荆门高二（上）期末数学试卷（理科）

荆门高二（上）期末数学试卷（理科）

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题（共12题，共60分）

1、在以“菊韵荆门，荣耀中华”为主题的“中国•荆门菊花展”上，工作人员要将6盆不同品种的菊花排

成一排，其中甲，乙在丙同侧的不同排法种数为（）

A.120

B.240

C.360

D.480

【考点】

【答案】D

【解析】解：第一类，字母C排在左边第一个位置，有A55种；第二类，字母C排在左边第二个位置，有

A42A33种；

第三类，字母C排在左边第三个位置，有A22A33+A32A33种，

由对称性可知共有2（A55+A42A33+A22A33+A32A33）=480种.

故选：D.

2、已知等边aABC的边长为2©,动点P、M满足14Pl=1,PM=MCf贝的最小值是（）

25

A.T

31

B.T

37-6-J3

C.4

37-2婢

D.~~

【考点】

【答案】A

【解析】解：由题AABC为边长为2点的正三角形

如图建立平面坐标系,

4(0,3),5(3,01。(出,0)

由口=1得点P的轨迹方程为x2+（y-3）2①,

设M（x0,yO）,由PM=MC得尸（2。一石，2%）,

代入①式得M的轨迹方程为“唠如四

记圆心为

故选:A.

3、圆(x+2)2+y2=2016关于直线x-y+1=0对称的圆的方程为()

A.(x-2)2+y2=2016

B.x2+(y-2)2=2016

C.(x+1)2+(y+1)2=2016

D.(x-1)2+(y-1)2=2016

【考点】

【答案】C

【解析】解：圆（x+2）2+y2=2016,设圆心（-2,0）关于直线x-y+1=0的对称点为（m,n）则I手•伊

解得：m=-1,n=-1

•••对称点为(-1,-D

所以圆(x+2)2+y2=2016关于直线x-y+1=0的对称圆C'的方程为：(x+1)2+(y+1)2=2016.

故选C.

开始

4、执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）

A.2

1

B.3

1

C.-2

D.-3

【考点】

【答案】D

【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；开始S=2,i=1；

第一次循环S=-3,i=2；

1

第二次循环S=-T,i=3；

1

第三次循环s=3i=4；

第四次循环S=2,i=5；

第五次循环a=-3,i=6；

.'.a的取值周期为4,且跳出循环的i值为2018=504X4+2,

••・输出的S=-3.

故选：D.

【考点精析】通过灵活运用程序框图，掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文

字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的

流程线；程序框外必要文字说明即可以解答此题.

5、下列说法中，错误的一个是()

A.将23(10)化成二进位制数是10111(2)

B.在空间坐标系点M(1,2,3)关于x轴的对称点为(1,-2,-3)

C.数据：2,4,6,8的方差是数据：1,2,3,4的方差的2倍

D.若点A(-1,0)在圆x2+y2-mx+1=0的外部，则m>-2

【考点】

【答案】C

【解析】解：10111(2)=1+2+4+16=23(10),故A正确；在空间坐标系点M(1,2,3)关于x轴的对

称点为(1,-2,-3),故B正确；

数据：2,4,6,8的方差是数据：1,2,3,4的方差的4倍，故C错误；

若点A(-1,0)在圆x2+y2-mx+1=0的外部，则1+m+1>0,即m>-2,故D正确;

故选：C【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互

为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

6、如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，则这位运动员这8场

运动员

078

07x9

一，31

比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（）

2

A.10

3

B.10

6

c.io

7

D.10

【考点】

【答案】B

【解析】解：根据篮球的得分规则可知，x=0,1,2,-9,共10种可能.无论x取何值，则位于中间的

两个数为：17,10+x,

17+10+x_27+x

则中位数为22

-（7+x+9+13+ll-3-2）10+-（x+35）

得分的平均数为10+8'=8,

1>27+x

由10+8（x+35）-2,

得3xW7,

<1

即x3,.-.x=0,1,2,共有3种，

3

这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为无，

故选：B.

【考点精析】解答此题的关键在于理解茎叶图的相关知识，掌握茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是

将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位

的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多

少.

