海南省2024-2025学年高二数学下学期学业水平诊断一试题含解析

海南省2024-2025学年高二数学下学期学业水平诊断（一）试题考生留意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，若，则实数（）A1 B. C. D.-1【答案】C【解析】【分析】因，则，据此可得答案.【详解】因为，所以，所以．故选：C2.已知在等比数列中,,,则（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】D【解析】【分析】依据已知条件求解出公比,再利用等比数列的通项公式求解即可.【详解】设等比数列的公比为,则,所以.故选：D.3.若直线与平行，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知两直线斜率存在，利用两直线平行斜率相等即可求得的值.【详解】由可知，其斜率为，又两直线平行，所以可得，解得.故选：B4.我国商用中大型无人机产业已进入发展快车道,某无人机生产公司2024年投入研发费用4亿元,安排此后每年研发费用比上一年都增加2亿元,则该公司一年的研发费用首次达到20亿元是在()A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年【答案】B【解析】【分析】依题意,该公司每年研发费用依次成等差数列,设为,利用等差数列的通项公式可以得到该公司第年的研发费用,令即可得到结果.【详解】依题意,该公司每年研发费用依次成等差数列,设为,可得,公差,则该公司第年的研发费用为,令,则,所以从2024年起先第9年,即2030年的费用首次达到20亿元.故选:B.5.已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，所以点到平面的距离.故选：A6.已知椭圆的焦距大于2，则其离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依据焦距求出的范围，然后离心率的公式可得答案.【详解】设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为．因为，所以，，则，解得，此时，所以．故选：C.7.若直线：与圆：交于A，B两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，实数（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先求出直线所过的定点，结合圆的性质可得最小时，周长最小，进而依据垂直关系可得答案.【详解】直线：的方程可化为，∴直线过定点，又∵，∴点D在圆C内．由圆的性质可知当时，最小，此时的周长最小，又，，∴，则．故选：C.8.已知，是双曲线的两个焦点，点为上一点，若，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义求出，，在中利用余弦定理得到，即可求出离心率.【详解】∵，由双曲线的定义得，∴，．设，在中，由余弦定理得，整理可得，即，即．故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】设直线的方程，分别求出直线在轴与轴上的截距，由三角形面积为2列方程求出即可得直线的方程.【详解】易知直线的斜率存在，故设直线的方程，令，得；令，得.故围成的三角形面积为,化简可得或.对于方程，，故方程无解.对于方程，可得或.故直线的方程或，即或.故选:CD.10.设数列的前项和为，已知，，则（）A. B.C.数列是等比数列 D.数列是等比数列【答案】ABD【解析】【分析】先依据条件求出递推关系，结合选项逐个验证可得答案.【详解】对于A，，所以，A正确；对于B，因为，所以，所以，所以，于是，B正确；对于C，，但不满意，故不是等比数列，C错误；对于D，因为，所以，即是首项为1，公比为4的等比数列，D正确．故选：ABD.11.如图所示，在三棱锥中，底面ABC是边长为2的正三角形，点Р在底面上的射影为棱BC的中点，且，则（）A.B.三棱锥的体积为2C.异面直线与所成角的余弦值为D.BC与平面PAB所成角的余弦值为【答案】AC【解析】【分析】选项A可以通过线面垂直来证明，选项B利用锥体体积公式可得正误，选项C,D利用空间向量来求解.【详解】对于A，如图，取BC的中点О，连接OA，OP，依据条件可知平面，所以；又，所以，因为，且两直线在平面内，所以平面，平面，所以，A正确．对于B，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以，在中可得，所以三棱锥的体积为，B错误．以О为坐标原点，OA，ОB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，．对于C，，，所以，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为，C正确．对于D，，设平面的法向量为，则令，可得，，则，则BC与平面PAB所成角的正弦值为，D错误．故选：AC.12.已知点在直线：上运动，过点作圆：的一条切线，切点为，直线PO与圆交于点B，且点，B在的两侧，则（）A.的最小值为2B.C.当为等腰三角形时，D.点到直线AB的距离小于【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项：依据圆的切线长公式和两点之间的距离公式即可求解；对于B选项：依据圆的性质得到，结合A选项和锐角三角函数即可求解；对于C选项：依据为等腰三角形，只能是，从而得到，即可求解；对于D选项：依据到圆心的距离为的弦长为，所对的圆心角为，即可求解.