0,则实数m的取值范围是.

三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=log32-axx-2((1)求a的值;(2)当x∈3,5时,f(x)<log3(x+2k)恒成立,求实数k18.(12分)(2022·黑龙江哈尔滨模拟)设a为实数,函数f(x)=x3-3x2+a,g(x)=xlnx.(1)求f(x)的极值;(2)对于∀x1∈1,3,∀x2∈1e,e,都有f(x1)≥g(x19.(12分)(2022·安徽亳州高三期末)如图所示,两村庄A和B相距10km,现计划在两村庄外以AB为直径的半圆弧AB(异于A,B两点)上选择一点C建造自来水厂,并沿线段CA和CB铺设引水管道.根据调研分析,CA段的引水管道造价为2万元/km,CB段的引水管道造价为m万元/km,设CA=xkm,铺设引水管道的总造价为y万元,且已知当自来水厂建在半圆弧AB的中点时,y=302.(1)求m的值,并将y表示为x的函数;(2)分析y是否存在最大值,若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.20.(12分)(2020·全国Ⅰ·文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.21.(12分)(2022·全国甲·文20)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.22.(12分)(2022·广东深圳一模)已知函数f(x)=2lnx-(a+1)x2-2ax+1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2.(i)求实数a的取值范围;(ii)求证:x1+x2>21a

专题检测六函数与导数1.A解析:因为f(x-2)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4.又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(2)=-f(0)=0,f(2022)=f(505×4+2)=f(2)=0.2.C解析:由log83=b,得8b=3,即23b=3,则2a-3b=2a23b=53,所以43.D解析:当x≠0时,f(-x)=-x-sin(-x)ln|-所以f(x)是奇函数,排除A,B;易知当x=±1时,为临界点.又π6-sinπ6=π6-12>0,lnπ6<0,故fπ4.A解析:由题设f'(x)=f'(2)ex-2-f(0)+x,则f'(2)=f'(2)-f(0)+2,可得f(0)=2,而f(0)=f'(2)e-2=2,则f'(2)=2e2,所以f(x)=2ex-2x+12x2,即f'(x)=2ex-2+x,则f'(0)=0且f'(x当x<0时f'(x)<0,即f(x)单调递减,故f(x)的单调递减区间为(-∞,0).5.B解析:将信噪比SN从1000提升至5000时,C大约增加了Wlog2(1+56.A解析:由题意,函数f(x)=a2x2-sinx,可得f'(x)=ax-cosx,若a≤0时,当x∈0,π2时,可得f'(x)<0,f(x)在0,π2当a>0时,令f'(x)=0,即ax-cosx=0,即y=ax与y=cosx的图象的交点的横坐标,画出函数y=ax与y=cosx的示意图象,如图所示,结合图象,可得存在x0∈0,π2,使得f'(x0当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈x0,π2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,此时函数f(x)在0,π2上有最小值,符合题意,综上可得,实数a的取值范围是(0,+∞).7.B解析:设A(x1,x12+1)是函数f(x)=x2则k=f'(x1)=2x1,∴x1=k2,①又x12+1=kx1,将①代入②消去x1整理得k2=4,∴k=2(k=-2舍去),设Bx2,px21+x2+lnx2是函数g(x)=pxx+1+lnx的切点,据题意g'(x2)=p(1+x2)2+1x2=2,又px21+x2令h(x)=2x2-x+lnx-1(x>0),∴h'(x)=4x-1+1x≥24x·1x-1=3故h(x)=2x2-x+lnx-1(x>0)在定义域上为增函数,又h(1)=0,故x2=1,故g'(1)=1+p4=∴p=4,g(x)=4xx+1+lnx=lnx-4x+1当x=1e2时,g1e2<0;当x=1时,g(1)由零点存在定理可得,g(x)存在唯一一个x0∈1e2,1,使g(x08.A解析:因为a=3132=1-132,构造函数h(x)=1-12x2-cosx,x∈0,π2,则g(x)=h'(x)=-x+sinx,g'(x)=-1+cosx≤0,所以g(x)在0,π2上单调递减,g(x)≤g(0)=0,即h'(x)≤0,则h(x)在0,π2上单调递减,所以h14=a-b<h(0)=0,即a<b.