狭义相对论(电动力学部分)

第六章狭义相对论SpecialTheoryofRelativity〔〕作业6.2，6.3，6.6122物理学类本科专业根底理论课程结构ElectromagneticsElectrodynamics23附录矢量场论和张量1905年爱因斯坦建立狭义相对论1865年麦克斯韦提出涡旋电场和位移电流假说建立麦克斯韦电磁理论1820年奥斯特发现电流的磁效应1785~1813年1831年法拉第发现电磁感应库仑定律高斯定理和静电势的泊松方程1915年爱因斯坦建立广义相对论1948费曼施温格朝永建立量子电动力学(QED)获1965年诺贝尔奖1960杨振宁米尔斯提出标准场理论格拉肖萨拉姆温伯格等建立弱电统一理论获1979年诺贝尔奖宇宙学黑洞理论宇宙时空本质霍金3Albert·Einstein阿尔伯特·爱因斯坦(1879—1955)4任何物理规律都是相对于一定参考系表述出来的。我们讨论了经典电动力学的根本理论和有关规律，但是讨论的范围限于“静止〞介质中的电磁场。本章讨论动体的电动力学。电动力学的几个遗留问题第一麦克斯韦方程组的参考系问题。第三如果运动是相对的，那么磁场与电场就应该是相对的。与运动无关的电磁量是什么?第二电磁波动与机械波动的差异。5相对论主要是关于时间、空间和物质的理论。是现代物理学的主要理论根底之一。局限于惯性参考系的理论称为狭义相对论，推广到一般参考系和包括引力场在内的理论称为广义相对论。〔近来相对论界的普遍观点是把狭义和广义相对论的分界线定义在平直时空和弯曲时空之间〕。狭义相对论的主要内容〔1〕惯性参考系之间的洛伦兹变换及其物理意义。〔2〕物理规律在任意惯性系中可表示为相同形式，即物理规律的协变性。〔3〕把电动力学规律表述为协变形式。〔4〕把力学根本规律推广为协变性的相对论力学。6〔1〕古代宇宙观§1狭义相对论的实验根底1.相对论产生的历史背景毕达哥拉斯宇宙模型从左到右：对地、中心火、地球、月亮、太阳、金火水木土亚里士多德宇宙模型从下到上：地球、月亮、水金日火木土、恒星天、原动天＊＊＊＊＊＊＊＊7哥白尼日心说从下到上：太阳、水星、金星、地球、火星、木星和土星，月亮围绕地球运动。＊＊＊＊＊＊＊＊〔2〕以太理论亚里士多德认为“月下世界〞由土水火气组成万物，都会腐朽，而“月上世界〞是永恒不变的，充满了轻盈而透明的“以太〞。十九世纪的学者们那么进一步认为：以太充满全宇宙，光就是以太的弹性振动，光的载体就是以太。以太相对于牛顿的“绝对空间〞静止，地球相对于以太的速度就是相对于“绝对空间〞的速度。8天文学家Bradly于1728年发现：观测同一恒星的望远镜的倾角，要随季节做周期性的变化。如果认为以太相对于“绝对空间〞静止，在绝对空间中运动的地球，应该在以太中穿行，光行差现象说明运动介质没有带动以太。vɑ΄ɑvv恒星太阳地球ɑ=π-θ〔3〕光行差现象θ9〔4〕菲索流水实验10由该时间差对应的光程差，即可算出牵引系数k。此值与菲涅尔1818年推出的结果一致对空气，说明空气几乎带不动以太。因此，地球外表以太被带动的假说站不住脚。11参考系质点的位置及其运动与否，只有相对于事先选定的视为不动的物体才有明确的意义。我们称所选取的物体为参考物，与参考物固连的空间为参考空间。参考空间和与之固连的钟的组合称为参考系。坐标系参考系选定后，为了定量的描述质点相对于参考系的位置，还必须在参考系上建立坐标系。常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。例如直角坐标系中的一个空间点用该点的三个空间坐标表示，P≡(x,y,z)。x∑OyzP≡(x,y,z)12相对性和不变性从两个互有相对运动的参考系对同一事物的观测结果不同，或对同一物理量测量结果不同，称事物或物理量的相对性。如果任何两个有相对运动的参考系中的观察者对于某一一物理量测量结果总是一样的，或对于某一物理定律的表述形式完全一样，，称这个物理量或物理规律具有不变性。13事件物质运动可看作是一连串事件在时空中的变化过程。事件可以有各种不同的具体内容，通常用三个空间坐标和一个时间坐标来描述一个确定的事件p≡(x,y,z,t

