数学课堂探究：用平面向量坐标表示向量共线条件

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一平面向量共线问题利用平面向量坐标表示向量共线,可以将几何证明问题转化为代数运算．【例1】已知A,B,C三点坐标分别为（－1，0），（3，－1)，（1，2），＝，＝，求证∥．证明：设E，F两点的坐标分别为（x1,y1)，(x2,y2)，由题意知：＝(2，2),＝（－2,3）,＝(4,－1），所以＝＝，＝＝，所以(x1，y1)－（－1，0）＝，(x2，y2)－(3，－1)＝，所以（x1，y1）＝，(x2，y2）＝，所以＝（x2,y2）－（x1，y1）＝－＝．因为4×－(－1）×＝0,所以∥．探究二三点共线问题及其应用利用向量证明三点共线的思路：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ,使得两个向量共线．由于两个向量还过同一点，所以两个向量所在的直线必重合，即三点共线．若A，B，C三点共线,则由这三个点组成的任意两个向量共线．【例2】如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值,使A，B，C三点共线．分析：解答本题可直接利用向量共线的条件来求解，也可根据单位向量i，j，利用向量的直角坐标进行运算．解:方法一：因为A，B，C三点共线，即，共线，所以存在实数λ,使得＝λ,即i－2j＝λ（i＋mj）．于是所以m＝－2．故当m＝－2时，A，B,C三点共线．方法二:依题意,知i＝（1，0）,j＝（0,1）,则＝（1,0)－2（0,1）＝(1,－2),＝（1,0)＋m(0,1)＝（1，m)．而，共线，所以1×m－1×（－2)＝0．所以m＝－2．故当m＝－2时,A，B，C三点共线．【例3】已知三点A（0,8）,B(－4，0),C（5,－3），点D在线段AB上，且满足＝．点E在BC上，若△BDE的面积是△ABC面积的一半，求点E的坐标．解:如图,因为=,所以=．过点D作⊥BC于点，过点A作⊥BC于点,则∥，且=．于是S△BDE∶S△ABC===．所以=．从而得=2，即=2．因为B(—4，0)，C（5，-3），设E(x，y），则（x+4，y)=2（5—x，—3—y)，解得所以E点坐标为（2，—2)．【例4】如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明:(1)DE∥BC；（2）D,M，B三点共线．分析：利用向量法证明几何问题,首先是建立适当的直角坐标系，将图中点的坐标转化为向量坐标．证明：以E为原点,AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2．因为CE⊥AB，而AD＝DC，所以四边形AECD为正方形．所以可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1，0)，C(0，1）,D(－1,1），A(－1,0）．（1)因为＝(－1，1）－（0,0）＝（－1,1），＝(0，1）－(1,0)＝（－1，1),所以＝,所以∥,即DE∥BC．(2）因为M为EC的中点,所以M，所以＝（－1,1)－＝,＝（1，0)－＝．所以＝－，所以∥．又MD与MB共点于M，所以D,M，B三点共线．点评在建立直角坐标系时，要尽可能使更多的点落在坐标轴上,尽可能使更多的线与x轴、y轴平行．探究五易错辨析易错点：因未分析共线时有同向和反向而致误【例5】设点A(－1，2)，B（n－1,3），C(－2，n＋1），D(2，2n＋1)，若向量与共线且同向,则n的值为（)A．2B．－2C．±2D．1错解：因为＝(n,1）,＝(4，n），所以由∥得n2－4＝0，即n＝±2．故选C．错因分析：非零向量共线时有同向和反向两种情况，没有进行检验．正解：由已知条件得＝（n,1),＝（4，n），显然n≠0．由与共线得n2－4＝0,解得n＝±2．当n＝2时，