新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题4-2 正余弦定理中的高频小题归类原卷版

专题4-2正余弦定理中的高频小题归类目录TOC\o"1-1"\h\u专题4-2正余弦定理中的高频小题归类 1 1题型一：利用正弦定理边角互化 1题型二：利用余弦定理边角互化 5题型三：利用正余弦定理解三角形 10题型四：判断三角形解的个数 16题型五：利用正余弦定理判断三角形形状 22题型六：三角形周长，面积问题 26题型七：正余弦定理实际应用 32 38一、单选题 38二、多选题 44三、填空题 46题型一：利用正弦定理边角互化【典例分析】例题1．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为锐角，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·甘肃定西·高二开学考试）在锐角SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是______.【答案】SKIPIF1<0【提分秘籍】利用正弦定理边角互化主要思路：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0;化成角后，再进行相应的运算。【变式演练】1．（2022·河南·高三阶段练习（理））在SKIPIF1<0中，D为SKIPIF1<0边上一点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________．2．（2022·上海市金山中学高一期末）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0的面积为S，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．3．（2022·江西宜春·高二阶段练习（理））在SKIPIF1<0ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点M满足SKIPIF1<0，且∠MAB=∠MBA，则SKIPIF1<0AMC的面积为_____________.题型二：利用余弦定理边角互化【典例分析】例题1．（2022·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）设SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0内角SKIPIF1<0的对边，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0________.例题2．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最大值______．例题3．（2022·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为___________.【提分秘籍】在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，所对的边分别是SKIPIF1<0,则：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0余弦定理的推论SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·广东江门·高三阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2022·山西·晋城市第一中学校高三阶段练习）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．以上都不对3．（2022·福建·高二期中）若△SKIPIF1<0的边长SKIPIF1<0成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则SKIPIF1<0的取值范围是________．4．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））在SKIPIF1<0中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若SKIPIF1<0；则当角A最大时，SKIPIF1<0的面积为______.题型三：利用正余弦定理解三角形【典例分析】例题1．（2022·山西·高三阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4例题2．（2022·湖北·高二期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．10例题3．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【提分秘籍】解三角形问题，综合应用正弦定理，余弦定理，有时候需要将边化为角，利用三角函数来解三角形问题；求最值问题时也涉及到基本不等式.【变式演练】1．（2022·上海市金山中学高一期末）记SKIPIF1<0内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的取值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·上海·复旦附中高一期末）已知SKIPIF1<0中，角A、B、C的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．3 B．4 C．7 D．83．（2022·四川省南充高级中学高二期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是角SKIPIF1<0的对边，SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．14．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为锐角，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0，若角A的内角平分线SKIPIF1<0的长为3，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．21 B．24 C．27 D．36题型四：判断三角形解的个数【典例分析】例题1．（2022·黑龙江·宾县第二中学高三阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例题2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）在下列关于SKIPIF1<0的四个条件中选择一个，能够使角SKIPIF1<0被唯一确定的是：（

）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④例题3．（2022·江苏徐州·高一期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请您给出一个SKIPIF1<0值，使得SKIPIF1<0有两解，则您给的SKIPIF1<0值为______．例题4．（2022·重庆市育才中学高一阶段练习）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的对边分别为SKIPIF1<0，若满足SKIPIF1<0的三角形有两解，则SKIPIF1<0的取值范围为__________.【提分秘籍】为锐角为钝角或者直角图形关系式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解的个数一解两解一解一解上表中若SKIPIF1<0为锐角,当SKIPIF1<0时无解;若SKIPIF1<0为钝角或直角,当SKIPIF1<0时无解.【变式演练】1．（2022·江西萍乡·高一期末）在SKIPIF1<0中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·青海玉树·高一期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则此三角形解的情况为（

）A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解3．（2022·全国·高一课时练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若该三角形有两解，则x的取值范围是__________．4．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0有唯一解，则SKIPIF1<0的取值范围是___________.题型五：利用正余弦定理判断三角形形状【典例分析】例题1．（2022·全国·高一课时练习）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0三个内角SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形例题3．（2022·四川成都·高一期末）已知SKIPIF1<0内角SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【提分秘籍】①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为钝角三角形；②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·河北张家口·高三期中）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形2．（2022·河北·石家庄市第十五中学高二阶段练习）已知SKIPIF1<0的三个内角SKIPIF1<0所对应的边分别为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的形状是（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为SKIPIF1<0的等腰三角形 D．顶角为SKIPIF1<0的等腰三角形3．（2022·福建省福州高级中学高一期末）在SKIPIF1<0中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0形状为（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（2022·陕西·白水县白水中学高二阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形题型六：三角形周长，面积问题【典例分析】例题1．（2022·河北张家口·高三期中）钝角SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0例题2．（2022·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于点D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0对应的边分别是SKIPIF1<0，内角SKIPIF1<0的角平分线交边SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最小值是（

