新教材适用2024-2025学年高中数学第10章概率10.1随机事件与概率10.1.2事件的关系和运算学案新人教A版必修第二册

10.1.2事务的关系和运算课标要求了解随机事务的并、交与互斥的含义，会进行简洁的随机事务的运算．素养要求通过相关概念的学习及对简洁随机事务的运算，发展数学抽象与数学运算素养.学问点1事务的运算定义表示法图示并事务_事务A与事务B至少有一个发生__，称这个事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)_A∪B__(或_A＋B__)交事务_事务A与事务B同时发生__，称这样一个事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)_A∩B__(或_AB__)学问点2事务的关系定义表示法图示包含关系若事务A发生，事务B_肯定发生__，称事务B包含事务A(或事务A包含于事务B)_B⊇A__(或_A⊆B__)互斥事务假如事务A与事务B_不能同时发生__，称事务A与事务B互斥(且互不相容)若_A∩B＝∅__，则A与B互斥对立事务假如事务A和事务B在任何一次试验中_有且仅有一个发生__，称事务A与事务B互为对立，事务A的对立事务记为eq\o(A,\s\up6(－))若_A∩B＝∅__，且A∪B＝Ω，则A与B对立[拓展]1.互斥事务与对立事务的区分与联系(1)区分：两个事务A与B是互斥事务，包括如下三种状况：①若事务A发生，则事务B就不发生；②若事务B发生，则事务A就不发生；③事务A，B都不发生．而两个事务A，B是对立事务，仅有前两种状况，因此事务A与B是对立事务，则A∪B是必定事务，但若A与B是互斥事务，则A∪B不肯定是必定事务，即事务A的对立事务只有一个，而事务A的互斥事务可以有多个．(2)联系：互斥事务和对立事务在一次试验中都不行能同时发生，而事务对立是互斥的特别状况，即对立必互斥，但互斥不肯定对立．2．从集合的角度理解互斥事务与对立事务(1)几个事务彼此互斥，是指由各个事务所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事务A的对立事务所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集．练一练：1．掷一枚质地匀称的骰子，设事务A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事务A与事务B的关系是(B)A．A⊆BB．A∩B＝{出现的点数为2}C．事务A与B互斥D．事务A与B是对立事务[解析]由题意事务A表示出现的点数是1或2或3；事务B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}．2．一个人打靶时连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的互斥事务是(D)A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶[解析]事务“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种状况．由互斥事务的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．题型探究题型一互斥事务、对立事务的判定典例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．推断上面给出的每对事务是否为互斥事务，是否为对立事务，并说明理由．[解析](1)是互斥事务，不是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不行能同时发生的，所以是互斥事务．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事务．(2)既是互斥事务，又是对立事务．理由是：从40张扑克牌中，随意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事务不行能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事务，又是对立事务．(3)不是互斥事务，当然不行能是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事务可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事务，当然不行能是对立事务．[归纳提升]辨析互斥事务与对立事务的思路辨析互斥事务与对立事务，可以从以下几个方面入手：(1)从发生的角度看①在一次试验中，两个互斥事务有可能都不发生，也可能有一个发生，但不行能同时发生；②两个对立事务必有一个发生，但不行能同时发生．即两事务对立，必定互斥，但两事务互斥，未必对立．对立事务是互斥事务的一个特例．(2)从事务个数的角度看互斥的概念适用于两个或多个事务，但对立的概念只适用于两个事务．对点练习❶(1)一个人打靶时连续射击两次，事务“至多有一次中靶”的互斥事务是(A)A．两次都中靶 B．至少有一次中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶(2)一个人连续射击三次，则事务“至少击中两次”的对立事务是(D)A．恰有一次击中 B．三次都没击中C．三次都击中 D．至多击中一次[解析](1)事务“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事务是“两次都中靶”．(2)依据题意，一个人连续射击三次，事务“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事务，其对立事务为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.题型二事务的运算典例2在掷骰子的试验中，可以定义很多事务．例如，事务C1＝{出现1点}，事务C2＝{出现2点}，事务C3＝{出现3点}，事务C4＝{出现4点}，事务C5＝{出现5点}，事务C6＝{出现6点}，事务D1＝{出现的点数不大于1}，事务D2＝{出现的点数大于3}，事务D3＝{出现的点数小于5}，事务E＝{出现的点数小于7}，事务F＝{出现的点数为偶数}，事务G＝{出现的点数为奇数}，请依据上述定义的事务，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事务；(2)利用和事务的定义，推断上述哪些事务是和事务．[解析](1)因为事务C1，C2，C3，C4发生，则事务D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事务E包含事务C1，C2，C3，C4，C5，C6；事务D2包含事务C4，C5，C6；事务F包含事务C2，C4，C6；事务G包含事务C1，C3，C5.且易知事务C1与事务D1相等，即C1＝D1.(2)因为事务D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.[归纳提升]事务运算应留意的2个问题(1)进行事务的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简洁的题目中，须要推断事务之间的关系时，可以依据常识来推断．但假如遇到比较困难的题目，就得严格依据事务之间关系的定义来推理．