适用于新教材2025版高中数学课时素养检测十五数系的扩充和复数的概念新人教A版必修第二册

PAGE十五数系的扩充和复数的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．假如全集U是复数集C，那么()A．∁UQ＝{无理数} B．R∩(∁UR)＝{0}C．∁UZ＝{分数} D．∁UR＝{虚数}【解析】选D.实数集与虚数集的并集等于全集U＝C，且实数集与虚数集的交集等于空集．2．已知复数a2－4＋(a＋2)i为纯虚数，则实数a＝()A．－2B．2C．±2D．4【解析】选B.由纯虚数的定义可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－4＝0，,a＋2≠0，))解得a＝2.【补偿训练】复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为()A．0或－1B．0C．1D．－1【解析】选D.因为z为纯虚数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋m＝0，,m≠0，))所以m＝－1.3．(2024·济南高一检测)若实数x，y满意x＋y＋(x－y)i＝2，则xy的值是()A．1B．2C．－2D．－3【解析】选A.由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))则xy＝1.4．(2024·济南高一检测)已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是()A．－1或3B．{a|a>3或a<－1}C．{a|a>－3或a<1}D．{a|a>3或a＝－1}【解析】选B.由已知实部大于虚部，可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，即(a＋1)(a－3)>0，解得a>3或a<－1，故实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．5．以复数z＝3－4i的实部为虚部，虚部为实部的复数为()A．3－4i B．－3＋4iC．－4＋3i D．4－3i【解析】选C.由于复数z＝3－4i＝3＋(－4)i的实部为3，虚部为－4，所求复数为－4＋3i.6．(多选题)若i是虚数单位，则下列结论正确的是()A．eq\f(i,2)是分数B．eq\r(3)i是无理数C．－i2不是虚数D．若a∈R，则(a2＋1)i是虚数【解析】选CD.由于i是虚数单位，则eq\f(i,2)，eq\r(3)i都是虚数，A，B都不正确；－i2＝1是实数，不是虚数，C正确；若a∈R，则a2＋1≥1，所以(a2＋1)i是虚数，D正确．二、填空题(每小题5分，共10分)7．(2024·杭州高一检测)若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________．【解析】因为复数不能比较大小，所以m－3＋(m2－9)i为实数，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－3≥0,m2－9＝0))解得m＝3，所以实数m的值为3.答案：38．已知复数z＝cosθ＋isinθ，θ∈[0，2π]，若z为纯虚数，则θ＝________．【解析】由复数z＝cosθ＋isinθ，θ∈[0，2π]为纯虚数，得cosθ＝0，sinθ≠0，θ∈[0，2π]，所以θ＝eq\f(π,2)或eq\f(3π,2).答案：eq\f(π,2)或eq\f(3π,2)三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知复数z＝eq\f(m－3,m＋2)＋eq\r(m2－m)i，(m∈R)是虚数，求实数m的取值范围．【解析】因为复数z＝eq\f(m－3,m＋2)＋eq\r(m2－m)i，(m∈R)是虚数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋2≠0,m2－m>0))，解得m<0或m>1且m≠－2.所以实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，0)∪(1，＋∞).10．(2024·南京高一检测)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i.(1)当实数m为何值时，z是实数？(2)当实数m为何值时，z是纯虚数？【解析】(1)当m满意m2＋3m＋2＝0，且m2－2m－2>0，即m＝－2或－1时，z是实数；(2)当m满意m2＋3m＋2≠0，且m2－2m－2＝1，即m＝3时，z是纯虚数．(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共25分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．复数z＝2－i的实部与虚部的差为()A．－1B．1C．2D．3【解析】选D.复数z＝2－i＝2＋(－1)i的实部为2，虚部为－1，所以复数的实部与虚部的差为3.2．假如C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则()A．C＝R∪IB．R∪I＝{0}C．R＝C∩ID．R∩I＝∅【解析】选D.复数包括实数和虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．所以R∩I＝∅.故选D.3．(多选题)下列命题中为真命题的是()A．复数肯定是虚数B．实数肯定是复数C．复数的平方数肯定是非负实数D．实数的虚部为0，纯虚数的实部为0，虚部不为0【解析】选BD.因为实数和虚数统称为复数，所以复数不肯定是虚数，A是假命题；实数肯定是复数，B是真命题；由于i2＝－1，复数的平方数可以是负实数，C是假命题；实数的虚部为0，纯虚数的实部为0，虚部不为0，D是真命题．4．(2024·北京高一检测)若a＋bi≠c＋di(a，b，c，d∈R)，则下列结论正确的是()A．a≠b且c≠d B．a≠b或c≠dC．a≠c且b≠d D．a≠c或b≠d【解析】选D.当a＝c且b＝d时，有a＋bi＝c＋di，当a＝c时b＝d，有一个不成立时，就有a＋bi≠c＋di.5．(2024·北京高一检测)若a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】选B.ab＝0时，a＝0或b＝0，复数a－bi为纯虚数时，a＝0且b≠0，那么“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件．二、填空题(每小题5分，共15分)6．复数2i，3－i，3－i2，i－1中，不同于另外三个的一个复数是______．【解析】复数2i，3－i，3－i2，i－1中，3－i2＝4是实数，不同于其他三个虚数．答案：3－i27．假如(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，其中x，y为实数，则2x＋y＝________．【解析】因为(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，x，y∈R，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2x＋3y,y－1＝2y＋1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－2))，所以2x＋y＝6.答案：68．若复数z＝(a＋1)＋(1－a)i(a∈R)的实部与虚部都大于0，则实数a的取值范围是________．【解析】由a＋1>0，1－a>0，解得－1<a<1.答案：(－1，1)三、解答题(每小题10分，共30分)9．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．【解析】因为M∪P＝P，所以MP，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0，))解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.10．已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，当实数m为何值时．(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．【解析】(1)z＝a＋bi为实数，a≠0，b＝0；若z为实数，则m2－2m－15＝0，解得m＝－3或m＝5；(2)z＝a＋bi为虚数，b≠0；若z为虚数，则m2－2m－15≠0，解得m≠－3或m≠5；(3)z＝a＋bi为纯虚数，a＝0，b≠0.若z为纯虚数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝0，,m2－2m－15≠0，))解得m＝－2.11．定义运算＝ad－bc，