数学课堂探究：概率的加法公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究互斥事件与对立事件的异同剖析：（1）从概念上区别：“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件．因此,对立事件必须是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件．“对立”是所研究的互斥事件中两个事件的非此即彼的关系．对立事件的两个必要条件是：①A与B互斥，②A与B在一次试验中至少有一个发生．（2）从集合的角度区别：A和B互斥是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，即A∩B＝，也就是没有公共部分的基本事件．易知,必然事件与不可能事件是互斥的．如果事件A1，A2，…,An中的任何两个都是互斥事件，那么我们就说,事件A1，A2，…,An彼此互斥．从集合角度看，n个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交．例如，从一堆产品（其中正品和次品都多于2个)中任取2件,其中：①“恰有一件次品和恰有两件次品"就是互斥事件;②“至少一件次品和全是次品”就不是互斥事件；③“至少有一件次品和全是正品”也是互斥事件．事件A与事件B对立是指由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集,即满足条件A∩B＝且A∪B＝U。归纳总结互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之中必须有一个发生．因此,对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．题型一互斥事件与对立事件的判断【例1】判断下列各对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中（1)“恰有1名男生"和“恰有2名男生”；(2）“至少有1名男生”和“至少有1名女生"；（3)“至少有1名男生”和“全是男生"；(4）“至少有1名男生"和“全是女生”．分析:判断两个事件是否互斥,就是研究代表两个事件的集合有无公共部分,若有，则一定不互斥；若没有，则一定互斥．互斥是对立的前提，若两个事件互斥，且它们的集合互为补集，则两个事件是对立事件,如果两个事件不是互斥事件,则它们一定不是对立事件．解：（1）是互斥事件，但不是对立事件．理由是：所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能选出“恰有2名女生",因此二者不对立．（2）不是互斥事件，也不是对立事件．理由是“至少有1名男生"包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种情况，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种情况，它们共同含有“1名男生、1名女生”，能够同时发生,因此不互斥也不对立．（3）不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生"包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这和“全是男生”能同时发生，因此不互斥也不对立．（4)是互斥事件，同时也是对立事件．理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生，但其中必有一个发生,故它们既是互斥的，又是对立的．从集合的角度来看，互斥事件就是交集为空集的事件，对立事件就是互补的事件，对立一定互斥,互斥不一定对立，不互斥一定不对立。题型二互斥事件、对立事件概率公式的应用【例2】一盒中装有形状大小相同的各色球12只,其中5只红球、4只黑球、2只白球、1只绿球．从中随机取出1球，求:(1）取出1球是红球或黑球的概率；(2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．分析：可按互斥事件和对立事件求概率的方法,利用公式求解．解法一:（1)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝eq\f(9，12）＝eq\f(3，4）.（2)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为eq\f（5＋4＋2,12)＝eq\f（11,12）.解法二:（利用互斥事件求概率)记事件A1＝｛任取1球为红球｝;A2＝｛任取1球为黑球}；A3＝｛任取1球为白球｝；A4＝{任取1球为绿球｝，则P(A1）＝eq\f（5，12），P（A2）＝eq\f(4,12）,P（A3）＝eq\f(2，12），P(A4）＝eq\f(1,12)。根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式得（1）取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1）＋P（A2）＝eq\f(5,12）＋eq\f(4，12）＝eq\f(3,4).(2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为P（A1∪A2∪A3)＝P（A1）＋P（A2)＋P（A3）＝eq\f(5，12）＋eq\f(4,12）＋eq\f(2，12）＝eq\f（11,12).解法三：(利用对立事件求概率的方法)（1）由解法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4.所以取得红球或黑球的概率为P（A1∪A2)＝1－P（A3∪A4)＝1－P(A3)－P（A4）＝1－eq\f（2,12）－eq\f(1,12)＝eq\f(9，12)＝eq\f(3，4）。（2）A1∪A2∪A3的对立事件为A4,所以P（A1∪A2∪A3）＝1－P（A4)＝1－eq\f(1，12）＝eq\f（11，12）.反思(1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件,再决定使用哪一公式,不要由于乱套公式而导致出错．（2）要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用．(3)对于分类情况较多的问题，可以利用“正难则反”的思想先求其对立事件的概率。题型三易错辨析【例3】把10张卡片分别写了数字0,1，2,3,4,5,6,7，8,9后，任意叠放在一起,从中任取一张，设“抽到大于3的奇数”为事件A，“抽到小于7的奇数”为事件B.试求P(A∪B）．错解：因为P（A)＝eq\f（3，10）,P（B）＝eq\f(3，10），所以P(A∪B）＝P(A)＋P（B)＝eq\f(3,10）＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5）.错因分析：A,B两事件不是互斥事件，事件A包含抽到数字是