《測圓海鏡》之已知大勾求圓徑題之四12

1-《測圓海鏡》之已知大勾求圓徑題之四(12)上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112何世強HoSaiKeung提要：以下諸題源自《測圓海鏡‧卷六》，所問者皆與“圓城圖式”有關，主要涉及勾股形之三邊成內接圓之切線，而求圓徑之問題。本文之問在“圓城圖式”中，已知大勾及另一條件，求圓徑。有時直接求圓徑或其半徑有困難，可先求輔助未知數。關鍵詞：乾隅大勾叀弦以下之問取材自《測圓海鏡‧卷六》涉及大勾之問。筆者已有文章談及已知大股而求圓徑之題名為〈《測圓海鏡》之已知大勾求圓徑題之一(9)、之二(10)及之三(11)〉，本文乃以上三文之延續。以下為圓城之一般圖式：朱朱《測圓海鏡》諸問皆涉及“圓城圖式”。《測圓海鏡》提供“圓城”兩個條件，計算圓城之半徑。地乾乃為大勾，大勾共一十八問。〈第一問〉至〈第十三問〉見前三文。以下各題之單位為“步”，又以下各題之紅色線乃為已知長度。以下各題之算法未必唯一，即筆者之算法未必與《測圓海鏡》之算法相同，所採用之未知數亦未必相同。〈第十四問〉或問：甲從乾隅東行三百二十步而止，丙出東門南行，乙出東門直行，各不知步數而立，甲廻望乙、丙悉與城叅相直。既而乙就趨向之意。丙，斜行三十四步相㑹。問：趨向之意。解： 南 B 已知 RK=34 DC=320 P H 東 K Q 西 R F A O C M E D甲今將圖之重要部分放大如下： H P Q L DC=320 丙K O 半徑FO=r 乙R F A KR=34 甲C M E ← D甲題意指甲從乾隅D東行320步而止於C，丙出東門A南行而立於K，乙出東門A直行東方而立於R，各俱不知步數，甲廻望乙、丙悉與城叅相直，即CRKL成直線。既而乙就丙，斜行34步相㑹，即RK=34。求圓城徑。今設AK=x，即丙行步數。圓城半徑為r及全徑為d，又2r=d。從圖可知，RO=RC，CL=CE，所以r+√(342–x2)=(320–r)–x–34。又ΔKRA與ΔKCM相似ΔLRO，所以以下比例成立：AKKR=KMKC，即x3434x+34r=320x–xr–x234r=286x–xr–x2(1)在ΔLRO中，依勾股定理得：(34+x)2+r2=(320–r–34–x)2(34+x)2+r2=(286–r–x)21156+x2+68x+r2=81796+r2+x2–572x–572r+2rx68x=80640–572x–572r+2rx640x=80640–572r+2rxx(640–2r)=80640–572rx=40320-286r320-r式(1)為34r=286x–xr–x2，以(2)代入得：34r=286(40320-286r)320-r–r(40320-286r)320-r–[40320-286r34r(320–r)2=286(40320–286r)(320–r)–r(40320–286r)(320–r)–(40320–286r)217r(320–r)2=143(40320–286r)(320–r)–r(20160–143r)(320–r)–(20160–143r)(40320–286r)1740800r+17r3–10880r2=1845043200–5765760r–13087360r+40898r2–6451200r+20160r2+45760r2–143r3–812851200+5765760r+5765760r–40898r2160r3–76800r2+15513600r=103219200016r3–7680r2+1551360r=103219200r3–480r2+96960r–6451200=0，分解因式得：(r–120)(r2–360r+53760)=0。取r=120﹝步﹞，即城半徑為120步。若d=2r，則上式r3–480r2+96960r–6451200=0可寫成d23–480d22+96960d3–960d2+387840d–51609600=0，分解因式得：(d–240)(d2–720d+215040)=0。取d=240﹝步﹞為圓徑。《測圓海鏡》算法曰：法曰：甲東行再自之(3203)於上﹝“上”表示某一數，此處指3203﹞，以二之斜行步乘甲東行冪，減上位為立方實，即3203–2×34×3202=25804800為方程式之常數﹝此處稱為立方實﹞。兩段南﹝原文“南”字誤，應作“東”﹞行冪內減東行、斜行相乘數為益從，即2×3202×34×320=193920，是為含d項之係數。以甲東行加五﹝按加五即加半，即加50%﹞為從亷，即

