沪科版七年级数学下册全册教案（2024年春季版）

沪科版七年级数学下册

全册教案设计

圻;H雅

第6章实数

6.1平方根、立方根

L平方根

二-J敦与目标

1.掌握平方根、算术平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系

和区别；

2.能用符号表示一个数的平方根和算术平方根，理解开平方运算和平方运

算之间的互逆关系.会求一个非负数的平方根和算术平方根.

3.理解并运用a的双重非负性.

4.通过观察、理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系，掌握求一个非

负数的平方根和算术平方根的方法，培养学生的观察、演绎能力.

5.有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养学生的观察、归纳

能力，通过合作学习体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

能用符号正确表示一个数的平方根和算术平方根，理解开平方运算和平方

运算之间的互逆关系，会求一个非负数的平方根和算术平方根.

【教学难点】

理解并运用a的双重非负数.

,勒教与过睚

一、情境导入，初步认识

问题装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖4块正好铺

如图（单位：m）,问这种地砖的一块的边长是多少?

【教学说明】

教师提出问题后，让学生独立思考，然后让学生相互交流.学生很容易设出

未知数，列出方程，感受平方根，算术平方根是实际的需要，激发学生探求新

知识的欲望.

二、思考探究，获取新知

1.平方根的定义.

问：己知一个数的平方，怎样求这个数呢？

【教学说明】教师提出问题，同学生一起分析，引出平方根的定义.

【归纳结论】一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平

方根，也叫做二次方根.

2.平方根的性质.

问：（1）16的平方根是什么？

（2）0的平方根是什么？

（3）-9有没有平方根？

【教学说明】教师提出问题，学生独立完成再和同伴进行交流，归纳平方

根的性质.

【归纳结论】一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根

是0,负数没有平方根.

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记为其中d叫做被开方

数,另一个负的平方根记为一6,0的算术平方根是0.

求一个数的平方根的运算叫做开平方.开方是平方的逆运算.根据这种关

系，可以求出一些数的平方根.

三、典例精析，掌握新知

例1判断下列各数是否有平方根，为什么？

250.0169;-64.

4

【解】:正数和零有平方根，负数没有平方根.，25,1,0.0169有平方

根；-64没有平方根.

例2求下列各数的平方根和算术平方根.

(1)1;(2)81;⑶64;⑷(TV.

【解】(1)・.・(±1)2二1,・・・1的平方根是±1,即土&二±1;1的算术平方根

是L

⑵・・,(±9)2=81.・・・81的平方根是±9,即土庖=±9;81的算术平方根是

9.

(3)・・・(±8)2=64,・・・64的平方根是±8,即土相二±8;64的算术平方根

是8.

(4)・・・(-3)2=9,9的平方根是±3,.・.(-3)2的平方根是±3,即土历了二

±3;(-3)2的算术平方根是3.

【教学说明】让学生自主完成，掌握求一个数的平方根却算术平方根的方

法.

【归纳结论】对于一些平方数，我们可以根据开平方与平方的互逆关系，

求出这些数的平方根和算术平方根.

例3利用计算器求下列各式的值(精确到0.01)：

(1)V2;(2)V1830;(3)-70876;(4)

【解】⑴④』.41

(2)-830a42.78

(3)-70.876^=-0.94

(4)J-0.85

例4跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作，如

果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要

的时间£与下落的高度力之间应遵循下面的公式：之其中方的单位是如

2的单位是s,炉9.8m/s?.假设跳板的高度是3m,运动员在跳板上起跳至高出跳

板1.2m处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间？

【解】设运动员下落至法面约需加，根据题意，W3+1.2=ix9.8f

r=2瑟2=08571

f=0.93

・••运动员下落到水面约需0.93s.

【教学说明】让学生自主探究、相互交流，掌握计算器的使用方法，并能

借助计算器求一些数的平方根，对于例4这样的实际问题，可设未知数列出方

程，而解这样的方程，可看作是求a的平方根.

【归纳结论】对于一些非平方数，可以利用计算器求出它们的平方根.

四、运用新知，深化理解

L填空：

(1)一个正数有两个平方根，而且这两个平方根；

(2)有且只有一个平方根，它的平方根就是；

(3)数没有平方根.

2.判断是非.

(1)4是16的算术平方根.()

(2)：2是24的一个平方根.()

39

(3)(-5产的平方根是-5.()

(4)0的算术平方根是0.()

3.下列的各式是否有意义，说明理由：

(1)-8;(2)口;(3)[-3『；(4).

