2023年北京市密云初三（上）期末数学试卷及答案

第1页/共1页2023北京密云初三（上）期末数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.将抛物线向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是（）A. B. C. D.2.已知为锐角，，则的大小是（）A. B. C. D.3.已知的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.以上情况都有可能4.如图，中，D、E分别在上，，则的值为（）A. B. C. D.5.是函数图象上两点，且，则的大小关系是（）A. B. C. D.大小不确定6.已知二次函数，则下列说法正确的是（）A.二次函数图象开口向上 B.当时，函数有最大值是3C.当时，函数有最小值是3 D.当时，y随x增大而增大7.如图，是的直径，C、D是上两点，，则的度数是（）A. B. C. D.8.如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中．①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.在平面直角坐标系中，二次函数图象开口向上，且对称轴是直线，任写出一个满足条件的二次函数的表达式：_________．10.已知扇形的圆心角是，半径是，则扇形的弧长为_________．11.已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围为______．12.在中，，则的值为____．13.已知抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：x13y22点是抛物线上不同的两点，则_________．14.如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，则的度数是_________．15.如图，矩形中，，E是上一点，与交于点F．则的长为_________．16.如图，的弦长为2，是的直径，．①的半径长为_________．②P是上的动点，则的最小值是_________．三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分）17.计算：．18.中，，D是边上一点，延长至E，连接，．（1）求证：；（2）若，求长．19.中，，垂足为D，，求长．20.已知二次函数．（1）求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标；（2）画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值时，自变量x的取值范围．21.2022年11月29日，搭载神州十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时、在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果精确到，参考数据）．22.如图，内接于，是的直径，，垂足为D．（1）求证：；（2）已知的半径为5，，求长．23.已知函数的图象上有两点．（1）求m，n的值．（2）已知直线与直线平行，且直线与线段总有公共点，直接写出k值及b的取值范围．24.如图，是的直径，是的弦，与交于点E，，延长至F，连接，使得．（1）求证：是的切线；（2）已知，，求的半径长．25.实心球是北京市初中体育学业水平现场考试选考项目之一．某同学作了2次实心球训练．第一次训练中实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）该同学第二次训练实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：，记第一次实心球从起点到落地点的水平距离为，第二次实心球从起点到落地点的水平距离为，则_________．（填“>”“=”或“<”）．26.已知抛物线．（1）若抛物线经过点，求抛物线的对称轴；（2）已知抛物线上有四个点，且．比较的大小，并说明理由．27.如图，是等边三角形．点D是边上一点（点D不与B，C重合），，，连接．（1）判断与的位置关系，并证明；（2）过D过，垂足为G．用等式表示，与之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段（其中P，分别是O，M的对应点），延长至，使得，连接，交于点Q，称Q为点P关于线段的关联点．（1）如图，点．①在图中画出点Q；②求证：；（2）已知的半径为1，M是上一动点，，点P关于线段的关联点为Q，求的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.【答案】B【解析】【分析】向右平移只需用x减去平移的数量即可，注意要加括号．【详解】解：抛物线向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是，故选B．【点睛】本题主要考查函数的平移，能够熟练运用左加右减的口诀是解题关键，要注意左右平移要加括号．2.【答案】C【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】解：∵为锐角，且，∴．故选C．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目，熟练掌握特殊角的函数值是解题关键．3.【答案】A【解析】【分析】欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．据此判断即可．【详解】∵圆半径，圆心到直线的距离．

