2022年北京市顺义初三（上）期末数学试卷及答案

1/12022北京顺义初三（上）期末数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.如果（），那么下列比例式中正确的是（）A. B. C. D.2.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A. B. C. D.3.将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（）A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x2+2 D.y=3x2-24.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为()米A. B. C. D.245.如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC C. D.6.如图，AB切于⊙O点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C=（）A.20° B.25° C.40° D.50°7.如图，在中，如果＝2，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）A.AB＝AC B.AB＝2AC C.AB＞2AC D.AB＜2AC8.已知点在反比例函数的图象上．若，则（）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是____．10.若二次函数配方后为，则b＝_______，k＝_______．11.如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为________m.12.如图，在中，D，E分别是边，的中点，则与的周长之比等于______.13.在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，以A为圆心画圆，且点D在⊙A内，点B在⊙A外，则⊙A半径r的取值范围是____________．

14.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的⊙O，则劣弧AB的长度为________．15.如图，在中，，，，则的长为_____．16.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_____．三、解答题（本题共68分，其中第17－26题，每小题5分，第27－29题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解不等式组18.已知，求代数式的值．19.已知：如图，锐角∠AOB．求作：射线OP，使OP平分∠AOB．作法：①在射线OB上任取一点M；②以点M为圆心，MO的长为半径画圆，分别交射线OA，OB于C，D两点；③分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，在∠AOB内部两弧交于点H；④作射线MH，交⊙M于点P；⑤作射线OP．射线OP即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD．由作法可知MH垂直平分弦CD．∴（）（填推理依据）．∴∠COP＝．即射线OP平分∠AOB．20.如图，△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．21.如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE，垂足为F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的长．22.如图，为了测量某条河的宽度，在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α＝30°，∠β＝60°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．23.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作∠BCD＝∠A，CD与AB的延长线交于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CE＝2，DE＝4，求AC的长．24.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度多少？25.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．26.已知抛物线经过点M（﹣1，1），N（2，﹣5）．（1）求，值；（2）若P（4，），Q（，）是抛物线上不同两点，且，求的值．27.已知抛物线．（1）求证：该抛物线与x轴有两个交点；（2）求出它的交点坐标（用含m的代数式表示）；（3）当两交点之间的距离是4时，求出抛物线的表达式．28.如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：（1）四边形DBCF是平行四边形（2）29.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3．（1）求tanA的值；（2）若D为的中点，连接CD、BD，求弦CD的长．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.如果（），那么下列比例式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据比例的性质，可得答案．【详解】A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故A不符合题意；

B、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故B不符合题意；

C、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故C符合题意；

D、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故D不符合题意；

故选：C．【点睛】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．2.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．【详解】解：作PM⊥x轴于点M，∵P（3，4），

∴PM=4，OM=3，

由勾股定理得：OP=5，∴，故选：D【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比．3.将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（）A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x2+2 D.y=3x2-2【答案】A【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，纵坐标不变求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．【详解】∵抛物线y=3x2向左平移2个单位后的顶点坐标为（-2，0），∴所得抛物线的解析式为y=3（x+2）2．故选：A．考点:二次函数图象与几何变换．4.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为()米A. B. C. D.24【答案】B【解析】【分析】根据斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度为12米，可得AE=12，BE=6，然后利用勾股定理求出AB的长度．【详解】解：如图,过B作BE⊥AD于点E，

∵斜面坡度为1：2，AE=12，∴BE=6，在Rt△ABC中，．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．5.如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC C. D.【答案】C【解析】【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．6.如图，AB切于⊙O点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C=（）A.20° B.25° C.40° D.50°【答案】B【解析】【分析】根据切线的性质判定∠ABO=90°，然后在直角△ABO中利用直角三角形的性质求得∠AOB=50°；最后根据圆周角定理来求∠C的度数．【详解】解：∵AB切⊙O于点B，

∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，

∴∠AOB=50°（直角三角形中两个锐角互余），

又∵点C在AO的延长线上，且在⊙O上，

∴∠C=∠AOB=25°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．

故选B．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质．定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．7.如图，在中，如果＝2，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确是（）A.AB＝AC B.AB＝2AC C.AB＞2AC D.AB＜2AC【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，，则＝2＝2根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得到．【详解】如图，取弧的中点，连接，，则＝2＝2∵＝2∴＝=．在中，，，即．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出是解题的关键．8.已知点在反比例函数的图象上．若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的图象与性质解题．【详解】解：反比例函数图象分布在第二、四象限，当时，当时，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】根据分式分母有意义的条件，解答即可．【详解】根据分式有意义的条件，要使在实数范围内有意义，必须

x-1≠0

∴x≠1．

故答案为:x≠1．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．10.若二次函数配方后为，则b＝_______，k＝_______．【答案】①.-2②.3【解析】【分析】先把顶点式化为一般式得到y＝x2−2x＋1＋k，然后把两个一般式比较可得到b＝−2，1＋k＝4，由此即可得到答案．【详解】解：∵y＝（x−1）2＋k＝x2−2x＋1＋k，∴b＝−2，1＋k＝4，解得k＝3，故答案为：-2；3．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y＝a（x−h）2＋k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y＝a（x−x1）（x−x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．11.如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为________m.【答案】12【解析】【详解】试题分析：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可．解：∵同一时刻物高与影长成正比例．设旗杆的高是xm．∴1.6：1.2=x：9∴x=12．即旗杆的高是12米．故答案为12．考点：相似三角形应用．12.如图，在中，D，E分别是边，的中点，则与的周长之比等于______.【答案】1:2【解析】【分析】D、E分别是AB、AC边的中点，则DE是△ABC的中位线；根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，因而中位线分三角形得到的小三角形与原三角形一定相似，且相似是1：2，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．【详解】∵点D，点E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE:BC=1:2，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的周长比为1:2.故答案为1:2.【点睛】此题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.13.在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，以A为圆心画圆，且点D在⊙A内，点B在⊙A外，则⊙A半径r的取值范围是____________．