【详解】由题意知，圆的圆心，半径，即，如图所示：对于A选项：由题意知，当时，取得最小值，又点到的距离为，则的最小值为，所以的最小值为，故A选项正确；对于B选项：可知，又，由A选项得：，则，所以，则，故B选项错误；对于C选项：要使为等腰三角形，只能是，则，又，且，所以，即，，故C选项正确；对于D选项：到圆心的距离为的弦长为，所对的圆心角为，由题可知，所以，所以到直线AB的距离小于，故D选项正确．故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若双曲线的渐近线方程为，则实数__________．【答案】4【解析】【分析】因渐近线方程为，则，据此可得答案.【详解】因该双曲线的渐近线方程为，则，得．故答案为：4.14.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】依据椭圆几何性质限定含参数的表达式的取值范围即可求得结果.【详解】依据题意可知，要使方程表示焦点在轴上的椭圆，则需满意，解得或．故答案为：15.在数列中，若，，则其通项公式为__________．【答案】##【解析】【分析】依据递推公式可得为等比数列，依据等比数列的通项公式即可求解.【详解】由，得．由题意知，则，且，∴是首项为，公比为3的等比数列，∴，∴．故答案为：16.已知抛物线的焦点为F，准线为，点Р是上一点，过点Р作PF的垂线交x轴的正半轴于点A，AF交抛物线于点B，PB与x轴垂直，则直线AF的斜率为__________．【答案】【解析】【分析】依据直线垂直满意的斜率关系可求直线：，进而得，依据三点共线斜率相等解得.【详解】命题意图本题考查抛物线的性质．解析由抛物线的方程，可得焦点为，准线方程为．设，易知，则．因为，所以，直线：，令，得，即，，由F，A，B三点共线，得，整理得，得到，解得或（舍去），所以，．故答案为：四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知等差数列的公差，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，，成等比数列，则，由此可得；（2）由等差数列前n项和公式可得答案.【小问1详解】因为，，成等比数列，所以，即，得，所以．【小问2详解】数列的前项和为．由，整理得，即，得（舍去）．18.已知抛物线：的焦点坐标为．（1）求的方程；（2）直线：与交于A，B两点，若（为坐标原点），求实数的值．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）依据抛物线的焦点坐标即可求解，进而可得抛物线方程，（2）联立直线与抛物线的方程，得，，进而依据向量数量积的坐标运算即可求解.【小问1详解】由抛物线的定义可得，所以，所以抛物线的方程为．【小问2详解】设，．联立方程组得消去得，由，得．所以，．所以，解得或（舍去）．故实数的值为7．19.设为数列的前项和，已知．（1）证明：数列为等比数列；（2）求．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用所给条件，说明为常数，其中，；（2）由（1）可知，，后利用错位相减法可求得答案.【小问1详解】当时，，则，当时，由①，可得②，①-②得，整理得，即，故数列是首项为2，公比为的等比数列．【小问2详解】由（1）知．设，则③，则④，两式相减得：，所以．20.如图，已知直四棱柱的底面为平行四边形，，，，与交于点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先由勾股定理证出，再证明直棱柱中，再运用线面垂直判定定理进行证明即可.（2）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量进行求解即可.【小问1详解】由已知可得，，，∴，∴，即．∵平面，平面，∴．又∵，平面，平面，∴平面．【小问2详解】如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，．∴，，．设平面法向量为，则，∴，令，则，，∴，易知，平面平面，∵平面，∴平面，∴为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，∴，∴平面与平面的夹角的余弦值为．21.已知圆过点,,且圆心在直线上.（1）求的方程.（2）设直线:与圆交于不同的两点,是否存在实数,使得线段的中垂线经过点?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）（2）不存，理由见解析【解析】【分析】(1)设圆的方程,由题意列出方程组,解方程组求得答案;(2)假设存在符合条件的实数,可推断圆心必在直线上,结合直线垂直平分弦,求得,再利用直线交圆于,两点,求出圆心到直线的距离与圆的半径进行比较即可得出结论.【小问1详解】设的方程为,则圆心,依据题意得,解得,的方程为.【小问2详解】假设存在符合条件实数.依据圆的性质可知,线段的中垂线必经过圆心,所以的中垂线的斜率为,则,即,所以的方程为.因为到的距离为,所以直线与圆相离,与条件冲突.所以不存在满意条件的实数.22.已知椭圆：的离心率为，且经过点．（1）求的方程；（2）过椭圆外一动点作椭圆的两条切线，，斜率分别为，，若恒成立，证明：存在两个定点，使得点到这两定点的距离之和为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依据离心率以及椭圆经过的点，联