4.求下列各数的平方根，算术平方根，并用式子表示.

(1)49；(2)25.

5.用计算器求下列各式的值(精确到0.01)：

(1)V127；(2)V67635；(3)

6.一个正数x的两个平方根分别是2a与-a+2,求n和x.

7.若I2014-印+4-2015=0.求a-b的值.

【教学说明】学生自主探究，教师巡视，及时给予指导.

【答案】

1.(1)互为相反数(2)00(3)负

2.(1)”2)V(3)X(4)V

3.(1)(3)(4)有意义(2)无意义，理由略

4.(1)土=±/7,\/49=7；(2)±\/25=±5,V55-=5.

5.(1)427-11.27(2)<635-0.80

(3)£-0.07(4)-联-0.58

vl79v3

6.由2廿1-5+2=0得a=-l,当a=-i时，A=(2^-1)2=(-3)2=9.

7.由201—,62015=0得斫2014,ZF2015,Aa-Z>=2014-2015=-1.

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.

【教学说明】学生相互交流，回顾知识点，反思问题，共同提高.

产课后作业

完成练习册中本课时练习.

,勒敦与反思

从实际问题引出平方根和算术平方根，学生积极主动探索，教师引导与启

发，激发学生学习兴趣.

2.立方根

教与目标

1.理解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根.

2.知道开立方与立方互为逆运算，会求某些数的立方根，理解并掌握立方

根的性质.

3.能利用计算器求立方根.

4.通过观察、理解开立方运算和立方运算的互逆关系，掌握求一个数的立

方根的方法，培养学生的演绎、归纳能力.

5.在数学活动中激发学生自己探索的兴趣，通过合作交流，让学生体验成

功的喜悦.

【教学重点】

会求一个数的立方根，掌握立方根的性质.

【教学难点】

理解开立方与立方的互逆关系.

产敦与国睚

一、情境导入，初步认识

问题要做一个容积是64dm3的正方形木箱，如图，问它的棱长是多少？

【教学说明】教师提出问题，让学生独立思考，然后相互交流，学生很容

易设出未知数、列出方程、感受立方根是实际的需要，激发学生探求新知识的

欲望.

二、思考探究，获取新知

1.立方根的定义

问：己知一个数的立方怎样求这个数呢？

【教学说明】教师提出问题，引导学生一起分析引出立方根的定义.

【归纳结论】一般地，如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立

方根，也叫做三次方根.

9的立方根记作指，读作“三次根号a"，其中a叫做被开方数，3叫做根

指数.

求一个数的立方根的运算叫做开立方.

2.立方根的求法

问：在上面的问题中，64的立方根是多少呢？

【教学说明】教师提出问题，学生很容易联想到平方根的求法，从而找到

立方根的求法.

【归纳结论】开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可求出一些数的

立方根.

三、典例精析，掌握新知

例1求下列各数的立方根：

(1)27;(2)-64;(3)0.

【解】(1)因为3工27,所以27的立方根是3.即场=3.

(2)因为(-4)J-64,所以宁的立方根是-4.即次口=-4.

(3)因为0W),所以0的立方根是0,即W:0.

例2用计算器求下列各数的立方根(精确到0.01):

137

(1)2；(2)7.797；(3)-17.456；(4)—.

398

【解】(1)凌=1.26

(2)VT797-1.98

(3)Y-17.456--2.59

(4)3爵。.7。

【教学说明】让学生独立完成，掌握求一个数的立方根的方法，相互交

流，归纳出立方根的性质.

【归纳结论】正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的

立方根是0.

例3若五二4,求x的平方根.

【解】•:底=4.

尸64.

・・・x的平方根是±8.

例4若J2x+y+1/-91=0.求3^+67的立方根.

【解】由题意得2户尸0,1-9=0.・•.尸±3.

当产3时，2乂3+产0,・・.下一6.

3/6产3X3+6X(-6)=-27,它的立方根是-3.

当年-3时，2X(-3)+产0,・・・尸6.

3户6尸3X(-3)+6X6=27.它的立方根是3.

・•・3卢6y的立方根为3或-3.

【教学说明】学生独立自主探究，相互交流，提高对知识的综合运用能力.

四、运用新知，深化理解

1.判断是非：

(1)3是-27的立方根.()

(2)64的立方根是±4.()

(3)0是0的立方根.()

2.填空：

a182764

5678910

3.求下列各数的立方根：

(1)1;(2)-1;(3)8;(4)-8.