7、设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，切点分别为A,B,

则四边形PACB的面积的最小值为（）

A.1

塞

B.2

C.2点

D.

【考点】

【答案】D

【解析】解：•..圆的方程为：x2+y2-2x-2y+1=0，圆心C（1,1）、半径r为：1

根据题意，若四边形面积最小

当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，

切线长PA,PB最小

圆心到直线的距离为d=2

A|PA|=|PB|=V^2-r2=抬

■srjct=2|PZ1|F=y/3

故选D.

8、倾斜角为120。且在y轴上的截距为-2的直线方程为（）

A.y=-FX+2

B.y=-x-2

0.y=x+2

D.y二x-2

【考点】

【答案】B

【解析】解：•..tan120。=-4，..・所求直线的斜率为-,

又直线在y轴上的截距为-2,

由直线方程的斜截式得y=-x-2,

故选：B【考点精析】关于本题考查的斜截式方程，需要了解直线的斜截式方程：已知直线1的斜率为

上,且与？轴的交点为©"）则：”才能得出正确答案.

9、抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）

A.至多有2件次品

B.至多有1件次品

C.至多有2件正品

D.至多有1件正品

【考点】

【答案】B

【解析】解：...至少有n个的否定是至多有n-1个又•..事件A：“至少有两件次品”，

事件A的对立事件为：

至多有一件次品.

故选B【考点精析】掌握互斥事件与对立事件是解答本题的根本，需要知道互斥事件是指事件A与事

件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）

事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生；而对立事件是指事件A与事件B有且仅有

一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥

事件的特殊情形.

10、某校拟从高一年级、高二年级、高三年级学生中抽取一定比例的学生调查对“荆马”（荆门国际马拉

松）的了解情况，则最合理的抽样方法是（）

A.抽签法

B.系统抽样法

C.分层抽样法

D.随机数法

【考点】

【答案】C

【解析】解：常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，高一年级、高二年级、高三年级

学生对“荆马”（荆门国际马拉松）的了解情况，存在显著差异，

这种方式具有代表性，比较合理的抽样方法是分层抽样.

故选：C.

【考点精析】掌握分层抽样是解答本题的根本，需要知道先将总体中的所有单位按照某种特征或标志

（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办

法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本.

11、已知直线11:ax-y+a=0,I2：（2a-3）x+ay-a=0互相平行，则a的值是（）

A.1

B.-3

C.1或-3

D.0

【考点】

【答案】B

【解析】解：因为直线11：ax-y+a=0,的斜率存在，斜率为a,要使两条直线平行，必有I2：（2a-3）

3-2a

x+ay-a=0的斜率为a,即a=a,

解得a=-3或a=1,

当a=1时，已知直线11:ax-y+a=0,I2：（2a-3）x+ay-a=0,两直线重合，

当a=-3时，已知直线11:-3x+y-3=0与直线I2：-3x-y=1,两直线平行，

则实数a的值为-3.

故选B.

12、已知变量x服从正态分布N（4,。2）,且P（x>2）=0,6,则P（x>6）=（）

A.0.4

B.0.3

C.0.2

D.0.1

【考点】

【答案】A

【解析】解：..・随机变量x服从正态分布N(4,。2),正态分布曲线关于x=4对称，

又x<2与x>6关于x=2对称，且P(&>2)=0.6,

.'.P(x<2)=P(x>6)=0.4,

故选：A.

二、填空题(共4题，共20分)

13、由计算机产生2n个。〜1之间的均匀随机数x1,x2,-xn,y1,y2,-yn,构成n个数

对(x1,y1),(x2y2),-(xn,yn)其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用

随机模拟的方法得到的圆周率n的近似值为.

【考点】

蛆+2

【答案】n

0<X<1

【解析】解：由题意，n对。〜1之间的均匀随机数x,y,满足相应平面区域面积为1,两个

,%2+y2<1ni«_£_J_

数能与1构成钝角三角形三边的数对(X,y),满足‘x+y>l且面积为厂5,所以“一彳5,得

n=.

所以答案是.

