辽宁省沈阳2024-2025高三数学上学期9月开学考试试题

辽宁省沈阳2024--2025上学期9月份开学考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.集合＝（）A.B.C. D.【答案】C【分析】依据分式不等式的解法求解不等式，即可得出答案.【详解】由，得，解得，则集合.故选：C.2.下述正确的是（）A.若第四象限角，则B.若，则C.若的终边为第三象限平分线，则D.“”是“”的充要条件【答案】D【分析】对于A，利用三角函数定义即可推断；对于B，求出的值即可推断；对于C，算出的范围即可推断；对于D，利用充分，必要的定义进行推断即可【详解】对于A，若为第四象限角，依据三角函数定义可得，故不正确；对于B，若，则，故不正确；对于C，若的终边为第三象限平分线，则，此时，故不正确；对于D，由可得，即，满意充分性；由可得，所以，满意必要性，故正确故选：D3.已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】由可得，求出周期，再利用周期公式可求出，再由可求出的值.【详解】由题意可得，得，所以，得，所以，因为的图象过点，所以，得，所以，所以，或，所以，或，因为，所以，故选：C4.已知，，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】把待求式中“1”用替换，然后用基本不等式求得最小值．【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：C．5.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（）A.74m B.60m C.52m D.91m【答案】A【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度.【详解】在中，，，，在中，，由，，在中，.故选：A6.岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图1是番禺区某风景美丽的公园地图，其形态如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；依据、图象中的特别点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；依据函数定义域可知D错误.【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），在上的最大值为2，与图象不符，A错误；对于B，当时，，与图象不符，B错误；对于C，，当时，；又过点；由得：，解得：，即函数定义域为；又，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述：与图象相符，C正确；对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.故选：C.7.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对随意有，，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【分析】构造，确定函数在上单调递增，计算，，转化得到，依据单调性得到答案.【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增.，则，即，故.，即，即，故，解得.故选：B.8.记，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由函数在R上单调递增，可推断，再对两边取对数，由函数在单调递减，可得，从而得解.【详解】设，则在R上单调递增，故，即；由于，设，，则，，则在单调递减，故，即，则；综上得，，D正确.故选：D二、多选题9.设函数，则（）A.是偶函数B.是的一个周期C.函数存在多数个零点D.存在，使得【答案】AC【分析】求出即可推断A项；求出即可推断B项；当时，有，即可说明C项；当时，可求出.进而依据偶函数的性质即可推断D项.【详解】对于A项，定义域为R.又，所以是偶函数，故A项正确；对于B项，，所以不是的一个周期，故B项错误；对于C项，因为时，有，又，所以有多数多个解，所以函数存在多数个零点，故C项正确；对于D项，当时，有，所以.所以有在上恒成立.又，是偶函数，所以，当时，有恒成立，故D项错误.故选：AC.10.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.B.若为斜三角形，则C.若，则是锐角三角形D.若，则肯定是等边三角形【答案】AB【分析】利用正弦定理推理推断AD；利用和角的正切及诱导公式推理推断B；利用平面对量的数量积定义确定角C推断C作答.【详解】对于A，由正弦定理，得，A正确；对于B，斜中，，则，即，B正确；对于C，由，得，则，因此C为钝角，是钝角三角形，C错误；对于D，由正弦定理及，得，即，而，则，为等腰直角三角形，D错误．故选：AB11.如图（1），筒车是我国古代独创的一种水利浇灌工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到运用.如图（2），一个筒车依据逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水下则为负数）、与时间（单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（）A.筒车的半径为3m，旋转一周用时30sB.筒车的轴心距离水面的高度为C.时，盛水筒处于向上运动状态D．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点【答案】BD【分析】依据振幅和最小正周期可确定A错误；利用可知B正确；依据正弦型函数单调性的推断方法可知C错误；令，由正弦型函数的值可构造方程求得，进而得到，知D正确.【详解】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；的最小正周期，旋转一周用时，A错误；对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确；对于C，当时，，此时单调递减，盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误；对于D，令，，，解得：，又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确.故选：BD.12.已知当时，，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【分析】依据给定的不等式，赋值变形推断A；赋值求和推断CD；变形不等式右边，借助二项式定理及组合数的性质推理推断D作答.【详解】因为，令，，则，令，，则，A正确；因为，则，，…，，以上各式相加有，B错误；由得，，即，于是，，，…，，以上各式相加有，即，C正确；由得，，因此，设，，则，所以，D正确．故选：ACD【点睛】关键点睛：由给定信息推断命题的正确性问题，从给定的信息动身结合命题，对变量适当赋值，再综合利用相关数学学问及方法是解决问题的关键.