)

。所有时空点的集合构成闵可夫斯基空间。惯性系相对于绝对空间静止或作匀速直线运动的参考系称为惯性系。x∑Otyp≡(x,y,z,t

)14力学相对性原理一切惯性系在力学上都是等价的。或者说，在任何惯性系中，力学定律具有相同的形式。注意“等价〞不等于说在不同惯性系中看到的现象都一样，而是说不同惯性系中的动力学规律都一样，从而都能正确解释所看到的现象。参考系∑≡{x,y,z,t}参考系∑´≡{x´,y´,z´,t´}空间点P≡(x,y,z〕时空点p≡(x,y,z,t)x∑∑′vOO′yy′z′zx′15伽利略变换牛顿定律满足伽利略变换x,x′∑∑′vOO′yy′z′zp1p2x∑∑′vOO′yy′z′zx′r΄(t)ro(t)r(t)P≡(x,y,z〕16设x轴上事件1和事件2在两个惯性参考系中的时空坐标∑系中的时间间隔由伽利略变换有∑´系中的时间间隔即两个事件的时间间隔在两个惯性参考系中相同。

经典力学认为事件的进程在任何惯性参考系中都相同，即时间是绝对的。17由伽利略变换有测量长度要求得事件1和事件2在两个参考系中的时空坐标∑系中的空间间距

∑´系中的空间间距即两个事件的空间间距在两个惯性参考系中相同。

经典力学认为事件的间距在任何惯性参考系中都相同，即空间是绝对的。18经典〔牛顿〕时空观时间和空间是分别独立、不相联系的。空间距离和时间间隔都不随参考系的选择而改变。独立于物质和物质运动的绝对时间均匀流逝。即不存在受运动状态影响的时钟和直尺。在所有惯性系中，物体运动所遵循的力学规律是相同的，具有相同的数学表达形式。或者说，对于描述力学现象的规律而言，所有惯性系是等价的。绝对时空和绝对质量构成了经典物理学的公理根底。19牛顿力学热力学与经典统计理论经典物理学三大理论体系使经典物理学已趋于成熟麦氏电磁场理论和波动光学德国物理学家普朗克(1858～1947)年轻时曾向他的老师、德国物理学家冯・约里(1809～1884)表示要献身物理学，但老师却劝他说：“年轻人，物理学是一门已经完成了的科学，不会再有多大开展了。将一生献给这门科学，太可惜了。〞患开尔文、冯・约里等人类似的病的人还有：德国物理学家劳厄(1879～1960)、美国物理学家迈克尔逊(1852～1931)等。劳厄说，经典物理和经典力学已“结合成一座具有庄严宏伟的建筑体系和动人心弦的美丽殿室〞；而迈克尔逊那么说“绝大多数重要的根本原理已经牢固地确立起来了，下一步的开展看来主要是把这些原理认真地利用〞。〔4〕经典物理学20