INPUTX

IF年0THEN

V=X*

ELSE

y=X

ENDIF

PRINTy

14、执行如图程序，若输出的结果是4,则输入的x的值是END

【考点】

【答案】2

x\x>0

【解析】解：根据条件语句可知是计算y=I乂"<°,当xVO时，若输出的结果是4,可得x=4,矛盾;

当x》0时，若输出的结果是4,x2=4,解得：x=2.

所以答案是：2.

15、把一枚硬币连续抛掷两次，事件A="第一次出现正面”，事件B="第二次出现正面”，则P(B|A)

【考点】

1

【答案】2

【解析】解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，

1

第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是X=1,

尸⑷

.,.p(B|A)=P(')=.

所以答案是：.

16、以点(2,-3)为圆心且与直线2mx-y-2m-1=0(mGR)相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程

为.

【考点】

【答案】(x-2)2+(y+3)2=5

【解析】解：根据题意，设圆心为P,则点P的坐标为(2,-3)对于直线2mx-y-2m-1=0,变形可得

y+1=2m(x-1),

即直线过定点M(1,-1),

在以点M(2,-3)为圆心且与直线2mx-y-2m-1=0(mGR)相切的所有圆中，

面积最大的圆的半径r长为MP,

则r2=MP2=5,

则其标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5；

所以答案是：(x-2)2+(y+3)2=5.

三、解答题(共6题，共30分)

17、已知长为2的线段AB两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C.(I)

求曲线C的方程；

(II)点P(X,y)是曲线C上的动点，求3x-4y的取值范围；

(III)已知定点Q(0,3),探究是否存在定点T(0,t)(t3)和常数人满足：对曲线C上任意

一点S,都有|ST|=A|SQ|成立？若存在，求出t和入；若不存在，请说明理由.

【考点】

【答案】解：(I)法一：设A(m,0),B(0,n),M(x,y),贝I]|AB12=m2+n2①\.点M为线段AB的

中点...m=2x,n=2y；代入①式得4x2+4y2=4,

即点M的轨迹曲线C的方程为x2+y2=1.

网=i

法二：设0为坐标原点，则2',故点M的轨迹曲线C是以原点。为圆心，

半径等于1的圆，其方程为x2+y2=1.

一小g))

(II)法一；".,x2+y2=1,.,.可令I，*”,3x-4y=3cos0-4sin6=5sin(6+。)

G[-5,5].

法二：设t=3x-4y,则由题直线3x-4y-t=0与圆C：x2+y2=1有公共点，

,解得tW[-5,5]

(Ill)假设存在满足题意的t和入，则设S(x,y),由冈|=入|SQ|得:

(H+力+(*-#]+#4=0

展开整理得:又

+枭…-1=0

x2+y2=1,故有I3)9

由题意此式对满足x2+y2=1的任意的y都成立,

2

勃-勃=0日笛-户-1=0r=A=^r#-

3且9，解得：2(­.■3)

所以存在满足题意要求

【解析】(I)法一：设A(m,0),B(0,n),M(x,y),利用|AB|2=m2+n2,以及点M为线段AB的

中点求解点M的轨迹曲线C的方程.法二：设0为坐标原点，则\=2^AB\=1,判断点M的轨迹曲

线C是以原点0为圆心，半径等于1的圆，写出方程即可.(II)法一；通过x2+y2=1,令

.X=cosO

{y=S出的(」’〃))，转化三角函数求解最值即可.法二：设t=3x-4y,利用直线3x-4y-t=0与圆

C：x2+y2=1有公共点,列出不等式求解即可.(川)假设存在满足题意的t和入，则设S(x,y),由|ST|二A|SQ|

得：/+(yT)2=A2[X2+(y-3)],化简代入x2+y2=1,推出⑵-/,，+-g-A2-t2-l=。，推

出,42,得到结果.

18、已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=4.(I)若直线I过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为24，求

直线I的方程；

(II)若直线I过点B(1,0)与圆C相交于P,Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线I

的方程.