又cb=4sin19.B解析:由函数f(x)=12ax2-(a+2)x+2lnx在区间(0,+∞)上单调递增,则f'(x)=ax-(a+2)+2x=a即ax2-(a+2)x+2≥0在区间(0,+∞)上恒成立,①当a=0时,-2x+2≥0⇒x≤1,不满足题意;②当a<0时,ax2-(a+2)x+2=ax-2a(x-1)≥0,又2a<0,即x-2a(x-1)≤0⇒x≤1,不满足题意;③当a>0时,ax2-(a+2)x+2=ax-2a(x-1)≥0,又2a>0,ax2-(a+2)x+2≥0在区间(0,+∞则Δ=(a+2)2-8a=(a-2)2≤0⇒a=2,综上,函数f(x)=12ax2-(a+2)x+2lnx单调递增的充要条件为a=210.B解析:因为f(1+x)+f(1-x)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,要使g(x+1)=f(x+1)sin[ω(x+1)]为奇函数,因为f(x+1)关于点(0,0)对称,为奇函数,所以只需使y=sin[ω(x+1)]=sin(ωx+ω)为偶函数即可,所以ω=π2+kπ,k∈Z故符合题意的为B.11.C解析:选项A:logab-logba=lgb由0<b<a<1,可得lgb<lga<0,则lgblga>0,lgb-lga<0,lgb+lga<0,则(lgb-lga)(lgb选项B:由0<a<1,可得y=logax为(0,+∞)上的减函数,又0<b<a,则logab>logaa=1,故B错误;选项C:由0<a<1,可知y=ax为R上的减函数,又b<a,则ab>aa,由a>0,可知y=xa在(0,+∞)上单调递增,又b<a,则ba<aa,则ab>ba,又y=lnx为(0,+∞)上的增函数,则lnab>lnba,则alnb<blna,故C正确;选项D:令a=1e,b=1e2alna=1eln1e=-1e,blnb=1e2则alna-blnb=-1e+2e2=2-e12.A解析:f(x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=-x-ln|x|-x=由y=f(x)-1=x-ln|x|x-1=-y=f(x)+f(2x)=x-ln|x|x+2x-ln|2x|2g(-x)+g(x)=-x-ln|所以g(x)是奇函数,图象关于原点对称,所以函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称,C选项正确;对于D选项,f(x)图象上一点(t,f(t)),当x>0时,f(x)=1-lnxx,f'(x)=lnx-1x2,则f(t)=1-lntt,f'(t)=lnt-1t2,故过点(t,f将(0,0)代入上式得0-1-lntt=lnt-1t2·(0-t构造函数h(t)=2lnt-t-1(t>0),h'(t)=2t-1=2h(t)在(0,2)上,h'(t)>0,h(t)单调递增;在(2,+∞)上,h'(t)<0,h(t)单调递减.h(2)=2ln2-3=ln4-lne3<0,所以h(t)<0,即方程2lnt-t-1=0无解,也即当x>0时,不存在过原点的切线.当x<0时,f(x)=x-ln(-x)x=1-ln(-x同理,设f(x)图象上一点(t,f(t)),则f(t)=1-ln(-t)t,f'(t故过点(t,f(t))的切线方程为y-1-ln(-t)t=ln(-将(0,0)代入上式得0-1-ln(-t)t=ln(-t)-1t2·(0构造函数m(t)=2ln(-t)-1-t(t<0),m'(t)=2t-1=2-所以m(t)在(-∞,0)上单调递减,m(-1)=2ln1-1-(-1)=0,所以m(t)有唯一零点t=-1,也即当x<0时,存在唯一一条过原点的切线.综上所述,D选项正确.13.f(x)=x2(x∈R),答案不唯一解析:∵f(x)=x2,∴f(x1x2)=(x1x2)2=x12x22=f(x1)f(又f'(x)=2x,∴当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,且f'(x)为奇函数,满足②③.14.-45解析:由题设,f(2-x)=-f(x)=f(-x故f(2+x)=f(x),即f(x)的周期为2,所以f(2+log25)=f2×2+log254=flog254=-f所以f(2+log25)=-2log215.0(第一空答案不唯一)1解析:根据题意可以用0,2为a的取值的分界点,研究函数f(x)的性质.当a<0时,f(x)=-ax+1,x<a,该函数的值域为(-∞,-a2+1),故整个函数没有最小值;当a=0时,f(x)=-ax+1,x<a,该函数的值域为{1},而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[0,+∞),即存在最小值为0,故a的一个取值可以为0;当0<a≤2时,f(x)=-ax+1,x<a,该段函数的值域为(-a2+1,+∞),而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[0,+∞),若存在最小值,则需满足-a2+1≥0,于是结合0<a≤2可得0<a≤1;当a>2时,f(x)=-ax+1,x<a,该段函数的值域为(-a2+1,+∞),而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[(a-2)2,+∞),若存在最小值,则满足-a2+1≥(a-2)2,此时无解.综上,a的取值范围为[0,1],故a的最大值为1.16.