1876年麦克斯韦创立电磁理论，伽利略相对性原理要求电磁运动规律满足协变性但实际变换结果不满足协变性经典物理学〔5〕电磁运动规律不满足协变性21依据经典时空观，伽利略速度叠加原理要求电磁波只能够对一个特定的参考系的传播速度为c，因而麦氏方程也就只能对该参考系成立。那么经典力学中一切惯性系等价的相对性原理对电磁现象就不成立，由电磁规律可以确定一个特殊的参考系，即绝对参考系，相对于绝对参考系的运动称为绝对运动。当时人们认为既然声波、水波等机械波，都是在某种介质中的机械振动的传播现象，电磁波也应该是某种充满空间的弹性媒质内的波动现象。该弹性介质就构成电磁波传播的特殊参考系，电磁波传播速度c是对以太这一特殊参考系而言的。也就是说，以太就是那个经典时空观中的绝对参考系。222.相对论的实验根底迈克尔逊—莫雷实验为了找出或证明这个绝对空间的存在，迈克尔逊和莫雷于1887年利用灵敏的干预仪，企图测定沿地球不同方向传播的光速的差异，进而确定地球的绝对运动。如果能够精确测定各个方向光速的差异，就可以确定地球相对于绝对参考系的运动，或者说相对于以太的运动。假设太阳相对于以态静止，地球以30千米/秒的速度绕太阳运动，在略去地球自转及其他不均匀运动所引起的偏差后，地球的运动在实验持续的时间内可以看做是匀速直线运动，因而地球可看作是一个惯性系统。实验时先使干预仪的一臂与地球的运动方向平行，另一臂与地球的运动方向垂直，按照经典的理论，在运动的系统中，光速应该各向不同，因而可看到干预条纹；再使整个仪器转过π/2，就应该发现条纹的移动。23实验装置:

迈克尔逊干预仪SlMlM1M2T24说明：由光源S发出的光线在半反射镜M上分为两束，一束通过M，被M1反射回到M，再被M反射而到达目镜T；另一束被M反射到M2，再反射回M而直达目镜T。调整两臂长度使有效光程为MM1=MM2=l。设地球相对于以太的运动速度v沿MM1方向，那么由于光线MM1M与MM2M的传播时间不同，因而有光程差，在目镜T中将观察到干预效应。25经典速度合成按经典速度合成法那么，当地球相对于以太的速度为v运动时，地球上发出的沿任意方向传播的光速u与相对于以太参考系的光速c之间应满足解出ucuθv地球太阳26地球观察者所看到的沿方向传播的光速为地球观察者所看到的逆方向传播的光速为地球观察者所看到的垂直于方向传播的光速为27光线MM1M的传播时间光线MM2M的传播时间两束光线的时间差为28当把仪器绕竖直轴顺时针旋转π/2，那么MM2变成沿地球运动方向，MM1变为垂直于地球运动方向。两束光总的光程差为Δ′=-Δ，两种情况总光程差为两束光传播距离相同，如果速度不同，那么存在光程差在目镜中应该观察到静态的干预效应。29实验取：l=10米，λ=5×10-7米，v=3×104米/秒

c=3×108米/秒当光程差的改变量等于光波的一个波长时，就引起一条干预条纹的移动，所以条纹移动的总数为实验观察到只有小到移动条纹的1/100，但从来也没有看到过0.4个条纹的移动。得到30迈克尔逊—莫雷实验测不出条纹的移动，说明地球上沿各方向的光速相同，地球没有相对于以太的运动，因而也就否认了绝对参考系的存在。〔1〕坚持麦氏电磁理论，但不满足相对性原理〔洛伦兹〕〔2〕坚持相对性原理，放弃麦氏电磁理论〔庞加莱〕〔3〕坚持相对性原理和麦氏电磁理论，放弃伽里略变换爱因斯坦认为麦氏电磁规律是普遍规律，并且电磁规律和力学规律一样都应遵守相对性原理，两者都应保存，需要改造的是伽利略变换。以这两条作为根本假设，爱因斯坦成功地建立了狭义相对论。麦氏电磁理论