4.用计算器计算(精确到0.1)：

(1)W;(2)^345;(3)^二17.6；(4)焉

5.如果49=25,(户1尸=1/8,求尸y的值.

6.用计算器探索规律：

(1)V133f=

(2)71331000=

(3)71331000000=

(4)VE33f=

(5)Vo.001331=

你能发现其中的小数点的移动的规律吗？

【教学说明】学生自主完成，教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及

时予以指正，加深学生对所学知识的理解和运用.

【答案】1.(1)X(2)X(3)J

2.1,2,3,4,125,216,343,512,729,1000

3.(1)3JT=1(2)仁T=-1(3)海=2

(4)V^8=-2

4.(1)W-3.0(2)W345=0.7

⑷小。・3

(3)V-17.6^-2.6

5.由题意得％=土卷x-y=3

或-2.

6.(1)11(2)110(3)1100(4)1.1(5)0.11

规律：被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位.所得正方根的小数点

就相应地向左(或向右)移动一位.

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.

【教学说明】学生相互交流，回顾立方根的定义和求根方法，以及立方根

的性质等知识点，加深对所学知识的理解.

课后作业

完成练习册中本课时练习.

，-'敦与反思

以实际问题引出立方根，学生积极主动探索、教师引导启发，让学生在交

流中体会成功的喜悦.

6.2实数

第1课时实数的概念及分类

y敦与目标

1.了解无理数和实数的概念.

2.会对实数进行分类.

3.会用“夹逼法”估计一个无理数的大小，会将循环小数化为分数.

4.从实际问题引出无理数，会用“夹逼法”估计无理数的大小，能用两种

方法对实数进行分类，增强学生的参与意识，发挥学生的积极主动性.

5.让学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己

的观点，增强合作交流意识，激发学生的学习兴趣.

【教学重点】

掌握无理数的三种形式，能够识别有理数和无理数，能对实数进行分类.

【教学难点】

循环小数化为分数的规律与方法.

受都与耳睚

一、情境导入，初步认识

问题如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距，列距

都是1,从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中

4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.你能找出多少种面积互

不相同的格点正方形？

（1）有面积分别是1，4,9的格点是正方形吗？

（2）有面积是2的格点正方形吗？把它画出来.

（3）还有与这些面积不相同的格点正方形吗？

【教学说明】教师提出问题，学生自主探究然后相互交流，第（1）问学生

很容易得到答案，第（2）问教师可适当加入引导启发.

二、思考探究，获取新知

1.问：我们看到四个边长为1的相邻止方形的对角线就围成一个面积为2

的格点正方形这种正方形的边长应是多少？

【教学说明】学生自然联想到平方根这一节所学知识，很容易得出这种正

方形的边长为友.

探究正是一个怎样的数呢？

因为22=4>2.

所以k近<2,这说明2不可能是整数.

因为1.42=1.96<2,1.52=2.25>2.

所以1.4〈也〈1.5.

类似地，可得L414<&<1.415.

像上面这样一直做下法，可以得到：

O=1.41412135…这说明也是一个无限不循环小数.

【归纳结论】无限不循环小数叫做无理数.

任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数，反过来，任何有限

小数和无限循环小数都可以写成分数形式，因此有理数是有限小数或无限循环

小数；而无理数是无限不循环小数.

2.实数的分类.

问：有理数和无理数统称为实数，这样，我们认识的数的范围又一次扩大

了，我们该怎样对实数进行分类呢？

【教学说明】教师提出问题，学生思考尝试，然后相互交流，掌握实数的

两种分类方法.

【归纳结论】我们可以将实数按如下方式分类：

'有［正有理数、

II零有限小数或无限循环小数

实数数I负有理数,

有理数、无理数都有正、负之分，实数也可以作如下分类:

'正实数

实数，零

、负实数

三、典例精析，掌握新知

例1把下列各数填入相应的集合里：-《，

-瓦亨闻。-4^.3.1010010001-

（相邻两个1之间0的个数逐渐加1）,-4.21.

有理数集合{}

无理数集合{}

【解】有理数集合

{-y,演,0,一手,-4.21}

无理数集合

]■瓦¥季3・101。。1。0。1・・・}

例2把下列各循环小数化为分数：

0.3,0.21,0.23,0.2137

【解】0.3=1=1,0.21=1

0.23==焉0.2137=21..21

9090'9900

2116

=9900'

【教学说明】教师给出例题后，让学生独立完成，然后让部分学生上台展

示自己的答案，加深对所学新知识的理解.