【答案】6<r<8【解析】【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=8，AD=BC=6，∵点D在⊙A内，点B在⊙A外，∴6<r<8．14.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的⊙O，则劣弧AB的长度为________．【答案】π．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图，连接OA、OB，∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×=60°，的长为=π．故答案为π．考点：正多边形和圆；弧长的计算．15.如图，在中，，，，则的长为_____．【答案】【解析】【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．【详解】解：过作，在中，，，∴，在中，，∴，即，根据勾股定理得：，故答案为【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．16.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_____．【答案】1．【解析】【详解】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1，∴S△POB=S△POA﹣S△BOA=2﹣1=1．三、解答题（本题共68分，其中第17－26题，每小题5分，第27－29题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解不等式组【答案】﹣1<x<2【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；【详解】解：解不等式①，得x>﹣1,解不等式②，得x<2,所以，此不等式组的解集为﹣1<x<2【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.已知，求代数式的值．【答案】5【解析】【分析】先用乘法公式进行化简，再整体代入求值即可．【详解】解：原式=，=，∵，∴，原式=．【点睛】本题考查了整式化简求值，解题关键是熟练运用乘法公式进行化简，整体代入求值．19.已知：如图，锐角∠AOB．求作：射线OP，使OP平分∠AOB．作法：①在射线OB上任取一点M；②以点M为圆心，MO的长为半径画圆，分别交射线OA，OB于C，D两点；③分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，在∠AOB内部两弧交于点H；④作射线MH，交⊙M于点P；⑤作射线OP．射线OP即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD．由作法可知MH垂直平分弦CD．∴（）（填推理依据）．∴∠COP＝．即射线OP平分∠AOB．【答案】（1）见解析（2）垂径定理及推论；∠DOP【解析】【分析】（1）根据题干在作图方法依次完成作图即可；（2）由垂径定理先证明再利用圆周角定理证明即可.【小问1详解】解：如图，射线OP即为所求．【小问2详解】证明：连接CD．由作法可知MH垂直平分弦CD．∴（垂径定理）（填推理依据）．∴∠COP＝．即射线OP平分∠AOB．【点睛】本题考查的是平分线的作图，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，熟练的运用垂径定理证明是解本题的关键.20.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）①BE＝4；②45【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【详解】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质．21.如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE，垂足为F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的长．【答案】，【解析】【分析】直接利用矩形的性质结合相似三角形的判定方法得出，再利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：四边形是矩形，，，，又，，，是的中点，，，，，解得：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确得出相似三角形．22.如图，为了测量某条河的宽度，在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α＝30°，∠β＝60°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．【答案】50米【解析】【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，先证明AC=BC，再在Rt△ACD中利用正弦函数求值即可．【详解】解：过点A作AD⊥BC,垂足为D.∵∠β=∠α＋∠BAC，∴∠BAC=∠β－∠α=60°－30°=30°，∴∠α=∠BAC，∴AC=BC=100（米）．在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠β=100×=50（米）．答：河的宽度为50米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．23.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作∠BCD＝∠A，CD与AB的延长线交于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CE＝2，DE＝4，求AC的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）连接半径OC，证明OC⊥CD；（2）先证明平行线，证明△ADE∽△DCE．【小问1详解】证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A.∵∠BCD=∠A，∴∠OCA=∠BCD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90º，即∠OCA+∠OCB=90º.∴∠BCD+∠OCB=90º.∴OC⊥CD.又∵CD经过半径OC的外端，∴CD是⊙O的切线．【小问2详解】解∵DE⊥AC，∴∠E=90º∴∠ACB=∠E，∴BC∥DE，∴∠BCD=∠CDE，∵∠BCD+∠BOC=90º，∠ACO+∠BOC=90º，∴∠BCD=∠ACO，∵∠A=∠ACO，∴∠A=∠CDE，∴△ADE∽△DCE，∴即，∴AE=8，∴AC=AE－CE=8－2=6．【点睛】本题考查了圆的切线的判定，三角形相似的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定，灵活运用三角形相似，圆周角定理是解题的关键．24.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？【答案】（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．【解析】【详解】分析：（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．详解：（1）当y=15时，15=﹣5x2+20x，解得，x1=1，x2=3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；（2）当y=0时，0═﹣5x2+20x，解得，x3=0，x2=4，∵4﹣0=4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．点睛：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．25.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）【解析】【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．【详解】解：（1）由题意可得：点B（3，-2）在反比例函数图像上，∴，则m=-6，∴反比例函数的解析式为，将A（-1，n）代入，得：，即A（-1，6），将A，B代入一次函数解析式中，得，解得：，∴一次函数解析式为；（2）∵点P在x轴上，设点P的坐标为（a，0），∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，∴直线AB与x轴交于点（2，0），由△ABP的面积为4，可得：，即，解得：a=1或a=3，∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．26.已知抛物线经过点M（﹣1，1），N（2，﹣5）．（1）求，的值；（2）若P（4，），Q（，）是抛物线上不同的两点，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）判断出点P（4，），Q（，）是抛物线上的对称点，利用二次函数的对称性，即可求解．【小问1详解】解：由抛物线经过M（﹣1，1），N（2，﹣5）两点，得，解这个方程组，得；【小问2详解】解：∵P（4，），Q（，）是抛物线上不同的两点，且∴，，∴∴点P（4，），Q（，）是抛物线上的对称点，∵抛物线的对称轴为，∴．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．27.已知抛物线．（1）求证：该抛物线与x轴有两个交点；（2）求出它的交点坐标（用含m的代数式表示）；（3）当两交点之间距离是4时，求出抛物线的表达式．【答案】（1）见解析（2）（1，0）和（，0）（3）或【解析】【分析】（1）求出b2-4ac的值，根