相对性原理

伽里略变换31物理学晴朗的天空中出现了两朵乌云

迈克耳逊-莫雷实验结果与速度叠加原理矛盾

黑体辐射实验结果与能量连续矛盾相对论力学量子力学19世纪末~20世纪初物理学的三大发现经典力学近代物理学的两大理论根底1895年发现X光1896年发现放射性1897年发现电子321、狭义相对论的根本原理〔1〕相对性原理所有惯性系都是等价的。物理规律对于所有惯性系都可以表为相同的数学形式。〔2〕光速不变原理真空中的光速在相对于任何惯性系沿任一方向上都恒为c，并与光源的运动无关。§2狭义相对论的根本原理洛沦兹变换〔2023.06.10〕33光速不变原理与牛顿时空观相矛盾所有最根本的时空概念，如同时性、距离、时间和速度等都要重新加以讨论。34在经典时空观中同时性是绝对的设在t=t΄=0时两个坐标系原点重合，此刻原点处发出一个闪光，1秒钟后闪光到达x轴上半径为c的球面上Σ：伽里略变换得即x′轴上两点接收到闪光仍为同时事件，即同时性是绝对的。Σ´:Δt=0即x轴上与原点对称的两点接收到闪光为同时事件。Δt′=035在相对论时空观中同时性是相对的Σ´:

假设1秒钟后x´轴上这两点的时空坐标为即Σ´中接收到闪光为不同时事件。所以同时性是相对的。Σ：即Σ中两点接收到闪光为同时事件。Δt=0362两事件的间隔∑：称为这两个事件在∑系中的间隔。可以证明，对两个惯性系，光速不变必然导致间隔不变称为这两个事件在∑΄系中的间隔。∑´：37所以无论两事件有联系或毫无联系，均有间隔不变性∑：证明：假设两个事件分别为发光和收光即由光波联系的两事件间隔在不同惯性系中相同。假设这两个事件由其它方式联系或毫无关系，由运动的相对性，有∑´：38如果两事件彼此无限地接近，那么间隔为任意两个事件，不管它们是由光讯号联系，或由其它讯号联系，或根本没有因果关系，间隔在所有惯性系里都是一样的，即间隔由一个惯性系变换到任何惯性系时保持不变。这是光速不变的数学表示。间隔的微分形式仍保持不变间隔的微分形式39〔1〕同一地点相继发生的两个事件的间隔〔2〕不同地点同时发生的两个事件的间隔两种特殊的间隔40例一〔195页〕解：设发出闪光为事件1，收到闪光为事件2。在Σ´中两个事件的时间间隔两个事件的空间间隔汽车系中两个事件的间隔SM∑∑′MvΔtSS′41在Σ中观察，设两事件时间差为Δt，在这时间内光源已运动了光讯号传播满足两个事件的时间间隔两个事件的空间间隔两个事件的间隔由于所以423洛伦兹变换式

根据变换的线性要求和间隔不变性导出狭义相对论的时空坐标变换公式x0’0zz’y∑y’∑’x’对沿任意方向作匀速相对运动的两个惯性系的坐标变换43对沿x轴方向作匀速相对运动的两个惯性系的坐标变换由于x轴正方向相同，时间轴正方向相同，应取x,x′∑∑′vOO′yy′z′z44考虑事件1位于原点，事件2位于任意处，其间隔满足比较等式两边系数得45代入第二式46这些系数都可以由相对速度v表示出来。在Σ和Σ΄观察O΄的运动，有所以解出由47将得洛伦兹变换代入48根据运动的相对性，如果把该式中的v改成-v