四、运用新知，深化理解

1.把下列各数分类填入图中:

0,1,3,-1,-2,-y,y,0.4,-0.25,3.14,

71,8；2府，一40,Xy.

实数

有理数无理数

2.把下列各数写成分数形式：

1.5,-5,0.7,0.213,0.3126,0.7213.

3.判断是非：

（1）无限小数都是无理数.（）

（2）无限不循环小数是无理数.（）

（3）无理数是带根号的数.（）

（4）分数是无理数.（）

4.下列各组数都是无理数的是（）

A］与71B.-凌和回

C.瓜与-D.2与0.1010010001…

【教学说明】教师展示习题，学生独立完成，教师巡视，对学生的疑惑及

时给予指导.

【答案】1.有理数

j,0.4,-0.25,3.14,后;招

无理数E,8,瓦-瓯号

3-57

2.1.5=y-5-p0.7=y0.213

Av

211_3095

0.3126=

9909900*213嗡

3.(1)X(2)V⑶x(4)x

4.C

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.

【教学说明】学生相互交流，回顾无理数、实数的概念以及实数的分类,

加深对所学知识的理解.

“京谢后作业

完成练习册中本课时练习.

/教与反思

从实际问题中引出无理数，进而引出实数并对实数进行分类，学生积极主

动探索，教师引导启发，学生合作交流，培养学生继续探索的兴趣.

第2课时实数的运算与大小比较

守教学目标

i.知道实数与数轴上的点一一对应.

2.会求一个实数的相反数、绝对值、倒数，会进行实数的运算.

3.会比较实数的大小.

4.类比有理数的运算法则和运算律，以及有理数大小的比较方法，会进行

实数的运算，会比较实数的大小，提高学生的运算能力.

5.发挥学生主观能动性，还课堂于学生，引导学生自主探索，合作交流,

便于学生获得成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

会求一个实数的相反数、绝对值、倒数，会进行实数的运算，会比较实数

的大小.

【教学难点】

实数大小的比较.

“承教与目睚

一、情境导入，初步认识

问题每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，无理数（如近）能用数

轴上的点表示吗？

【教学说明】教师展示问题后，让学生自主探索，相互交流，发表自己的

见解，初步感受实数与数轴上点的对应关系.

二、思考探究，获取新知

1.实数与数轴上的点的市应关系.

问：如图，以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，这个

正方形对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作力，那么，点力表示什

线长为五，从而知道点小点"分别表示什么数，理解实数与数轴上的点的

对应关系.

【归纳结论】一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一

个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数，所以，把

数从有理数扩大到实数以后，实数和数轴上的点一一对应，即任何一个实数都

可以用数轴上的一点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.

2.实数的相反数、倒数、绝对值的求法.

问：夜的相反数是什么？倒数呢？绝对值呢？

【教学说明】教师提出问题，学生分析、思考、相互交流、得出结论.

【归纳结论】在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与在有理数范

围内完全一样.

友与互为相反数，有正+(-夜)=0.

正与1/也互为倒数，有血X"后二1.

任一个实数a的绝对值仍然用I石/表示，如I3|=3,|-3|=3.

三、典例精析，掌握新知

例1近似计算：

(1)8+F(精确到o.oi)；

(2)J5x7(精确到0.1).

【解】(1)8+斤=1.732+3.142=4.874

*4.87；

(2)J5x7=2.24x2.65=5.936=5.9.

例2计算：

(1)4+(/一@+11—。1；

⑵?区+(一1—+3-11一团.

【解】(1)原式=2+)——+2-1=六;

44

(2)原式=2-1+3-B+1=2.

【教学说明】教师给出例题，让学生独立完成，然后让部分学生上台展示

自己的答案.掌握实数的运算方法.

【归纳结论】实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除，乘方运算，

正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理

数的运算法则和运算律对于实数仍然适用.

例3在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“〈”连接它

们.

-1,优,-2,-2"-2团,5.

【解】

短7T-2^|

—I-----i-----1----1—•_।-----------1---4-^

-3-2-1012345

由数轴上各点的位置，得

一2〈一泛<一1<2<I-2泛I<5.

【教学说明】教师给出例题后，学生自己动手操作，然后相互交流，体会

数形结合的思想.

