数学课堂探究：平面向量的线性运算（第3课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一向量数乘的运算向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项"“提取公因式”,“同类项"“公因式"指的是向量,实数与向量数乘，实数可看成是向量的系数．【典型例题1】计算：(1)4（a＋b）－3（a－b)－8a；(2）(5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c)；（3).思路分析：运用向量数乘的运算律求解．解：（1）原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b。（2）原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c。（3）原式＝＝＝a－b.【典型例题2】设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j,求－＋（2b－a）．解:原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋（2i－j）＝i＋j＝－i－5j.探究二共线向量定理及其应用共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据，即对于非零向量a，b，a∥b是否成立，关键是能否确定唯一的实数λ，使b＝λa.而对于三点共线问题可转化为两个向量共线问题,再依据定理进行解决：要证A，B，C三点共线，只需证＝λ(λ∈R)或＝λ（λ∈R）．【典型例题3】已知向量e1和e2不共线．（1）若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2），求证:A，B，D三点共线；（2）欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．思路分析：对于（1),欲证明A，B，D三点共线，只需证明存在实数λ，使＝λ即可．对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．解：(1）∵＝e1＋e2,＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5（e1＋e2)＝5,∴，共线,且有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线,∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2），则（k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1与e2不共线,只能有则k＝±1.探究三数乘向量运算的综合应用1．用已知向量表示未知向量是用向量解题的基本功，解题时,应注意解题的方向，尽量把未知向量往已知向量的方向进行转化．要善于利用三角形法则、平行四边形法则,以及向量线性运算的运算律．如果题目中含有平面几何的相关问题时,我们可以利用平面几何的性质进行化简．另外,直接表示较困难时，应考虑方程思想的应用．2．注意以下结论的运用:（1）以AB，AD为邻边作▱ABCD，且＝a，＝b,则对角线所对应的向量＝a＋b,＝a－b.（2)在△ABC中,若D为BC的中点，则＝（＋）．(3)在△ABC中,若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.【典型例题4】已知P是△ABC所在平面内的一点,若＝λ＋，其中λ∈R,则点P一定在（)A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上思路分析：∵＝λ＋，∴－＝λ，∴＋＝λ，∴＝λ，∴与共线．∴C，P，A三点共线,故选B.答案:B【典型例题5】已知在▱ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．若＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，。解：∵M，N分别是DC，BC的中点，∴MNBD.∵＝－＝e2－e1，∴＝2＝2e2－2e1。又∵AO是△AMN的中线,∴＝(＋)＝e2＋e1。探究四易错辨析易错点：向量的起点、终点弄不清楚，导致向量表示错误【典型例题6】已知E，F分别为四边形ABCD的边CD,BC的中点，设＝a，＝b，则＝(）A。（a＋b) B．－(a＋b）C．－（a－b） D.（a－b)错解：如图，连接BD，则＝＝（－)＝(a＋b)．故选A。错因分析：向量eq\o（DB，\s\up6(→)）用向量的差表示时，eq\o（DB，\s\up6(→）)的终点应该为被减向量的终点．正解:＝＝(－)