320+160=480，指以480為含d2項之係數。五分虛隅，指0.5是為含d3項之係數﹝此處之“虛”有小數義﹞。故所形成之方程式為：0.5d3–480d2+193920d–25804800=0即d3–960d2+387840d–51609600=0，分解因式得：(d–240)(d2–720d+215040)=0。取d=240﹝步﹞為得全徑。草曰：立天元一為d城徑，以減於甲東行步得320–d為小差，以自之得102400–640d+d2為小差冪也。乃置甲東行冪內加小差冪而半之得½(3202+102400–640d+d2)=102400–320d+0.5d2為大弦也﹝內帶小差分母﹞，又置甲東行冪乃減小差冪而半之得½(3202–102400+640d–d2)=320d–0.5d2為大股也﹝內帶小差分母﹞。乃置斜行步在地，以大股乘之得：34(320d–0.5d2)=10880d–17d2，合以大弦除之，不除，而又倍之得21760d–34d2為梯頭也﹝即兩个小股內寄大弦為母權寄﹞。乃置天元圓徑以半之d2，以小差分母通之得d2(320–d)，以減於大股，餘得320d–0.5d2–160d+0.5d2=160d，又倍之得320d為梯底也﹝即兩个邊股內亦有小差分母﹞，320d(21760d–34d2)=–10880d3+6963200d2為城徑冪也﹝內寄大弦及小差分母﹞，寄左，然後以天元自之為冪，以大弦通之，又以小差通之得：d2(102400–320d+0.5d2)(320–d)=d2(32768000–102400d+160d2–102400d+320d2–0.5d3)=–0.5d5+480d4–204800d3+3276800d2為同數，與左相消得：–10880d3+6963200d2=–0.5d5+480d4–204800d3+32768000d20.5d5–480d4+193920d3–25804800d2=0約去d2得0.5d3–480d2+193920d–25804800=0左右方乘以2得d3–960d2+387840d–51609600=0，分解因式得：(d–240)(d2–720d+215040)=0。取d=240﹝步﹞為得全徑。或曰開立方得二百四十步，即城徑也，合問。以下為《測圓海鏡》原文：〈第十五問〉依前問，假令東門外有樹，乙出東門南行不知步數而立，只云樹去城步少於乙南行步。甲從乾隅向東行三百二十步，望乙與樹悉與城叅相直。乙復就樹斜行三十四步到樹。問答同前。本題其實與上題相同，只是提問之法略為不同。題意指假設東門A東方外有樹R，乙出東門A南行不知步數而立於K，只云樹去城步少於乙南行步，RA<KA。甲從乾隅D向東行320步，望乙與樹悉與城叅相直，即CRKL成直線。乙復就樹斜行34步到樹。求城徑。重用上題之圖：今將圖之重要部分放大如下： H P Q L 已知DC=320 丙K O 半徑FO=r 乙R F A KR=34 甲C M E ← D甲今設勾圓差CM為y，半徑為r，CD=y+2r=320，r=½(320–y)，上題已算出：r3–480r2+96960r–6451200=0，將r=½(320–y)代入得：18(320–y)3–4804(320–y)2+969602(320–y)(320–y)3–960(320–y)2+387840(320–y)–51609600=032768000–307200y+960y2–y3–98304000+614400y–960y2+124108800–387840y–51609600=032768000–307200y+960y2–y3–98304000+614400y–960y2+124108800–387840y–51609600=06963200–80640y–y3=0y3+80640y–6963200=0，分解因式得：(y–80)(y2+80y+87040)=0。故勾圓差為80步，圓城直徑為320–80=240﹝步﹞。法曰：甲東行自之，又以斜步乘之為立方實，即3202×34=3481600為方程式之常數。置半段甲東行冪於上，以斜步乗甲東行減上位為從，½×3202–320×34=51200–10880=40320，是為含y項之係數。亷空，指以0為含y2項之係數。半步常法，指以12是為含y3故所形成之方程式為：12y3+40320y–3481600y3+80640y–6963200=0。解方程式得勾圓差。草曰：別得乙斜行，即叀弦也。叀弦得小勾股，即大股弦較也。乃立天元一y為勾圓差，以自之為冪y2，副之上，以加於甲東行冪而半之得½(y2+3202)=0.5y2+51200為大弦也﹝寄小差分母﹞，下以減於甲東行冪而半之得(3202–0.5y2–51200)=–0.5y2+51200為大股也﹝寄小差分母﹞。