【归纳结论】两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右边的点所

表示的数总是大于左边的点所表示的数.在实数范围内有：

正数大于零，负数小于零，正数大于负数.

两个正数，绝对值大的数较大.

两个负数，绝对值大的数反而小.

四、运用新知，深化理解

1.近似计算(精确到0.01)：

(I)7+5；(2)，6-28

4

2.比较下列各组数据中两个数的大小：

(1)-5,-6⑵府,回⑶2^1停.

3.在\/12,\/13,麻和万中，介于3和4

之间的无理数有.

4.规定一种新运算:。※台=IQ-6I,其中a、b为

实数，求(7※3)+7的值.

5.已知a为717的整数部分,6为■的小数部

分求的值.

【教学说明】教师给出习题，学生独立完成，教师巡视，对有疑惑的学生

给予指导.

【答案】1.⑴斤+5=2.846+2.236=

5.082-5.08.

(2)5x6—2x2.449—2x1.732

44

-0.612-3.464=-2.852--2.85.

2.⑴--后(2)府〉8；

⑶

22

3.V12,\/13

4.(7※3)+7=1疗—31+7=3-疗+

=3-JT+J7~=3.

5.V4<717<5,/.a=4,6=\/17-4.

/.a-6=4-(V17-4)=8-\/17.

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑惑？请与同伴交流.

【教学说明】学生相互交流，回顾实数与数轴上的点的对应关系，实数的

运算和大小的比较等知识，加深对所学知识的理解.

产课后作业

完成练习册中本课时练习.

敦与反思

创设情境，给出实例，由学生动手操作，积极参与.通过思考、讨论、分析

的过程，培养学生爱学习、爱动脑的习惯，提高学生分析问题、解决问题的能

力.

章末复习

“宣教学目标

1.进一步加深对平方根、立方根、无理数、实数概念的理解，会求平方

根、立方根，会比较实数的大小，能运用实数的运算解决具体问题.

2.通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想，转化思

想，类比思想，加深对本章知识的理解和应用.

3.在运用实数的有关知识解决具体问题的过程中，进一步体会数学与生活

的密切联系，增强学生的数学应用意识，激发学生学习兴趣.

【教学重点】

实数的运算及大小比较.

【教学难点】

运用实数的有关知识解决具体问题.

二敦与过睚

一、知识框图，整体把握

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，便于学

生能系统地了解本章知识及它们之间的关系，教学时，边回顾边建立结构框图.

二、释疑解惑，加深理解

1.平方根、算术平方根、立方根

如果一个数的平方等于4那么这个数叫做a的平方根；a的正数平方根,

叫做a的算术平方根；如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根.

2.无理数、实数

无限不循环小数叫做无理数，无理数和有理数统称为实数，实数与数轴上

的点一一对应.

3.实数的性质

在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一

样，实数H的相反数是-8倒数是l/a(aWO),绝对值是la|.

4.实数的分类

，正有理数

有理数‘正实数

实数I负有理数

或实数＜0

j正无理数、负实数

无理数

1负无理数

5.实数的大小比较

在实数范围内也有：正数大于零、负数小于零、正数大于负数；两个正

数、绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小.

三、典例精析，复习新知

例1把下列各数填在相应的括号里：0,

瓦-舟,,-3-2,瓦0.47,I

V274

0.616616661•••(每两个1之间依次多一个6).

有理数集合{}

无理数集合{}

【分析】对实数进行分类，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后

结果进行回答，不能只看表面形式.

【解】有理数集合{o,-9亚石i-2,

0.47)

无理数集合]乐-2,616616661

4

…}

例2己知|歹1|+>/7工1:0,则护左（）

A.-8

B.-6

C.6

D.8

(a-l=0

【分析】由绝对值和算术平方根的非负性可得：

7+)=0'•'］力=-7’

Aa+ZF-6故选B.

例3计算：

(1)-23xfyY+1-21+3；

（2）小+卷+J,-亘）-

【分析】按实数的运算法则，运算性质和运算顺序进行计算.

【解］(1)IMJT--8X—+(-4)-r2+>/3=~2-2+>/3=-4+\/3；

4

713

（2）原式=0.5—-+--0.5=—-.

442

例4己知a、。互为倒数，c、"互为相反数，加为2的算术平方根，求

y[ab4-Jc+d—m.

【分析】由外。互为倒数可得3左1,则c、d互为相反数可得小六0,由

加为2的算术平方根可得炉也.