(-∞,-1)∪-14,12解析:f(x)=x(x+1)(x-2m)=x3+(1-2m)x2-2mx,f'(x)=3x2+2(1-2m)x-2m,因为函数f(x)=x(x+1)(x-2m)的两个极值点为x1,x所以x1,x2为函数f'(x)=3x2+2(1-2m)x-2m的两个零点,Δ=4(1-2m)2+24m=16m2+8m+4>0恒成立,x1+x2=4m-23,x1xf(x1)+f(x2)=x13+(1-2m)x12-2mx1+x23+(1-2m)x22-2mx2=x13+x23+(1-2m)(x12+x22)-2m(x1+x2)=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)+(1-2m)[(x1+x2)2-2x1x2]-2m(x1+x2)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]+(1-2m)[(x1+x2)2-2x1x2]-2m(x1+x2)=4m-234m-232+2m+(1因为f(x1)+f(x2)>0,所以(2m-1)(4m2+5m+1)<0,则2m-1>0,4m2所以实数m的取值范围是(-∞,-1)∪-14,117.解(1)函数f(x)=log32-则函数f(x)=log32-axx-2为奇函数,有f(-x即log32+ax-x-2即log32+ax-x-2·2-ax∴a=-1.(2)由f(x)<log3(x+2k),得log32+xx-2<log3(x+2k)恒成立,即2令g(x)=x+2x-2-x=1+4x-2-x,易知g则g(x)的最大值为g(3)=2.又当x∈3,5时,f(x)<log3(x+2即2k>x+2x-2-x在x∈3,∴2k>2,k>1,即实数k的取值范围为(1,+∞).18.解(1)函数f(x)=x3-3x2+a的定义域为R,f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,可得x=0或x=2,列表如下:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)增a减a-4增故函数f(x)的极大值为f(0)=a,极小值为f(2)=a-4.(2)对于∀x1∈1,3,∀x2∈1e,e,都有f(x1)≥g(x2),则f由(1)可知,函数f(x)在[1,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,故当x∈1,3时,f(x)min=f(2)因为g(x)=xlnx,且x∈1e,e,则g'(x)=1+lnx≥0且g'故函数g(x)在1e,e上单调递增,故g(x)max=g由题意可得a-4≥e,故a≥e+4,故a的取值范围是[e+4,+∞).19.解(1)因为AB为半圆弧的直径,则∠ACB=90°,则BC=AB由题意可得x>0,所以y=2x+m100-x2当点C在AB的中点时,x=52,此时y=52(2+m)=302,解得m=4,因此y=2x+4100-x2,其中0(2)因为y=2x+4100-x2,其中0<x<10,则y'=2因为函数f(x)=100-x2-2x在(0,10)上单调递减,由f(x)=0可得x=当0<x<25时,y'=2(100-x2-2x当25<x<10时,y'=2(100-x2-2x故当x=25时,函数y=2x+4100-x2取最大值,即ymax=20.解(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f'(x)=0可得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增,故当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a(1+lna).①若0<a≤1e,则f(lna)≥0,f(x)在(-∞,+∞)至多存在1个零点,不合题意②若a>1e,则f(lna)<0由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,lna)存在唯一零点.由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时,f(x)=ex2·ex2-a(x+2)>eln(2a)·x2+2-a故f(x)在(lna,+∞)存在唯一零点.从而f(x)在(-∞,+∞)有两个零点.综上,a的取值范围是1e21.解(1)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(-1)=2.当x1=-1时,f(-1)=0,故y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2x+2.又y=2x+2与y=g(x)相切,将直线y=2x+2代入g(x)=x2+a,得x2-2x+a-2=0.由Δ=4-4(a-2)=0,得a=3.(2)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(x1)=3x12-1,则曲线y=f(x)在点x1,fx1处的切线为y-x由g(x)=x2+a,得g'(x)=2x.设曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线为y-(x22+a)=2x2(x-