2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=x+1，则Δx→0A.32 B.1 C.12 2.数列−2，4，−263，20，…的一个通项公式可以是(

)A.an=(−1)n⋅2n B.a3.已知曲线x22m−3+y2m−5A.(−∞,32)∪(5,+∞) B.(5,+∞)

C.(−∞,4.已知平面α的一个法向量为n=(2,3,−6)，直线l的方向向量为a=(2m,m+1,4)，若l/​/α，则实数m=(

)A.1 B.2 C.3 D.45.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a12A.15 B.18 C.23 D.276.已知函数f(x)=x+4x2,g(x)=xlnx+a，若∀x1∈[1,4]，∃xA.[5−e,174] B.[5−e,3] C.(5−e,3)7.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=6，点E，F分别为棱BBA.365 B.6658.已知二次函数y=x2+(2m−3)x−4−11m与x轴交于A，B两点，点C(1,3)，圆G过A，B，C三点，存在一条定直线l被圆G截得的弦长为定值，则该定值为A.23 B.13 C.4二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=−7A.an=2n−9 B.{an}为递减数列 10.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.f(x)在区间(−5,−2)上单调递减

B.f(x)在区间(−3,1)上单调递增

C.f(x)在x=3处取得极大值

D.f(x)在x=1处取得极大值11.已知抛物线C：x2=8y，点P是抛物线C准线上的一点，过点P作抛物线C的切线，切点分别为A，B，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2A.直线AB恒过定点(0,2) B.|k1−k2|=2

C.12.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是CD，A1A.E，F，M，N四点共面

B.BD与EF所成的角为π3

C.在线段BD上存在点P，使PC1⊥平面EFM

D.在线段A1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知圆C1：x2+y2−6x−12y=0和圆14.曲线y=(x2+x)lnx+2在点(1,2)15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，延长16.“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术(也称作“中国剩余定理”)是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

(1)已知椭圆的焦距为10，离心率为513，求椭圆的标准方程；

(2)已知双曲线的渐近线方程为y=±5x，虚轴长为18.(本小题12分)

已知数列{an}是等差数列，且a2=−25，2a3+a5=−50．

(1)求{an}的通项公式；19.(本小题12分)

已知圆C1：x2+y2+6x−10y+25=0与圆C2：x2+y2−8y+7=0交于A，B两点，圆C经过A20.(本小题12分)

如图，四边形ABCD为正方形，四边形ADEF是梯形，AF//DE，AD=DE=3AF，平面ADEF⊥平面ABCD，且ED⊥BD，点P是线段FC上的一点(不包括端点)．

(1)证明BD⊥FC；

(2)若AF=1，且直线EC与平面PBD所成角的大小为45°，求三棱锥C−PBD的体积．21.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±33x，且过点(3,−2)．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若双曲线C的右焦点为F，点22.(本小题12分)

已知函数f(x)=12x2+a(lnx−x)(a∈R)．

(1)若f(x)恰有两个极值点，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的两个极值点分别为x1，x参考答案1.C

2.D

3.D

4.C

5.B

6.B

7.C

8.B

9.ACD

10.AC

11.ACD

12.ABD

13.10x+7y−3=0

14.y=2x

15.316.20410

17.解：(1)椭圆的焦距为10，离心率为513，

则a2=b2+c22c=10ca=513，解得a=13，b=12，

故椭圆的标准方程为x2169+y2144=1或y2169+x2144=1；

(2)双曲线的渐近线方程为y=±5x，虚轴长为4，

若双曲线的焦点在x轴上，

则ba18.解：(1)设{an}的公差为d，则a1+d=−252(a1+2d)+a1+4d=−50，

解得a1=−30d=5，

所以a19.解：(1)因为圆C1：x2+y2+6x−10y+25=0与C2：x2+y2−8y+7=0交于A，B两点，

所以两圆方程作差得直线AB的方程为3x−y+9=0，

又圆C2：x2+(y−4)2=9，

所以点C2到直线AB的距离d=|−4+9|9+1=102，

所以|AB|=29−(102)2=26；

(2)C1：(x+3)2+(y−5)2=9，圆C2：x2+(y−4)2=9，20.证明：(1)连接AC，因为四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AB⊥AD，

又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面ADEF，

又AF⊂平面ADEF，∴AB⊥AF，

∵ED⊥BD，AF/​/DE，∴AF⊥BD，

又AB∩BD=B，AB，BD⊂平面ABCD，

∴AF⊥平面ABCD，

又BD⊂平面ABCD，∴AF⊥BD，

又AC⊥BD，AF∩AC=A，AF，AC⊂平面AFC，

∴BD⊥平面AFC，又FC⊂平面AFC，

∴BD⊥FC；

解：(2)以A为坐标原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则F(0,0,1)，C(3,3,0)，B(3,0,0)，D(0,3,0)，E(0,3,3)，

所以CE=(−3,0,3)，BD=(−3,3,0).设FP=λFC(0<λ<1)，

则BP=BF+FP=BF+λFC=(−3+3λ,3λ,1−λ)，

设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅BD=0n⋅BP=0，即−3x+3y=0(−3+3λ)x+3λy+(1−λ)z=0，令x=1，解得y=1，z=3−6λ1−λ，

所以n=(1,1,3−6λ1−λ)21.(1)解：由题意可得ba=33，9a2−2b2=1，

解得b2=1，a2=3，

所以，双曲线C的标准方程为x23−y2=1；

(2)解：由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)，

当直线l的斜率不存在时，方程为l：x=2，此时A(2,33),A(2,−33)，|PA|=22+(33+4)2≠|PB|=22+(−33+4)2，

所以，直线l的斜率存在，设方程为y=k(x−2)，

将上式与双曲线方程联立，化简得(1−3k2)x2+12k2x−12k2−3=0，

所以Δ=144k4−4(1−3k2)(−3−12k2)=12k2+12>0，且1−3k2≠0，

22.解：(1)f′(x)=x+a(1x−