新高考数学二轮复习 小题综合练专题03 平面向量（解析版）

专题03平面向量小题综合一、单选题1．（2023·浙江·二模）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据平面向量的坐标运算即可求得答案.【详解】由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故选：B2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0,故选：B3．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知平面向量SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量的模为SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意，由向量的概念即可判断A，由平面向量的坐标运算即可判断BCD.【详解】向量不能比较大小，故A错误；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B错误；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，故C错误；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量的模为SKIPIF1<0，所以D正确；故选:D4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知单位向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.【详解】因为单位向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由投影向量计算公式可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：D5．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先求出两个向量的数量积，再根据公式可求投影向量.【详解】因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0，故选：B.6．（2023·浙江·校联考二模）在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0边上的高和中线，则SKIPIF1<0（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【分析】将SKIPIF1<0作为基底，用基底表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根据数量积的规则计算即可.【详解】

设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；故选：C.7．（2023·浙江·高三专题练习）设SKIPIF1<0是平行四边形SKIPIF1<0的对角线的交点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.【详解】SKIPIF1<0是平行四边形SKIPIF1<0的对角线的交点，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选：A.8．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知两个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据向量的数量积运算律和夹角公式求解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选:D.9．（2023·浙江·高三专题练习）在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由向量运算的三角形法则，用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0即可.【详解】SKIPIF1<0故选：C.10．（2023·浙江·高三专题练习）已知非零向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【分析】对SKIPIF1<0两边平方计算可得答案.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.11．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，满足SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用向量的线性运算，求出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0的值，再对各选项分析判断即可求出结果.【详解】因为SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：B.12．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】C【分析】选用基底SKIPIF1<0，利用向量的线性运算表示向量SKIPIF1<0.【详解】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所示，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C13．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是功，SKIPIF1<0是力，SKIPIF1<0是位移）一物体在力SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的作用下，由点SKIPIF1<0移动到点SKIPIF1<0，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（

）A．25 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用条件，先求出两个力的合力SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，再利用功的计算公式即可求出结果.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A.14．（2023·浙江·校联考三模）已知点SKIPIF1<0是边长为1的正十二边形SKIPIF1<0边上任意一点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．-2【答案】B【分析】根据数量积SKIPIF1<0的几何意义：SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0长度SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的方向上的投影SKIPIF1<0的乘积，结合图形求解.【详解】延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，正十二边形SKIPIF1<0的每个内角为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的夹角，∴数量积SKIPIF1<0的几何意义：SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0长度SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的方向上的投影SKIPIF1<0的乘积，由图可知，当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0取得最小值，此时SKIPIF1<0.故选：B.15．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在单位向量SKIPIF1<0上的投影向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可以是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为单位向量可得SKIPIF1<0，再结合投影向量的概念、向量坐标运算以及题设所给的条件可得SKIPIF1<0，从而解得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的值，即可得解.【详解】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为单位向量可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在单位向量SKIPIF1<0上的投影向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不同时为0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C16．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知点SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0上的动点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据题意，由条件可得SKIPIF1<0，从而得到其最小值为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的平方，结合点到直线的距离公式即可得到结果.【详解】因为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0即为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选:C17．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为原点，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【分析】由题平方可得SKIPIF1<0，化简得到SKIPIF1<0，得出垂直关系，可得圆心到直线的距离，由点到线的距离公式，列式即可得解．【详解】∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴圆心到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：D.18．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知单位向量SKIPIF1<0和向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设SKIPIF1<0，再分别设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据题意可得轨迹方程，再根据数量积公式数形结合分析即可.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的轨迹为以SKIPIF1<0为焦点，SKIPIF1<0的椭圆，其方程为SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由圆与椭圆的性质可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0同向，均往SKIPIF1<0负半轴时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.故选：B二、多选题19．（2023·浙江·统考二模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是单位向量，且SKIPIF1<0，则以下结论正确的是（

）．A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0 D．向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0【答案】BD【分析】举出特例可判断A；根据向量的模的计算可判断B；根据向量的夹角的计算可判断C；根据投影向量的含义求得向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量判断D.【详解】对于A，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，也有SKIPIF1<0，故A错误；对于B，SKIPIF1<0，B正确；对于C，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，C错误；对于D，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，D正确，故选：BD20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）如图，直线SKIPIF1<0，点A是SKIPIF1<0之间的一个定点，点A到SKIPIF1<0的距离分别为1和2.点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上一个动点，过点A作SKIPIF1<0，交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0面积的最小值是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0存在最小值【答案】BC【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，即可找到三个点的坐标关系，分别写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可判断A；取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0三点共线，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0靠近SKIPIF1<0的三等分点，即可找到SKIPIF1<0面积与SKIPIF1<0面积之间比例关系，进而建立SKIPIF1<0面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出SKIPIF1<0，再根据基本不等式可判断C；写出SKIPIF1<0进行化简，根据SKIPIF1<0的范围即可得到SKIPIF1<0的最值情况.【详解】设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0方向分别为SKIPIF1<0轴建立如图所示的直角坐标系，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，A错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0靠近SKIPIF1<0的三等分点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等，故B正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等，故SKIPIF1<0，C正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0单调递增，没有最值，即SKIPIF1<0没有最值，故D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目.三、填空题21．（2023·浙江·高三专题练习）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0/0.5【分析】利用向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.22．（2023·浙江温州·统考三模）在平行四边形SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】4【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得SKIPIF1<0，然后由数量积的坐标表示可解.【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案为：423．（2023·浙江·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】4【分析】先求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再根据平面向量共线的性质求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：4.24．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）点P圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，O坐标原点，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的横坐标的取值范围为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，由条件可得点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，由条件列不等式可求点Q的横坐标的取值范围.