注意大弦應為=1y(0.5y2+51200)注意大股應為=1y(–0.5y2+51200)以下算法分母之y略去，乃置斜步以大股乘之，得34(–0.5y2+51200)=–17y2+1740800合大弦除，不除，便以此為小股﹝寄大弦分母﹞。又置斜步以甲東行乗之，得34×320=10880，合大弦除，不除，便以此為小勾而又以通母分通之得10880y，為同分小勾也﹝寄大弦分母﹞注大股乘時有小差分母，今大勾無母，故又以齊同之﹞。又置斜步以大弦通之，得34×(0.5y2+51200)=17y2+1740800為同分小弦也。三位相併得：–17y2+1740800–17y2+1740800+10880y=10880y+3481600，為勾圓差也，寄左，然後置天元以大弦通之，得y(0.5y2+51200)=0.5y3+51200y為同數，與左相消得：10880y+3481600=0.5y3+51200y12y3+40320y–3481600y3+80640y–6963200=0，分解因式得：(y–80)(y2+80y+87040)=0。故勾圓差為80步，圓城直徑為320–80=240﹝步﹞。或曰開立方得八十步，即勾圓差也。以勾圓差減於甲東行步，餘二百四十步，即城徑也，合問。即：d=320–80=240。與前算法結果相同。以下為原文：〈第十六問〉或問：南門外不知步數有樹，甲從乾東行三百二十步而立，乙出西門便南行望樹，及甲與城叅相直。卻就樹，斜行二百五十五步至樹。問答同前。解： 南 B乙 已知 BG=255 y DC=320 樹G T P 設BQ=y H 東 K Q 西 R F乙↑ A O C M E ←D甲題意指南門P外南方不知步數G有樹，又甲從乾D點向東行320步至C而立，乙出西門F便南行，至B點回頭望見樹而止，B及甲與城叅相直。乙行就樹，斜行BG255步至樹。求圓城徑。今設BQ=y，圓城半徑為r。從上圖可知BD=y+2r，

又BF=BK及CE=CK。又BC=BK+KC=CE+BF=320–r+y+r=320+y。在大直角三角形中，依勾股定理BD2+DC2=CB2，即：(y+2r)2+3202=(320–r+y+r)2=(320+y)2(1)ΔBDC與ΔGKO相似，所以以下比例成立：y+2r320=y+r-255r從(2)可得yr+2r2=320y+320r–816002r2–320r+81600=320y–yry(320–r)=2r2–320r+81600y=2r2-320r+81600320-r從(1)得(y+2r)2+3202=(320+y)2y2+4r2+4yr+102400=102400+y2+640y4r2+4yr=640yr2+yr=160y(4)以(3)代入(4)得：r2(320–r)+r(2r2–320r+81600)=160(2r2–320r+81600)320r2–r3+2r3–320r2+81600r=320r2–51200r+13056000r3–320r2+132800r–1305600=0，分解因式得：(r–120)(r2–200r+108800)=0。取r=120﹝步﹞，即城半徑120步。《測圓海鏡》算法曰：法曰：二行相乘於上320×255，以半之甲東行乗之為實，即320×255×320/2=13056000為方程式之常數。二行相乘於上320×255，又半之甲東行3202以乘甲東行，加上位為益從，即320×255+320/2×320=132800是為含r甲東行為從亷，指320是為含r2項之係數。一步虚法，指1是為含r3項之係數。故所形成之方程式為：r3–320r2+132800r–1305600=0，分解因式得：(r–120)(r2–200r+108800)=0。取r=120﹝步﹞，即城半徑120步。算法與筆者相同。草曰：立天元一r為半徑，便以為小勾，其斜行255即小弦也。乃以甲東行320為大勾，以小弦乘之，復以天元除之，得320×255/r=81600/r即大弦也。又倍天元減東行餘320–2r為小差，以減大弦餘81600/r–(320–2r)=2r–320+81600/r為大股也。又倍天元以減股餘(2r–320+81600/r)–2r=–320+81600/r=(–320r+81600)/r為大差也，卻以半小差160–r乗之，得下式(160–r)(–320r+81600)/r=(–51200r+1305600+320r2–81600)/r為半徑冪寄左，乃以天元冪與左相消得(–51200r+1305600+320r2–81600)/r=r2–51200r+1305600+320r2–81600=r3r3–320r2+132800r–1305600=0，分解因式得：(r–120)(r2–200r+108800)=0。