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文档简介
第1课时等差数列的概念和通项公式【课标解读】1.理解等差数列、等差中项的概念.2.驾驭等差数列的通项公式,并能运用通项公式解决一些简洁的问题.3.驾驭等差数列的推断与证明方法.新知初探·课前预习——突出基础性【教材要点】要点一等差数列的概念(1)文字语言:假如一个数列从第________项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数❶,那么这个数列称为等差数列,这个________叫做等差数列的________,公差通常用字母________表示.(2)符号语言:an+1-an=d(d为常数,n∈N*).要点二等差中项在两个数a,b之间插入数A,使a,A,b成等差数列,则A称为a与b的等差中项❷,即2A=________.批注❶一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不肯定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,即该常数与n无关.批注❷在等差数列{an}中,任取相邻的三项an-1,an,an+1(n≥2,n∈N*),则an是an-1与an+1的等差中项.反之,若an-1+an+1=2an对随意的n≥2,n∈N*均成立,则数列{an}是等差数列.要点三等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式an=____________.要点四从函数角度相识等差数列{an}若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d).点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)上.【夯实双基】1.推断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若一个数列从其次项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)数列{an}满意an+1-an=1(n>1),则数列{an}是等差数列.()(3)若三个数a,b,c满意2b=a+c,则a,b,c肯定是等差数列.()(4)一个无穷等差数列{an}中取出全部偶数项构成一个新数列,公差仍旧与原数列相等.()2.已知数列{an}的通项公式为an=2n+5,则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列3.已知实数m是1和5的等差中项,则m=()A.5 B.±5C.3 D.±34.已知公差d=-13,a7=8,则a1题型探究·课堂解透——强化创新性题型1等差数列的通项公式及应用例1在等差数列{an}中,(1)若a5=15,a17=39,试推断91是否为此数列中的项;(2)若a2=11,a8=5,求a10.[听课记录]【方法总结】求等差数列通项公式的方法巩固训练1(1)[2024·山东枣庄高二期末]已知等差数列{an},若a3=4,a5=10,则a1=()A.1 B.-1C.-2 D.3(2)100是不是等差数列2,9,16,…的项?假如是,是第几项?假如不是,说明理由.题型2等差中项及其应用例2(1)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m与n的等差中项是__________.(2)在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.[听课记录]【方法总结】(1)涉及等差数列中相邻三项的问题可用等差中项求解;(2)若数列{an}满意2an=an-1+an+1(n≥2),则可判定数列{an}是等差数列.巩固训练2已知数列{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d=____________.题型3等差数列的判定与证明例3已知数列{an}满意a1=4且an=4-4an-1(n>1),记b(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.[听课记录]【方法总结】证明一个数列是等差数列的2种常用方法巩固训练3已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p,q∈R).(1)当p和q满意什么条件时,数列{an}是等差数列?(2)求证:数列an+14.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念和通项公式新知初探·课前预习[教材要点]要点一2常数公差d要点二a+b要点三a1+(n-1)d[夯实双基]1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.解析:∵an-an-1=2n+5-(2n+3)=2,∴{an}是公差为2的等差数列.故选A.答案:A3.解析:由题知:2m=1+5=6,m=3.故选C.答案:C4.解析:∵a7=a1+6d=8,∴a1=8-6×(-13答案:10题型探究·课堂解透例1解析:(1)设{an}的公差为d,因为a1+4d=15所以an=7+2(n-1)=2n+5.令2n+5=91,得n=43.因为43为正整数,所以91是此数列中的项;(2)设{an}的公差为d,则a1+d=11∴an=12+(n-1)×(-1)=13-n,所以a10=13-10=3.巩固训练1解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a3=4,a5=10,所以a1+2d=4a故选C.(2)∵an=2+(n-1)×7=7n-5,由7n-5=100,得n=15,∴100是这个数列的第15项.答案:(1)C(2)见解析例2解析:(1)由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得m+n=6.所以m与n的等差中项为m+n2=6(2)因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1与7的等差中项,则b=-1+7又a是-1与3的等差中项,所以a=-1+3又c是3与7的等差中项,所以c=3+72所以该数列为-1,1,3,5,7.答案:(1)3(2)见解析巩固训练2解析:由题意知a1+a2=2,a2+a3=4,则a2+a3-(a1+a2)=2,即a3-a1=2=2d,∴d=1.答案:1例3解析:(1)证明:∵bn+1-bn=1=1=a=an-2又b1=1a1-∴数列{bn}是首项为12,公差为1(2)由(1)知,bn=12+(n-1)×12=1∵bn=1a∴an=1bn+2=巩固训练3解析:(1)若{an}是等差数列,则an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,是
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