【解】由题意得：ab=l,>d=0,亚.

，原式二次+#-正二1-及.

【教学说明】教师可适当进行评讲，强调应用各知识需要注意的问题，培

养学生综合运用所学知识的能力，对于例题可适当增减.

四、复习训练，巩固提高

1.已知实数x、y满足J7=1+(户4工=0,则尸y等于()

A.3

B.-3

C.1

D.-1

2.把下列各数填入相应的集合里：-!」瓦与，

3.14,-W,0,-5.12345•••,\O5,-y,

-5.27.

有理数集合{}

无理数集合{}

正实数集合{}

负实数集合{}

3.已知百21.732,而=5.477,求值：

(1)7300^

⑵屈七

(3)7^03=^

(4)J3000Q

4.比较大小.

⑴师与0.1

⑵在zl与正

22

5.已知2f1的平方根是±3,3AZH的算术平方根是4,求>10。的平方

6.已知病的整数部分为a,2+6的小数部分为。，求广6的值.

【教学说明】通过这几个习题的训练，加深对本章知识的理解，进一步提

高学生综合运用所学知识的能力，学生自主探究，教师对有疑惑的学生进行适

当的点拨.

【答案】1.A

2.有理数集合｛-!，3.14,-W,0,

\?6725,-5.27}

无理数集合｛涌三-5.12345---,

正实数集合瓦3.14,<25)

负实数集合］——\/27,-512345,,,,

2a-1=9a=5

5.由题意得16解得

3a+6-16=2

a+106=25.

・・・a+106的平方根为±5.

6.・.・3<W<4,4<2+R<5

a=3,6=2+后一4=j6-2.

a+6=3+]6—2=K+l.

五、师生互动，课堂小结

1.通过这节课的学习，你对本章知识有哪些新的认识？有何体会？请与同

伴交流.

2.通过本章知识的学习，你掌握了哪些数学思想方法？说说看.

【教学说明】学生回顾本章知识，积极与同伴交流，积累解题方法和经验.

产课后作业

完成练习册中本课时练习.

敦与反思

通过知识框图的呈现，让学生更好地回顾本章的知识点，进行知识梳理，

通过例题的讲解与复习训练，进一步提高学生解决问题的能力.

第7章一元一次不等式与不等式组

7.1不等式及其基本性质

产教学目标

1.理解不等式的概念，能够识别不等式，会列不等式.

2.掌握不等式的基本性质，能灵活运用不等式的基本性质进行不等式的变形.

3.了解不等式的概念，掌握不等式的基本性质，培养学生的观察、演绎能力，

提高学生的归纳概括能力.

4.有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养学生的观察、归纳能

力，通过学习，体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

不等式的基本性质.

【教学难点】

正确应用不等式的基本性质进行不等式变形.

酸敦与过睚

一、情境导入，初步认识

在前面的学习中，我们已经知道两个数或同类的数比较，有相等关系，也有

不等关系，怎样用不等号来表示数量之间的不等关系呢？

问题用适当的式子表示下列关系：

(1)2x与3的和不大于-6；

(2)Y的5倍与1的差小于”的3倍；

(3)a与。的差是负数；

【教学说明】教师给出问题后，让学生自主探究然后相互交流，学生很容易

列出式子，初步感受用不等号来表示数量之间的不等关系，激发学生继续探究的

兴趣.

二、思考探究，获取新知

1.不等式.

问题(1)雷电的温度大约是28000C,比太阳表面温度的4.5倍还要高，设

太阳表面温度为那么£应满足的关系式是.

(2)一种药品每片为0.25g,说明书上写着：“每日用量0.75〜0.25g,分

3次服用”.设某人一次服用x片，那么x应满足的关系式是.

【教学说明】教师给出问题，引得学生进行分析，进一步感受用不等号来表

示数量之间的不等关系，进而引出不等式的定义.

【归纳结论】用不等式(＞、2、V、W或W)表示不等关系的式子叫做不

等式.

2.不等式的性质.

观察教材第24页图73,图中一台天平两端的托盘中分别放置了质量为

当〃的物体，图中天平倾斜，这直观地说明

这时，如果在两端托盘中同时加上质量为。的物体，天平的倾斜方向会改变

吗？这反映的数量关系是什么呢？

思考：对于倾斜的天平，如果两边祛码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩

小为原来的几分之一，那么天平的倾斜方向会改变吗？

探究(1)：如果那么它们的相反数-a与哪个大，你能用数轴上点

的位置关系和具体的例子加以说明吗？

(2)如果3＞白。＞0,那么四与A有怎样的大小关系？

【教学说明】学生通过观察、思考、分析、与同伴进行交流，归纳不等式的

基本性质.