∴，

∴直线l与的位置关系是相离．

故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定．4.【答案】D【解析】【分析】证明，则．【详解】解：∵，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．5.【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质即可求解．【详解】∵∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∵是函数图象上两点，且∴故选：C【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象的性质．6.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数顶点式的特点依次判断求解即可．【详解】解：二次函数，其中，开口向下，顶点坐标为，对称轴为，最大值为3，当时，y随x的增大而减小，∴只有选项B正确，符合题意；故选：B．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质和特点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．7.【答案】C【解析】【分析】首先根据是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．【详解】解：∵AB是的直径，．∵和都是所对的圆周角，，，故选：C．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及三角形内角和定理，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的关键．8.【答案】D【解析】【分析】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系；（2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系；（3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可．【详解】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确；②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确；③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确．故选D【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题意知，写出的解析式满足，，由此举例得出答案即可．【详解】设所求二次函数的解析式为∵图象的开口向上，∴，可取，∵对称轴是直线，∴，得，∵c可取任意数，∴函数解析式可以为：（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴，得出二次函数的表达式．10.【答案】【解析】【分析】根据弧长的公式计算即可．【详解】解：根据弧长的公式，得，故答案为：．【点睛】本题考查了弧长的公式，熟练掌握公式是关键．11.【答案】【解析】【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限，可以得到，然后求解即可．【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．12.【答案】【解析】【分析】根据勾股定理可以求出，根据三角函数的定义即可求得的值．【详解】解：∵中，，∴根据勾股定理，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及正弦函数的定义：直角三角形，锐角的对边与斜边的比，难度适中．13.【答案】4【解析】【分析】根据表格数据确定抛物线的对称轴，再由点是抛物线上不同的两点，且纵坐标相同，利用对称轴求解即可．【详解】解：根据表格可得：当与时的函数值相同，∴抛物线的对称轴为∵点是抛物线上不同的两点，且纵坐标相同，∴解得：故答案为：4．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及利用对称轴求解，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．14.【答案】##20度【解析】【分析】连接，则，由圆周角定理得：，进而求出的度数．【详解】连接∵∴∵过点A作的切线与的延长线交于点P∴∴故答案为：【点睛】本题考查切线的性质和圆周角定理，解题的关键是连接，运用相关定理求解．15.【答案】4【解析】【分析】先利用勾股定理求出，再证明，得到，则．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．16.【答案】①.2②.【解析】【分析】①连接，易证是等边三角形，弦长为2，，即可得到答案；②先证，延长交于点E，连接交于点P，连接,则此时，即的最小值是的长，再用勾股定理求出即可．【详解】解：①连接，∵∴,∵，∴是等边三角形，∵弦长为2，∴，即的半径长为2，故答案为：2②∵，∴,∴，延长交于点E，连接交于点P，连接,则此时，即的最小值是的长，∵，∵，∴，∴，∴，即的最小值是．故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分）17.【答案】【解析】【分析】将各个特殊角的三角函数值代入求解即可．【详解】解：．【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．18.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出再由等量代换得出结合相似三角形的判定方法证明即可；（2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴∵∴∵∴；【小问2详解】由（1）得，∴即∴．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．19.【答案】【解析】【分析】先求出，由，得到，则，由勾股定理即可得到长．【详解】∵，垂足是点D，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理，锐角三角函数等，准确计算是关键．20.【答案】（1）顶点坐标为与x轴的交点坐标为和；（2）图见解析；【解析】【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即得出其顶点坐标．令，求出x的值，即得出该二次函数图像与x轴的交点坐标；（2）根据五点法画出图像即可．由求时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴下方时x的取值范围，再结合图像即可解答．【小问1详解】解：二次函数化为顶点式为：，∴该二次函数图像的顶点坐标为．令，则，解得：，∴该二次函数图像与x轴的交点坐标为和；【小问2详解】令，则；令，则；∴该二次函数还经过点和，∴在坐标系中画出图象如下：求时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴下方时x的取值范围，∵该二次函数图像与x轴的交点坐标为和，∴当时，二次函数图像在x轴下方，∴当时，自变量x的取值范围是．【点睛】本题考查二次函数一般式改为顶点式，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，画二次函数图象等知识．利用数形结合的思想是解题关键．21.【答案】【解析】【分析】在中，求出，在中，由，，求得，进一步即可得到B、C两个雷达站之间的距离．【详解】解：在中，，，，∴，在中，，，∴，∴，即B、C两个雷达站之间的距离为．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合并准确计算是解题的关键．22.【答案】（1）见解析（2）8【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，由圆周角定理得到，由得到，即可得到结论；（2）由垂径定理可得，，在中，由勾股定理可得，即可得到长．【小问1详解】证明：∵是的直径，，∴，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∴；【小问2详解】∵是的直径，，∴，，在中，，，∴，∴．【点睛】此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理的内容是解题的关键．23.【答案】（1）（2），b的取值范围为【解析】【分析】（1）把代入可求出m的值，即可得出反比例函数的解析式，根据A、B两点坐标，把代入可求出n值；（2）两直线平行，k值相等；再根据点A和点B坐标及k值为1可得答案．【小问1详解】将代入得，∴反比例函数为，把代入的，n，∴【小问2详解】∵直线平行于直线∴；∵与线段总有公共点∴当过点时，则，当过点时，则，∴，b的取值范围为．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、两平行直线的关系及直线与线段的交点个数问题，熟练掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题关键．24.【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】（1）连接，由垂径定理的推论可得垂直平分，，进一步得，，可得，得，结论得证；（2）作于点H，连接，则，由角平分线的性质定理得到，设的半径长为r,则，再证，得到，即可求得答案．【小问1详解】连接，∵是的直径，是的弦，，∴垂直平分，，∴，∴，∵，∴，∵的度数，度数的度数，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；【小问2详解】作于点H，连接，∵，，∴，∴，∵，∴，设的半径长为r，则，∵，∴，∴，∴，解得，∴的半径长为2．【点睛】此题主要考查了垂径定理及推论、圆周角定理及推论、相似三角形的判定和性质、切线的判定定理等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．25.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由图可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，得出，令第二次训练的函数解析式，且，解方程，得出，即可求解．【小问1详解】解：根据题意设关于的函数表达式为，把代入解析式得，，解得，，∴关于的函数表达式为．【小问2详解】根据题意，令，且，∴，解得，，（舍去），解得，，（舍去），∴，∴．，故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用及待定系数法确定解析式，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．26.【答案】（1）直线（2），理由见解析【解析】【分析】（1）由抛物线经过点得到，即可求得抛物线的对称轴；（2）根据抛物线过得，可得抛物线的对称轴为直线，再根据，，进而得出对称轴的范围是，可得离对称轴越远的点，函数值越大，再结合点的坐标即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线经过点，∴，即，∴，∴抛物线的对称轴为直线；【小问2详解】解：，理由如下∵抛物线过，∴，∵，∴，即，∴抛物线的对称轴为直线，∴，∵，∴抛物线开口向上，∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，即离对称轴越远的点，函数值越大，∵，∴．【点睛】此题考查了二次函数得图象和性质，熟练掌握二次函数的对称