对点练习❷在试验“连续抛掷一枚匀称的骰子2次，视察每次出现的点数”中，事务A表示随机事务“第一次掷出1点”；事务Aj表示随机事务“第一次掷出1点，其次次掷出j点”；事务B表示随机事务“2次掷出的点数之和为6”；事务C表示随机事务“其次次掷出的点数比第一次的大3”．(1)试用样本点表示事务A∩B与A∪B；(2)试推断事务A与B，A与C，B与C是否为互斥事务；(3)试用事务Aj表示随机事务A.[解析]依题意可知样本空间为Ω＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，11，21，31，41，51，6,2，12，22，32，42，52，6,3，13，23，33，43，53，6,4，14，24，34，44，54，6,5，15，25，35，45，55，6,6，16，26，36，46，56，6))(1)因为事务A表示随机事务“第一次掷出1点”，所以A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)}．因为事务B表示随机事务“2次掷出的点数之和为6”，所以B＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．所以A∩B＝{(1,5)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}.(2)因为事务C表示随机事务“其次次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1,4)，(2,5)，(3,6)}．因为A∩B＝{(1,5)}≠∅，A∩C＝{(1,4)}≠∅，B∩C＝∅，所以事务A与事务B，事务A与事务C不是互斥事务，事务B与事务C是互斥事务．(3)因为事务Aj表示随机事务“第一次掷出1点，其次次掷出j点”，所以A1＝{(1,1)}，A2＝{(1,2)}，A3＝{(1,3)}，A4＝{(1,4)}，A5＝{(1,5)}，A6＝{(1,6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.题型三用集合运算表示随机事务典例3设A，B，C表示三个随机事务，试将下列事务用A，B，C表示出来．(1)三个事务都发生；(2)三个事务至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生．[解析](1)ABC(2)A∪B∪C(3)Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))(4)ABeq\o(C,\s\up6(－))(5)(A∪B)eq\o(C,\s\up6(－))(6)ABeq\o(C,\s\up6(－))∪Aeq\o(B,\s\up6(－))C∪eq\o(A,\s\up6(－))BC[归纳提升]利用随机事务的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题．对点练习❸从某高校数学系图书室中任选一本书．设A表示事务“任选一本书，这本书为数学书”；B表示事务“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事务“任选一本书，这本书为2000年后出版的书”．问：(1)ABeq\o(C,\s\up6(－))表示什么事务？(2)在什么条件下有ABC＝A?(3)eq\o(C,\s\up6(－))⊆B表示什么意思？[解析](1)ABeq\o(C,\s\up6(－))表示事务“任选一本书，这本书为2000年或2000年前出版的中文版的数学书”．(2)在“图书室中全部数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有ABC＝A.(3)eq\o(C,\s\up6(－))⊆B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的．易错警示不能正确区分对立事务和互斥事务致错典例4进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事务：(1)“出现1点”与“出现2点”；(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”；(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”．其中是对立事务的组数是(B)A．0 B．1C．2 D．3[错解]C[错因分析]错解混淆了互斥事务与对立事务，误将互斥事务当作了对立事务．只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事务，而(1)中“出现1点”与“出现2点”是互斥事务，但不是对立事务，(3)中“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事务，所以也不是对立事务．[正解]B[误区警示]对立事务肯定是互斥事务，而互斥事务却不肯定是对立事务．忽视互斥事务与对立事务之间的区分与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻．推断两个事务是否互斥，就要看它们是否能同时发生；推断两个互斥事务是否对立，就要看它们是否有一个必定发生．对点练习❹(2024·广东省茂名市期末)若干人站成一排，其中为互斥事务的是(A)A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙站排尾”C．“甲站排头”与“乙不站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排头”[解析]依据互斥事务不能同时发生，推断A是互斥事务；B，C，D中两事务能同时发生，故不是互斥事务．1．掷一枚质地匀称的骰子，下列事务具有包含关系的是(C)A．“出现小于2点”与“出现大于2点”B．“出现奇数点”与“出现偶数点”C．“出现2点”与“出现偶数点”D．“出现小于4点”与“出现大于2点”[解析]出现偶数点，即出现2点、4点或6点，与出现2点是包含关系．2．给出事务A与B的关系示意图，如图所示，则(C)A．A⊆B B．A⊇BC．A与B互斥 D．A与B互为对立事务3．已知A、B为两个随机事务，则“A、B为互斥事务”是“A、B为对立事务”的(B)A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件[解析]依据互斥事务和对立事务的概念可知，互斥不肯定对立，对立肯定互斥，所以“A、B为互斥事务”是“A、B为对立事务”的必要非充分条件．故选B.4．设M，N，P是三个事务，则M，N至少有一个不发生且P发生可表示为(A)A．(eq\o(M,\s\up6(－))∪eq\o(N,\s\up6(－)))P B．(eq\o(M,\s\up6(－))eq\o(N,\s\up6(－)))PC．(eq\o(M,\s\up6(－))∪eq\o(N,\s\up6(－)))∪P D．(eq\o(M,\s\up6(－))N)∪(Meq\o(N,\s\up6(－)))5．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事务A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事务B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事务C＝{3个球中至少有1个红球}，事务D＝{3个球中既有红球又有白球}，事务E＝{3个球都是红球}，事务F＝