新高考数学二轮复习对点题型第8讲求与几何体的切接（学生版）

第8讲球与几何体的切接问题真题展示2022新高考一卷第8题已知正四棱锥的侧棱长为SKIPIF1<0，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该正四棱锥体积的取值范围是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知识要点整理球与各种几何体切、接问题近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.一、球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.球与正方体（1）正方体的内切球，如图1.

位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.

（2）正方体的棱切球，如图2.

位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.（3）正方体的外接球，如图3.

位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.例1棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（） B． C． D．球与长方体例2自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．例3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.B.C.D.球与正棱柱（1）结论1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．（2）结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．二、球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1、正四面体与球的切接问题

（1）

正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；

例4正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为______．例5求棱长为1的正四面体外接球的半径。结论：正四面体的高线与底面的交点是△ABC的中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据．此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的eq\f(3,4)，内切球的半径是正四面体高的eq\f(1,4).（3）

正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有

例6例7设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．（4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点？2.其它棱锥与球的切接问题（1）球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.（2）球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.结论1：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．例8正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．例9（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用的方法．例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，是球的直径，且；则此棱锥的体积为（）A.B.C.D.思路分析：的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点到面的距离.由练习：3、由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．4、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。三、球与球相切问题对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例11思路分析：结合图形，的方程.例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体四、球与几何体的各条棱相切问题球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.例13把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（） A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm球与旋转体切接问题首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．例14求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．例15在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.三年真题1．已知正四面体SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，其四个面的中心分别为SKIPIF1<0，设四面体SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=SKIPIF1<0E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．13．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）.A．直线AA1 B．直线A1B1C．直线A1D1 D．直线B1C15．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为SKIPIF1<0，两个圆锥的高之比为SKIPIF1<0，则这两个圆锥的体积之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为SKIPIF1<0（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为SKIPIF1<0的球，其上点A的纬度是指SKIPIF1<0与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为SKIPIF1<0，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0），则S占地球表面积的百分比约为（

）A．26% B．34% C．42% D．50%8．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：SKIPIF1<0）．24h降雨量的等级划分如下：在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨9．在正方体SKIPIF1<0中，P为SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为SKIPIF1<0，侧面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，体积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三年模拟1．已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为6，设集合SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0表示的区域的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知直线l与平面SKIPIF1<0相交，则下列命题中，正确的个数为（

）①平面SKIPIF1<0内的所有直线均与直线l异面；②平面SKIPIF1<0内存在与直线l垂直的直线；③平面SKIPIF1<0内不存在直线与直线l平行；④平面SKIPIF1<0内所有直线均与直线l相交.A．1 B．2 C．3 D．43．如图，长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形SKIPIF1<0是边长为2的正方形，且SKIPIF1<0均为正三角形，SKIPIF1<0，则该木楔子的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，若截面SKIPIF1<0分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知边长为SKIPIF1<0的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，沿对角线SKIPIF1<0把SKIPIF1<0折起，使二面角SKIPIF1<0为直二面角，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在正方体各棱及表面上运动且满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0轨迹所围成图形的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均是边长为2的等边三角形，则底面SKIPIF1<0的面积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．在正四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则该四棱锥内切球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足SKIPIF1<0，若三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为6，则球O的体积为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为SKIPIF1<0，则该圆锥的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．四面体ABCD的顶点都在半径为2的球面上，正三角形ABC的面积为SKIPIF1<0，则四面体ABCD的体积最大为（）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<013．如