）A．16 B．SKIPIF1<0 C．64 D．SKIPIF1<0【提分秘籍】1、三角形面积的计算公式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0（其中，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的各边长，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的内切圆半径）；④SKIPIF1<0(其中，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的各边长，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的外接圆半径).2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式SKIPIF1<0，再代入面积公式.3、三角形面积取值范围：核心技巧：利用正弦定理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.4、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.【变式演练】1．（2022·全国·高二开学考试）在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的外接圆面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．24 B．25 C．27 D．282．（2022·江西赣州·高三期中（文））在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，△ABC的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长为（

）A．6 B．8 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·浙江·高三开学考试）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<04．（2022·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的一点，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0面积的两倍，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型七：正余弦定理实际应用【典例分析】例题1．（2022·四川达州·高二期末（理））某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度SKIPIF1<0.在过SKIPIF1<0点的水平面上确定两观测点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0处测得SKIPIF1<0的仰角为30°，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的北偏东60°方向上，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的正东方向30米处，在SKIPIF1<0处测得SKIPIF1<0在北偏西60°方向上，则SKIPIF1<0（

）A．10米 B．12米 C．16米 D．18米例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面SKIPIF1<0处垂直上升的无人机SKIPIF1<0，对地面SKIPIF1<0两受灾点的视角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．已知地面上三处受灾点SKIPIF1<0共线，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则无人机SKIPIF1<0到地面受灾点SKIPIF1<0处的遥测距离PD的长度是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）雷峰塔又名黄妃塔､西关砖塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山（海拔46米）之上.是吴越国王钱俶为供奉佛螺髻发舍利､祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年（977年），历代屡加重修.现存建筑以原雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.李华同学为测量塔高，在西湖边相距SKIPIF1<0的SKIPIF1<0､SKIPIF1<0两处（海拔均约16米）各放置一架垂直于地面高为SKIPIF1<0米的测角仪SKIPIF1<0､SKIPIF1<0（如图所示）.在测角仪SKIPIF1<0处测得两个数据：塔顶SKIPIF1<0仰角SKIPIF1<0及塔顶SKIPIF1<0与观测仪SKIPIF1<0点的视角SKIPIF1<0在测角仪SKIPIF1<0处测得塔顶SKIPIF1<0与观测仪SKIPIF1<0点的视角SKIPIF1<0，李华根据以上数据能估计雷锋塔SKIPIF1<0的高度约为（

）（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．70.5 B．71 C．71.5 D．722．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））甲、乙两名学生决定利用解三角形的相关知识估算一下友谊大厦的高度，甲同学在点A处测得友谊大厦顶端C的仰角是63.435°，随后，他沿着某一方向直行SKIPIF1<0m后到达点B，测得友谊大厦顶端C的仰角为45°，乙同学站在友谊大厦底端的点D，测量发现甲同学在移动的过程中，∠ADB恰好为60°，若甲、乙两名同学始终在同一水平面上，则友谊大厦的高度大约是（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．270m B．280m C．290m D．300m3．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）如图甲，圣SKIPIF1<0索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物SKIPIF1<0，高约为40SKIPIF1<0，如图乙，在它们之间的地面上的点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0三点共线）处测得楼顶SKIPIF1<0､教堂顶SKIPIF1<0的仰角分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，在楼顶SKIPIF1<0处测得塔顶SKIPIF1<0的仰角为SKIPIF1<0，则估算索菲亚教堂的高度SKIPIF1<0约为（

）A．50 B．55 C．60 D．704．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点SKIPIF1<0距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得SKIPIF1<0的仰角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0），（点SKIPIF1<0在同一水平地面上），则大跳台最高高度SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0一、单选题1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0外接圆的周长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长为（

）A．20 B．SKIPIF1<0 C．27 D．SKIPIF1<02．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高三阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为SKIPIF1<0，则三角形的面积为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点SKIPIF1<0的距离的和等于常数（大于SKIPIF1<0）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值为（

）A．6 B．10 C．12 D．23．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·重庆·高三阶段练习）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内的一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．8 B．4 C．2 D．15．（2022·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（理））云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12SKIPIF1<0，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（

）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，精确到1SKIPIF1<0）A．42SKIPIF1<0 B．45SKIPIF1<0 C．51SKIPIF1<0 D．57SKIPIF1<06．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）在钝角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0对应的边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·天津南开·高一期末）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（