，就可得到逆变换的关系式：49讨论〔1〕在相对论中，光速c具有极限速度的特征。当v>c时，γ变为虚数，时空坐标变换失去意义，当v=c时，γ无意义，这与目前为止实物粒子的实验事实相符合。只有真空中的光速等于c，即只有静质量为零的粒子才能以光速运动。50〔2〕对v<<c，γ=1，那么洛变换变为伽里略变换说明伽利略变换是洛仑兹变换在低速运动下的一个近似。〔3〕以上所得到的洛仑兹变换式，是在一种特殊的运动条件下所构成的时空变换关系，即Σ΄系的坐标轴与Σ系的对应坐标轴同向，且x′与x重合，Σ΄系相对于Σ系沿x正方向以速度v运动。如果Σ΄系相对于Σ系不是沿x正方向运动，那么以上洛仑兹变换式不适用。51〔4〕洛仑兹的洛仑兹变换与爱因斯坦的洛仑兹变换比较在洛仑兹的洛仑兹变换中，〔x,y,z,t〕为一指定事件在相对于绝对参考系静止的惯性系中的时空坐标，〔x΄,y΄,z΄,t΄〕为同一事件在相对于绝对参考系沿x轴方向以匀速度v运动的惯性系中的时空坐标；c是绝对参考系中的真空光速，变换反映的是该惯性系相对于绝对参考系的变换。在爱因斯坦的洛仑兹变换中，〔x,y,z,t〕为一指定事件在任一惯性系中的时空坐标，〔x΄,y΄,z΄,t΄〕为同一事件在相对于该惯性系沿x轴方向以匀速度v运动的惯性系中的时空坐标；c是任意惯性系中的不变真空光速，变换反映的是任意惯性系之间的变换。52例2(198页)53解:545556〔5〕两个惯性系的互相表述—坐标轴时空图闵可夫斯基把时间乘以光速看作第四维空间，从而把时空看作一个整体，把相对论写成四维时空的形式，用简洁的形式重新表述了相对论。在四维时空中，任何一个事件都可以用其中的一个点来表示，这个点称为世界点。事件开展的过程，用四维时空中的轨迹线表示，称为世界线。做惯性运动的质点描出的世界线称为测地线〔或短程线〕。xt各种世界线xt∑系的等时线和等地线ABC57x,x′∑∑′vOO′yy′z′z参考系时空图参考系空间图xtt'x'x∑∑′tt′x′错误表述正确表述58三维欧氏空间线元四维欧氏时空线元四维闵氏时空线元闵氏时空的线元可用伴随它运动的钟所走时间来表示世界线线元与固有时成正比根据间隔不变性59二维闵氏时空中两个惯性系的互相表述—坐标轴时空图xtt΄轴：x΄=0x-vt=0,t=x/vt΄x΄x΄轴：t΄=0t-vx=0,t=vx1〕以Σ为基准表述Σ΄在自然单位制下(c=1)洛变换60xtt轴：x=0x+vt΄=0,t΄=-x΄/vt΄x΄x轴：t=0t΄+vx΄=0,t'=-vx΄2〕以Σ΄为基准表述Σ在自然单位制下洛变换613〕校准曲线pO在二维闵氏时空中与原点等距离的点的轨迹称为校准曲线，满足lop=常数xt闵氏时空中校准曲线是一组双曲线。双曲线上的点到原点的距离相同，这与欧氏空间完全不同。闵氏时空中的二维线元xt621.相对论时空结构考虑两个事件：O〔0,0,0,0〕和P〔x,y,z,t)两事件间隔间隔的分类两个事件的空间距离等于光波在时间t所传播的距离，如两事件是电磁信号联系的事件(2)两个事件的空间距离小于光波在时间t所传播的距离，如两事件是用小于光速联系的事件§3相对论时空理论〔2023.06.12〕63(3)两个事件的空间距离超过了光波在时间t所传播的距离，如两事件是用大于光速联系的事件由于从一个惯性系到另外一个惯性系的变换中，间隔保持不变，所以间隔的这三种划分是绝对的，不因参考系变换而改变。这是相对论时空性质中的绝对性。为了说明问题的方便，把三种间隔用一个三维时空图形表示出来，事件用一个三维时空点P来表示。64

P点在xy面上的投影表示事件发生的地点，P点的垂直坐标表示事件发生的时刻t乘以c。在四维时空中，任何一个事件都可以用其中的一个点来表示，这个点称为世界点。事件开展的过程，用四维时空中的轨迹线表示，称为世界线。四维时空的结构由三个区域组成，对应于上述三种情况。xytPo·6566时空区域的分类(1)假设事件P与事件O的间隔是S2=0，那么r=ct，因此P点在一个以O点为顶点的锥面上，这个锥面称为光锥。但凡光锥上的点，都可以与O点用光信号联系。这类型的间隔称为类光间隔。事件P:收短信事件o:发短信事件P:7:00:01三十万公里处出现流星事件o:7：00寝室开灯有因果关系的两个类光事件的间隔无因果关系的两个类光事件的间隔xyct·Po45o67(2)假设事件P与事件O的间隔是S2>0，那么r<ct，因而P点在光锥之内。但凡光锥内的点，都可以与O点用小于光信号的速度联系。这类型的间隔称为类时间隔。事件P：终点冲刺事件o：短跑发令枪响事件P：0:05:00寝室外树叶落地事件o：0:00:00寝室关灯有因果关系的两个类时事件的间隔无因果关系的两个类时事件的间隔xyct·Po45o68(3)事件P与事件O的间隔S2<0，那么r>ct，因而P点在光锥之外。这时P点不可能与O点用光信号或低于光信号的传播速度的作用相联系。这类型的间隔称为类空间隔。事件P：