观察(2)：如图，设数轴上的三个点4、B、C分别表示三个实数&b,c,从

中你能发现不等式的什么性质？

______C、q4

-*O7)a-

【教学说明】学生通过观察、思考能够直观地得出a、4c的大小关系，归

纳不等式的基本性质.

【归纳结论】不等式有如下的基本性质：

性质1不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方

向不变，即

如果a>b,那么a^c>b-c,a-c>b-c.

性质2不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即

如果a>bc>0,那么bc—>—.

ytcc

性质3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即

如果a>b,c<0,那么ac<be,

cc

性质4如果a>b,那么b<a.

性质5如果a>b,b>c,那么a>c.

三、典例精析，掌握新知

例1在下列的不等式的变形后面填上依据：

(1)如果5-3>-3,那么a>0.

(2)如果3aV6.那么a<2.

(3)如果一a>4,为B么日<一4.

(4)如果d>b">0,那么a>0.

【解】(1)不等式的性质1

(2)不等式的性质2

(3)不等式的性质3

(4)不等式的性质5

例2运用不等式的性质，将下列不等式化成“x>a”或“xVa”的形式：

(l)jx>3(2)3-2>5(3)7X<5XH-1

(4)4"1(513

【分析】运用不等式的性质，对不等式进行适当的变形.

【解】d)X>y(2)X>1(3)X<y

(4)x>4

【教学说明】让学生自主探究、相互交流，进一步掌握不等式的基本性质，

并能运用不等式的基本性质进行适当的变形.

四、运用新知，深化理解

1.如果aVA,用不等号连接下列各式的两边：

(1)4a46;

(2)a-10b-10;

(3)-a-b\

33

(4)

22

2.若勿>〃，判断下列不等式是否正确：

(1)m-7<n-7.()

(2)3/V3〃.()

(3)-5zz?>-5/?.()

(4)—()

99

3.如果aV0">0,用不等号连接下列各式的两边.

(1)-______工;(2)儿__________by；

a"

(3)2xx+九(4)abxaby.

4.如图，若天平右盘中每个祛码的质量都是1g,则图中药品力的质量在什

么范围内？

/----------\?----------\

图(1)图(2)

5.运用不等式的性质，将下列不等式化成“x>d”或“XV/的形式：

(1)3A>-2(2)5—3x>2(3)9^-l>10x

(4)-5x+6V2x+l

【教学说明】学生自主完成，教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时

予以指正，加深学生对所学知识的理解和运用.

【答案】1.(1)<(2)<(3)<(4)>2.(1)X(2)X(3)X(4)

J3.(1)W(2)2(3)2(4)W

4.由图(1)得药品力的质量小于3g.由图(2)得药品力的质量大于2g,故

药品A的质量大于2g且小于3g.

5.(l)s>-y(2)S<1(3)s<

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流。

【教学说明】学生相互交流，回顾不等式的定义及不等式的基本性质，加深

对所学知识的印象.

,‘课后作业

完成练习册中本课时练习.

产敦与反思

从用不等号来表示数量的不等关系引出不等式，并探索不等式的基本性质，

让学生在交流中体会成功的喜悦，激发学生学数学的兴趣.

7.2一元一次不等式

第1课时解一元一次不等式

电敦与目标

1.理解一元一次不等式，不等式的解和解集的概念.

2.掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出一元一次不等式的解集.

3.经历从实际问题中得到一元一次不等式，并探索一元一次不等式的解法，

进一步体会数形结合这一重要数学思想的方法.

4.让学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己的

观点，增强合作交流意识，激发学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

熟练并准确地解一元一次不等式.

【教学难点】

正确并熟练地运用不等式的基本性质3.

,­'敦与过睚

一、情境导入，初步认识

问题某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加1.8万

元.如果该公司原来的年利润为200万元，要使年利润超过245万元，那么增加

的科研经费应高于多少万元？

【教学说明】教师提出问题，学生自主探究，然后相互交流，对于有困难的

同学，教师可适当给予点拨.

一、思考探究，获取新知

1.一元一次不等式的概念.