取r=120﹝步﹞，即城半徑120步。或曰開立方得一百二十步，倍之，即城徑也，合問。〈第十七問〉或問：南門外不知步數有槐樹一株，東門外不知步數有柳樹一株，槐柳相距二百八十九步。甲從乾東行三百二十步斜望槐、柳，與城叅相直。問答同前。解：題意指南門P外南方不知步數有槐樹一株S，東門A外東方不知步數有柳樹一株R，槐柳兩樹相距二百八十九289步。甲從乾D東行三百二十320步至C可斜望槐、柳，與城叅相直。求圓城直徑。 南 B 設SP=y RS=289 DC=320 S T P H 東 K Q 西 R F A O C M E D甲今將圖之重要部分放大如下： S 設SP=y H P Q 設SL=x L P 已知DC=320 丙K O 半徑FO=r 乙R F A RS=289 甲C M E ← D甲已知DC=320及RS=289﹝見上圖紅線部分﹞。今設SP=y，SL=x，圓半徑為r，直接求r有困難，今先求x，再從x算出圓半徑。從上圖可知ΔSEC、ΔLRO與ΔSLO相似，以下比例式成立：SECE=LORL=SLLO即y+2r320-r=r289-x從後等式可知x(289–x)=r2(2)r=√[x(289–x)](3)又從ΔSLO直角三角形可知：x2+r2=(y+r)2y=√[x2+r2]–r(4)從(1)式首尾兩項可得：y+2r320-r=yr+2r2=320x–xry=320x比較(4)與(5)式：320x-xr-2r2r=√[x2320x–xr–2r2=r√[x2+r2]–r2320x–xr–r2=r√[x2+r2]320x–x√[x(289–x)]–289x+x2=√[x(289–x)]√[289x]﹝以(3)式代入﹞31x–x√[x(289–x)]+x2=√[x(289–x)]√[289x]31–√[x(289–x)]+x=17√(289–x)31+x=17√(289–x)+√[x(289–x)]=√(289–x)(17+√x)961+x2+62x=(289–x)(17+√x)2=(289–x)(289+34√x+x)961+x2+62x=83521+9826√x+289x–289x–34x√x–x2–82560+2x2+62x=√x×(9826–34x)4x4+3844x2+6816153600–330240x2–10237440x+248x3=96550276x+1156x3–668168x24x4–908x3+341772x2–106787716x+6816153600=0x4–227x3+85443x2–26696929x+1704038400=0，分解因式得：(x–225)(x3–2x2+84993x–7573504)所以SL=225。從(3)式可知r=√[x(289–x)]=√[225(289–225)]=√[225×64]=15×8=120。即圓城半徑為120步。《測圓海鏡》之算法不同，其法為先算出RO。 S RO=z H P Q RS=289 L P DC=320 丙K O 半徑FO=r 乙R F A 甲C M E ← D甲今設RO=z，從上圖可知ΔROC等腰，即RO=RC=z，又可知ΔSRO及ΔSCE相似，所以以下等式成立：CESC=RORS即320-r92480–289r=z2+289z289r=92480–z2–289zr=92480-z2因為RO=RC=z及CL=CE，所以以下等式成立：√(z2–r2)+z=320–r√(z2–r2)=320–r–zz2–r2=102400+z2+r2–640r–640z+2rz0=102400+2r2–640r–640z+2rzr2–320r–320z+rz+51200=0以(6)代入上式得：(92480-z2-289z289)2–320(92480-z2-289z289)8552550400+z4+83521z2–184960z2–53453440z+578z3–8552550400+92480z2+26726720z–26726720z+26726720z–289z3–83521z2+4276275200=0z4+289z3–92480z2–26726720z+4276275200=0，分解因式得：(z–136)(z3+425z2–34680z–31443200)=0。所以z=136。r=92480-z2-289z289=92480-即圓城半徑為120步。法曰：二行相乗得數，又自增乘為實，即(289×320)2=