【考点】

【答案】解：(I)圆C的圆心坐标为C(3,4),半径R=2,•.•直线I被圆E截得的弦长为2.,.•.圆

心C到直线I的距离d=1

①当直线I的斜率不存在时，I:x=2,显然满足d=1；

②当直线I的斜率存在时，设I：y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,

匕Ji

由圆心C到直线I的距离d=1得：J1+好，解得k=0,故I：y=3；

综上所述，直线I的方程为x=2或y=3

(ID法一：••.直线与圆相交，的斜率一定存在且不为0,设直线I方程：y=k(x-1),

即kx-y-k=0,则圆心C到直线I的距离为d=

又MCPQ的面积S二片*dQ;匹aJ—W+4

.•.当d=J5时，S取最大值2.由d==&,得k=1或k=7,

二直线I的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.

法二：设圆心C到直线I的距离为d,

22

则SECPO=-2PQvd=d=认t（4-dJ}d<2H"=2（取等号时）

以下同法一.

3^=-^RanZPCQ=2dnZPCQ<2

法三:2

取“=”时NPCQ=90°,4CPO为等腰直角三角形，则圆心C到直线I的距离，

以下同法一.

【解析】(I)求出圆C的圆心坐标为C(3,4),半径R=2,推出圆心C到直线I的距离d=1,(1)当直

线I的斜率不存在时，I：x=2,判断是否满足题意(2)当直线I的斜率存在时，设I：y-3=k(x-2),

利用点到直线的距离公式求解即可.(II)法一：设直线I方程：y=k(x-1),利用点到直线的距离公式

以及三角形面积公式，通过二次函数的最值求解即可.法二：设圆心C到直线I的距离为d,表示三角形

1

的面积，利用基本不等式求解即可.法三：SACPQ=2R.RsinZPCQ,利用三角函数的最值求解，圆心C到直

线I的距离壮=也，然后转化求解即可.

19、为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20

名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优

根据图示，将2X2列联表补充完整；

(ii)据列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“学科成绩与性别有关”？(II)将

频率视作概率，从高二年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的分布列与数学

n(ad-bc)2

期望.参考公式：K2=8+b)(c+d)(a+c)(b+d)(n=a+b+c+d).参考数据：

【考点】

【答案】解：(I)根据图示，将2X2列联表补充完整如下：

k=〃（­）2=50x（9x9-11x21）2=3n5>2706

K2的观测值：（a+*）（c+rf）（a+c）（6+rf）20x30x20x30所以能在

犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；（H）由于有较大的把握认为该学科成绩与性

别有关，因此可将男女生成绩的优分频率,-5°-M视作概率；从高二年级中任意抽取3名学生的该学科

成绩中，优分人数X服从二项分布I54p（x=k）=15/15/

£(X)=3x|=1

X的分布列为：数学期望

【解析】（I）列出2X2列联表，计算k2的值，判断即可；（II）根据优分人数X服从二项分布W3亏），

求出E（x）即可.

20、某网站对“爱飞客”飞行大会的日关注量x（万人）与日点赞量y（万次）进行了统计对比，得到表格

如下：

由散点图象知，可以用回归直线方程y=bx+a来近似刻画它们之间的关系.（|）求出y关于X

的回归直线方程，并预测日关注量为10万人时的日点赞量；（II）一个三口之家参加“爰飞客”亲子游戏,

游戏规定：三人依次从装有3个白球和2个红球的箱子中不放回地各摸出一个球，大人摸出每个红球得奖

金10元，小孩摸出1个红球得奖金50元.求该三口之家所得奖金总额不低于50元的概率.参考公式：

b=£：=/七；参考数据：'=1舄=200,2=10％=112.

【考点】

【答案】解：（I）由工=6,^=3.4,得：石=0.5,6=0.4,

二回归直线方程为y=0.5x+0.4,

当x=10时，9=54,

即日关注量为10万人时的日点赞量5.4万次.

（II）设奖金总额为4,

(CC)YY1

则尸…二,

(GV)£用

尸值=60)=Ef1

5

2

•••奖金总额不低于50元的概率为5

AA

【解析】(I)结合所给的数据求出b和0的值，求出回归方程即可；(II)分别求出P(&=50)和P(&=60)

的概率，从而求出满足条件的答案即可.