问：如果设该公司增加科研经费x万元，能列出怎样的不等式呢？这个不等

式会有几个未知数？未知数的次数是儿呢？

【教学说明】学生列出不等式后，观察并相互交流，感受一元一次不等式的

特征.

【归纳结论】含有一个未知数，未知数的次数是1,且不等号两边都是整式

的不等式叫做一元一次不等式.

2.一元一次不等式的解与解集以及解一元一次不等式.

思考：（1）判断下列给出的数中哪些能使不等式200+1.8M>245成立：

30.5,24.5,25.5,22,10.

（2）你还能找出使上述不等式成立的其他数吗？能找多少个？

【教学说明】学生自然联想到一元一次方程，容易想到可用代入检验的方法

判断哪些数使不等式成立，哪些使不等式不成立，从而得出一元一次不等式的解

（解集）与一元一次方程的解的区别.

【归纳结论】一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的

解，所有这些解的集合称为这个不等式的解集.一元一次方程的解只有一个，一

元一次不等式的解有无数个，求不等式解集的过程叫做解不等式.

三、典例精析，掌握新知

例1解不等式：2x+5W7(2-幻，

【解】去括号，得2/5414-7%

移项，得2户7xW14-5.

合并同类项，得9xW9.

x系数化成1,得xWL

不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，如xWL可用数轴上表示1的

点以及左边所有点来表示

例2解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：

士一心

32

【解】去分母，得2(4+x)-6<3x

去括号，得8+2尸6V3x.

移项，合并同类项，得rV-2.

x系数化成1,得x>2.在数轴上表示不等式的解集为：

III/,II

-101234.

交流：一元一次方程的解法与一元一次不等式的解法有哪些相同点和不同点？

为什么解法会有不同？

【教学说明】学生自主探究，然后相互交流，讨论一元一次不等式与一元一

次方程解法的异同.

【归纳结论】解一元一次不等式与解一元一次方程的方法与步骤是一样的，

也有(1)去分母；(2)去括号；(3)移项，合并同类项；(4)系数化为1等几

个步骤，不同之处在于解不等式时，不等式两边同乘以或除以一个负数时，不等

号要改变方向.

四、运用新知，深化理解

1.解下列不等式：

(1)x+5>2；(2)2xV-2；(3)15-7x>3x+5；(4)4片7>2x+5.

2.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来.

八、3"7<小2x+l4-3

(1)—>^1；(2)—>—

3.设，•表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那

公A,■,•这三种物体的质量从大到小的顺序排列应为()

A.■,■,▲笈■,▲,■

C.▲,■,■〃▲,■,■

4.当x为何值时，1-土匚的值不小于地土D的值？

48

5.求不等式3户1625田8的非负整数解.

y-2x=m

{2%+3%=m+1的解人y满足2户y20,求加的取值范围.

【教学说明】教师给出习题，学生自主完成，教师巡视，对有困难的同学给

予指正.

【答案】1.(1)x>-3(2)xV-1(3)xVl(4)x>6

2.(1)去分母得3户7>5尸5.

移项，合并得-2x>-12.

系数化为1得xV6.

不等式的解集在数轴上表示为：

06

(2)去分母得2A+1V-5(尸3),

去括号得2户1<-5户15,

移项，合并得7xV14,

系数化为：x<2.

不等式的解集在数轴上表示为：

02

3.D

4.由题意得1-三1》岩山，

解得：”

5.移项,合并得-2.N-8,

系数化为1得常W4,

・・・此不等式的非负整数解为01,2,3,4.

-m+1

xs—7—

6.解方程组得《..又2"y30.

5mv+=2-------

r7

―2m+234H—4

7+N0.解得mN-丁.

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑惑？请与同伴交流.

【教学说明】学生相互交流，回顾一元一次不等式的概念及解法，加深所学

知识的理解.

,‘课后作业

完成练习册中本课时练习.

产敦与反思

从实际问题中引出一元一次不等式，进而探索一元一次不等式的解法，学生

积极主动，从合作交流中获得成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.

第2课时一元一次不等式的应用

敦与目标

1.能从简单的实际问题出发，导出不等关系，从而列不等式并解出答案.

2.了解数学与实际的紧密联系，提高运用数学的意识.

3.通过实际问题，体会不等式的建模思想，感受列不等式解实际问题的一般

思想和步骤.

4.在运用不等式的有关知识解决实际问题的过程中，进一步体会数学与生活

的密切联系，增强学生的数学应用