第II卷（非选择题）三．填空题13.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是________．【答案】【分析】依据弧长公式求出三角形边长，再依据扇形面积公式和三角形面积公式可得结果.【详解】因为的长度为，所以，，所以勒洛三角形的面积是.故答案为：.14.已知函数，，当时，函数取得最小值，则__________.【答案】0【分析】利用基本不等式取等条件可确定的取值，结合二倍角余弦公式可求得结果.【详解】当时，，（当且仅当，即时取等号），，.故答案为：.15.已知函数在区间上有且只有2个零点，则ω的取值范围是_________.【答案】【分析】先求得，依据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由，可得，其中，因为函数在区间上有且仅有2个零点，则满意，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.16.已知偶函数的定义域为，函数，且，若在上的图象与直线恰有个公共点，则的取值范围为__________.【答案】【分析】依据题意，分多个区间探讨与直线有几个交点，利用在上与直线恰有个公共点，即可得出的范围.【详解】由题意得是定义域为的偶函数，当时，，当时，，，，当时，，，，当时，是周期为的周期函数.因为是定义域为的偶函数，且，所以在上的图象与直线恰有301个公共点.在上的图象如图所示，在上的图象与直线有3个公共点，令，得，令，得或.所以这个公共点的横坐标依次为，，.因为，所以，即.故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查依据函数图像交点个数求参数，考查三角函数的二倍角公式、两角差的正弦公式、协助角公式、函数的周期性，考查了计算实力和函数思想，属于中档题.四、解答题17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知（1）求角A；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）已知等式由余弦定理和面积公式代入变形可得求角A；（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，进而依据正弦函数的性质即可求解取值范围.【小问1详解】已知，由余弦定理和三角形的面积公式，得，即，若，则，不符合题意，故，所以，由，得.【小问2详解】，，，由正弦定理，，由，则，得，所以，即的取值范围.18.已知的内角所对的边分别为.（1）求；（2）为内一点，的延长线交于点，___________，求的面积.请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.①的三个顶点都在以为圆心的圆上，且；②的三条边都与以为圆心的圆相切，且.注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.【答案】（1）（2）【分析】（1）依据已知等式结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换，即可得角的大小；（2）选择条件①，利用三角形的外心为，依据正弦定理、余弦定理可得为等边三角形，再利用面积公式可得的面积；选择条件②，利用三角形的内心为，利用等面积法求得，再依据余弦定理得，即可求得的面积.【小问1详解】在中，因为，所以，由正弦定理，得，因为，所以，化简，得，因为，所以.【小问2详解】选条件①：设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，由题意知：，由余弦定理知：，所以.在中，由正弦定理知：，所以，从而，所以为等边三角形，的面积.选条件②：由条件知：，由，得，因为，所以，即，由（1）可得，即，所以，即，又因为，所以，所以的面积.19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）方程在上的两解分别为，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）化简解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间.（2）依据三角恒等变换的学问，先求得，然后求得的值.【小问1详解】，由，得，所以的单调递增区间为：.【小问2详解】设，则，由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，由，得，因为方程在上的两解分别为，则，必有，所以，，同理，，由于且，则，由，可得.【点睛】利用同角三角函数的基本关系式求，肯定要留意推断的范围，依据的范围来确定的符号，这一步简单忽视.同样，在用二倍角公式来求单倍角时，也要留意角的范围.20.已知，曲线在处的切线方程为.（1）求的值；（2）求在上的最大值；（3）当时，推断与交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】试题分析：（1）求出的导数，计算，，求出，的值即可；（2）求出的导数，得到导函数的单调性，得到在递增，从而求出的最大值；（3）依据函数图象的大致形态可得与有两个交点.试题解析：（1），由已知可得，，解之得．（2）令．则,故当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以，故在单调递增，所以．（3）当时，与有两个交点.21.如图，C，D是两个小区所在地，C，D到一条马路AB的垂直距离分别为CA＝1km，DB＝2km，AB两端之间的距离为6km．（1）某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建立一个信号塔，使得P对A，C的张角与P对B，D的张角相等（即），试求的值；（2）环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建立一个垃圾处理厂，使得Q对C，D所张角最大，试求QB的长度．【答案】（1）（2）的长度为【分析】（1）设，，，利用三角函数的定义可求，，由题意可得，解得的值即可求解．（2）设，，，利用三角函数的定义得，，利用两角和的正切公式可求，令，可得，可得，进而依据题意利用双勾函数的性质即可求解．【小问1详解】设，，，依题意有，，由，得，解得，从而，，故．【小问2详解】设，，，依题意有，，所以，令，由，得，所以，所以，所以，且，当，所张的角为钝角，所以当，即时取得最大角，故，从而的长度为．22.已知函数，．（1）若，证明：当时；（2）当时，，求a的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）．【分析】（1）令，对求导，得到的单调性可证得，令，对求导，可得在上单调递增，即可证得，即可证得；（2）由题意分析可得要使恒成马上时，恒成立，通过放缩变形证明恒成立，即可求出a的取值范围.【小问1详解】当时，，所以即证：，，先证左边：，令，，在单调递增，∴，即．再证右边：，令，，∴在上单调递增，∴，即，∴时，．【小问2