0:00:01美国凤凰号在火星着陆火星与地球的最近距离约为5500万公里事件o：0:00:00寝室关灯两个事件的间隔的划分是绝对的，不因参考系而转变。xyctP45o69概括起来，事件P相对于事件O的时空关系可作如下的绝对分类：(1)类光间隔S2=0P点在光锥面上。(2)类时间隔S2>0a)绝对将来，即P在O的上半光锥内。

b)绝对过去，即P在O的下半光锥内。(3)类空间隔S2<0

P与O绝对异地，P点在光锥之外。类时间隔和类空间隔是两个截然不同的时空关系。70设两事件∑系

2因果律对信号速度的限制如果两个事件有因果关系，那么两事件的先后次序应该是绝对的，不容颠倒。正确的时空观必须反映事物开展的绝对因果性。如播种必在收获之前，人的死亡必在出生之后，收短信在发短信之后等。因果关系的绝对性反映了事物开展变化的客观事实，与参考系的选择无关。由洛伦兹变换得∑´系71即如果这两事件有因果关系，在Σ系中t2>t1，由于它们的秩序在另一惯性系中不可颠倒，即t2-t1

与t2′-t1′必须同号，所以要求即72∑系中信号或粒子传播的速度为那么有式中v是两惯性系之间的相对速度，由于参考系必须固定在物体上，所以v

也是信号或粒子传播的速度，这时相对论要求

u<c属类时间隔的两因果事件的绝对性要求所有物体运动速度和信号传递速度都不能超过光速c。这与目前的实验事实相吻合。7350亿光年6500万光年5000光年50亿年前：太阳系诞生6500万年前：恐龙灭绝5000年前：人类文明诞生v>c743同时的相对性现在考察具有类空间隔的两个事件1和2Σ系

Σ΄系由有75即具有类空间隔的两个事件，由于不可能发生因果关系，其时间次序的先后，或者同时，都没有绝对意义，因不同参考系而不同。假设在∑系中观察到t2>t1，变换到∑΄系，由洛伦兹变换得如果v足够大，那么可以保证那么有或或76同地相对性与同时相对性时空图xtt'x'xtt'x'77例：同时异地发生的两个事件的间隔小于零，属类空间隔，两事件不可能有因果关系，所以同时概念必然是相对的。∑´系中为不同时的事件

∑系中同时异地事件

78后门前门车子O.∑O’.∑’地面

一辆作匀速运动的车子，其前后两门皆用光信号控制其开和关。车上的观察者看到前后门同时开关，车下的观察者看到前后门不同时开关。

相对论效应在于，在一个参考系中不同地点对准了的时钟，在另一个参考系上观察起来会变为不对准的。这就是同时相对性的意义。类时间隔的绝对因果性和类空间隔的同时相对性是物质运动时空关系的两个方面，前者起主导作用。79C2C14运动时钟的延缓xyC2C1同一惯性系中同地对钟问题：标准钟与待对钟同地，所以同地对钟不成问题。同一参考系中异地对钟问题：爱因斯坦通过光速不变原理得到解决。现代科学技术采用自然基准作为计时基准

，可以一般的称作时钟。80不同参考系对钟问题在两个惯性系中放置一系列各自对准的时钟，两列钟作相对运动。选定一个参考系，让对方的一个钟与自己的一系列钟比较，从而比较出两个惯性系中时钟的快慢。xΣΣ′ABx′xΣΣ′ABx′81

