破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式练习题及解析答案

破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式一．选择题（共11小题）1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于A． B． C．2 D．32．如图，已知，为双曲线的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且，则双曲线的离心率为A． B． C． D．3．点是双曲线与圆的一个交点，且，其中、分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为A． B． C． D．4．已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于A． B． C． D．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为A． B． C． D．7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是A． B． C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，若，则该椭圆的离心率的取值范围是A． B． C． D．9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为A． B． C． D．10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率的值为A． B． C． D．11．已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为A． B． C． D．二．填空题（共6小题）12．已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与双曲线E交于A，B两点，满足|AF2|＝|F1F2|，且，则双曲线E的离心率e为．13．已知椭圆的左，右焦点为，，为椭圆上一点，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为．14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）．若，则椭圆的离心率为．15．点是双曲线与圆的一个交点，且，其中，分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为．16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为．17．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共1小题）18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使，求该椭圆的离心率的取值范围．

破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于A． B． C．2 D．3【解答】解：，设，，，，即，，，故选：．2．如图，已知，为双曲线的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【解答】解：连接，设，，由双曲线的定义可得，由题意可得，，由双曲线的定义可得，在三角形中，，由余弦定理可得，即为，化简可得，在直角三角形中，，，，，所以，即为，即．故选：．3．点是双曲线与圆的一个交点，且，其中、分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【解答】解：，圆必过双曲线的两个焦点，，，则，，故双曲线的离心率为．故选：．4．已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．【解答】解：圆的半径为，圆的直径为，，，，，，，故选：．5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于A． B． C． D．【解答】解：，，，△是直角三角形，，，由椭圆的定义可得，，，．故选：．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：在△中，由正弦定理知，，，即，①又在椭圆上，，②联立①②得，即，同除以得，，得．椭圆的离心率的取值范围为．故选：．7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是A． B． C． D．【解答】解：设，因为点在椭圆上，所以，所以，因为，所以，解得，由题意可知，即，由可得，即，显然成立，由可得，则，又，所以，故选：．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，若，则该椭圆的离心率的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：，△是以为底的等腰三角形，，过作交于，则有，，，，，即，解得．该椭圆的离心率的取值范围是，．故选：．9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【解答】解：由椭圆的方程可得右焦点，由题意设直线的方程为，，，，，联立，整理可得：，则①，若，则②，①②联立，可得，整理可得：，解得，故选：．10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率的值为A． B． C． D．【解答】解：由题意，由点，向右准线作垂线，设垂足分别为，，设，，．由椭圆的第二定义，可得：，．过点向直线作垂线，设垂足为，则在中，．即，解得．故选：．11．已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【解答】解：设，则，，而由椭圆的定义可知，所以，所以，则，在中，，所以在△中，，即，整理可得：，所以，故选：．二．填空题（共6小题）12．已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与双曲线E交于A，B两点，满足|AF2|＝|F1F2|，且，则双曲线E的离心率e为．【解答】解：因为|AF2|＝|F1F2|，由双曲线的定义可得|AF1|＝2c﹣2a，由，则|BF1|＝4c﹣4a，所以|BF2|＝|BF1|+2a＝4c﹣2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得cos∠AF1F2＝＝＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF1F2＝＝＝，又因为cos∠AF1F2+cos∠BF1F2＝0，即+＝0，整理可得3c2+5a2﹣8ac＝0，即3e2﹣8e+5＝0，解得：e＝或e＝1（舍），故答案为：．13．已知椭圆的左，右焦点为，，为椭圆上一点，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为．【解答】解：因为，，成等差数列，所以，即，所以．故答案为：．14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）．若，则椭圆的离心率为．【解答】解：取的中点，连接，所以可得，又因为，所以，即，而为的中点，所以，可得，因为，而，所以可得：，，在△中，由勾股定理可得，即，可得，所以，故答案为：．15．点是双曲线与圆的一个交点，且，其中，分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为．【解答】解：如图所示，圆的直径，是直角；在△中，，，，，，．故答案为：．16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为．【解答】解：设，，由椭圆的定义得①，由双曲线的定义得②，①②得，，①②得，，由余弦定理可得，所以③，设，，所以，当即时，最大值为，此时，．故答案为：．17．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为