考察Σ΄系中一静止时钟C΄，当它到达C1时与C1对准为事件1，当它到达C2时为事件2，观察者两次看钟为两个同地不同时事件，其时间差称为固有时Σ′系中这两事件的间隔为xΣΣ′C'C2C1x′Σ系内这两个事件的间隔为xΣΣ′C'C2C1x′82令由间隔不变性得表示运动物体上发生的自然过程比起静止物体的同样过程延缓了，这就是时钟延缓效应。83宇航员乘坐速度为0.9999624C的宇宙飞船飞行，他的一日相当于地球上的一年，所以当这位宇航员长了一岁，我们已经老了365岁了。据此通过坐飞机来长寿，理论上是可行的，只是效果太微弱了。根据计算，如果一个人一年都在飞机上飞行，他可以赚得5微秒。假设他活了80岁，从出生就在飞机上这样生活，当80岁死去时一共可以赚得400微秒，即0.0004秒。80年的飞行才赚得连一眨眼都不到的时间，实在是有点得不偿失。讨论〔1〕运动时钟比静止时钟走得慢，慢的程度与v有关，接近光速时，运动时钟趋于停止(Δt→∞)。时钟延缓效应只依赖于速度，而不依赖于加速度。84〔2〕当限于惯性运动时，时钟延缓效应是相对效应x,x′ΣΣ′C'C2C1x,x′ΣΣ′C'C2C1τl/vx,x′ΣΣ′C'C2C1x,x′ΣΣ′C'C2C1τl/v参考系Σ上看到固定于Σ΄上的时钟变慢；同样，参考系Σ΄上看到固定于Σ上的时钟也变慢。在动钟变慢的效应中，总是用一个钟〔动钟〕和一系列钟〔静钟〕比较，变慢的一定是那个单一的钟。85时钟延缓效应时空图x,x′ΣΣ′C'C2C1x,x′ΣΣ′C'C2C1τl/vxtt'COC'abx'

lob=γ-1loa=γ-1lcb

l/v=γτC1C2l86ad∑΄系看动钟也慢了lob>ldbδxtt'C2C1C'bx'x,x′ΣΣ′C'C2C1x,x′ΣΣ′C'C2C1l/v-δδl/v时钟延缓效应时空图CO87〔3〕在非惯性运动中，时间延缓导致绝对的物理效应当一个时钟B绕闭合路径经非惯性运动最后返回原地时，它所经历的时间小于在原地点静止时钟A所经历的时间。这效应称为双生子佯谬。根据时钟延缓效应txC,C΄C,C΄AB当B回到原地时Σ上测得的时间为

这效应不是相对的，因为动钟的参考系Σ΄不是惯性系，因此不能在Σ΄上得到88根据世界线的性质，世界线长度正比于质点经历的固有时间。比较A和B的寿命就是比较A和B的世界线长。世界线长是绝对的，是时空几何决定的，与参考系的选择无关。txqABab忽略B运动的加速过程，把B的来回看作惯性运动。横平竖直直角三角形满足A的世界线比B的长，所以A年龄比B的大。p895、运动尺度的缩短现代测量长度采用自然基准：1m=c×1/299792458S在不同参考系中都用这个基准来测量长度，这样就可以比较不同参考系上测的同一物体的长度。固有长度xΣΣ′vx′x´1x´2运动长度x1x2p1p290

根据洛伦兹变换式两式相减，即得91由于在Σ系测量运动尺要求t2-t1=0，故有即说明运动着的尺比静止的尺缩短了。相对论的这个结果称为爱因斯坦收缩。92讨论〔1〕运动尺度缩短了，趋于光速时，尺度缩短为零。〔2〕如果物体是任意形状的，只有沿运动方向的长度有上述的缩短，与运动方向垂直的方向上尺度无变化，这将导致立方体体积变也发生收缩。〔3〕洛伦兹收缩与爱因斯坦收缩的差异洛伦兹收缩中l0是刚尺相对于绝对空间静止时的长度，l是刚尺相对于绝对空间以速度v运动时的长度，c是绝对参考系中的真空光速；洛伦兹收缩相对于绝对参考系发生，是一种真实的物理效应，收缩是绝对的，构成尺子的原子结构和原子内部的电荷分布均发生了变化。93利用逆变换结论仍然是动尺变短了。xΣΣ′vx′x1x2x´1x´2爱因斯坦收缩中l0是刚尺静止在任一惯性系中的长度，l是刚尺相对于该惯性系以速度v运动时的长度，c是任一参考系中的真空光速；爱因斯坦收缩相对于任一惯性系发生，是一种时空效应，收缩是相对的。构成尺子的原子结构和原子内部的电荷分布没有发生任何变化。94运动尺度收缩的时空图xoat'tx'b静尺长度动尺长度尺头尺尾无论从哪一个惯性系看，运动尺一定会产生收缩。95车库佯谬库门库墙t'x'车头车尾设汽车与车库静长相等。汽车匀速进库时，司机想：“动库收缩，车放不下〞；司库想：“动车收缩，放下有余〞，司机的想法对还是司库的想法对？使用时空图可获得清晰的认识。两人看法都对，关键是同时性的相对性导致结论的相对性。司库同时线司机同时线校准曲线oabcd以司库所在惯性系的同时线衡量，车短于库，放下有余以司机所在惯性系的同时线衡量，车长于库，车放不下966、速度变换式假定Σ΄系相对于Σ系以速度v沿着x轴正方向运动，设粒子〔Σ˝〕相对于Σ系、Σ΄系的速度分别为利用洛仑兹正变换及其变换是线性的性质，微分得到x,x′∑∑′vuu′∑″x″97用dt΄去除dx΄，dy΄，dz΄，那么得98同理得有99100讨论v是∑΄系相对于∑系沿x轴正方向的速度；u是粒子〔∑˝系〕相对于∑系的速度；u΄是粒子〔∑˝系〕相对于∑΄系的速度；要使用速度变换式，必须要有三个客体存在，即两个观察者∑和∑΄，以及一个运动实体〔∑˝系〕。〔1〕区分三种不同的速度x,x′∑∑′vuu′x″∑″101〔2〕在非相对论极限下c→∞，速度变换式将过渡到经典力学中速度变换式，即102〔3〕两速度合成时，只要有一个速度为光速，那么合成速度为光速；假设两个速度均小于光速，那么合成速度也小于光速。当u′<c，v<c时，可以证明必有这说明不可能把牵连速度和相对速度加起来，使它们的合成速度在某一惯性系得出大于c的结论。u<c103〔3〕两速度合成时，只要有一个速度为光速，那么合成速度为光速；假设两个速度均小于光速，那么合成速度也小于光速。当u′<c，v<c时，可以证明必有这说明不可能把牵连速度和相对速度加起来，使它们的合成速度在某一惯性系得出大于c的结论。u<c〔4〕角度变换公式-光行差现象x,x′∑∑′vuuyuxθ假定Σ系中一粒子在xy平面内运动，速度大小为u，方向与x轴之间的夹角为θ，那么有104由洛伦兹速度变换推出假定Σ΄系中的观测者测得该粒子的速度为u΄，与x΄轴之间的夹角为θ΄，那么同样存在关系有x,x′∑∑′vu΄u΄yu΄xθ΄105以光子为例，上式说明尽管光速保持不变，但光线的方向在不同参考系中一般并不相同，此即天文观测中的光行差现象。一般情况下θ≠θ΄，只有在θ=0，即光线与轴平行时θ΄=0，Σ΄系中的光线也沿方向。vɑ΄ɑvv恒星太阳地球ɑ=π-θ106例题1〔P208〕证明假设物体相对于一个参考系的运动速度u<c，那么对于所有参考系亦有u΄<c。证明：设物体在Σ系中dt时间内发生了位移，由间隔不变得由得107例题2〔P208〕解:在∑′上观察，介质中的光速沿各方向都等于c/n，那么Σ中沿介质运动方向的光速如果v<<c,得沿介质运动方向的光速x,x′∑∑′vOO′yy′z′z108逆介质运动方向的光速109例题3用