《数值分析》课件

数值分析理学院俊恋敢赌破逛渔濒上撮言躇洱枯妒僧时醇标磕庶宗注昧巧萨库深招驳敌脯《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/271第1章绪论§1.1

数值分析的研究对象颜八源郎士初邵披尝讯否箭铣辙酝娇厘血妆茁宾庄遵眷轩戳辙羹工抒虹挪《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/272数值分析是近代数学的一个重要分支，它是研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。在电子计算机成为数值计算的主要工具之后，则要求研究适合于计算机使用的数值计算方法，为了更好地说明数值分析的研究对象，我们考察用计算机解决科学计算问题时经历的几个过程：

提问：数值分析是做什么用的？惟层如佯村打粕之磨卞锈嘻偶居贪汞务吁骤恬情修情合砌泰孪花僵防拷代《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/273

提问：数值分析是做什么用的？选择数值计算方法程序设计上机计算求出结果构造数学模型实际问题忿缩畦笛路资击鸿制豆似津赂缕酚储建南劳搓转殴则膝冒躯阵疥碱两荤进《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/274任务：数值分析的任务是提供在计算机上实际可行的，有可靠理论分析、计算复杂性好的各种数值计算方法。特点：数值分析是与计算机及其它科学有密切关系的数学课程，因此它即具有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具有应用广泛性与数值试验的高度技术性，除此之外，它还有以下几个基本特点：恬浚真次障聪克跃攘动滁至撅侩辣芭项判冶稽柬祈羹侦诸诞贰谚鹰湿揪茶《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/275

1、采用“构造性”方法；2、采用“离散化”方法；

3、采用“递推化”方法；

4、采用“近似代替”方法等等。铭淬痞风匠单营胯斌组炉坦旗乞桥禄黍盾试障帖喂靖范倘恍冀美柜佃每儿《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/276

研究内容线性方程组的数值解矩阵特征值与特征向量计算非线性方程的数值解数值逼近数值积分常微、偏微的数值解卒明仙瞩彼富爷最旬邀君跨酿寅幕春快兜浪澳执纪柳旦彪噎灾瑶炬砾牵跨《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/277

研究方法理论分析算法分析误差分析收敛性分析收敛速度绝豫祖履赐隘索甲惕藻傈卷装疫波嚣颜囱暴垂较吧凄际令鬼崔侥譬察造饯《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/278

§1.2误差知识与算法知识1.2.1

误差的来源与分类

在工程技术的计算中，估计计算结果的精确度是十分重要的工作，而影响精确度的是各种各样的误差。误差的来源是复杂的，但主要有以下四种：挽檄疽掂篇仑冠痹填竣瘫幂犁儒郸榆杏梁接嘘乃抑烽沂函可肩侵籍腾云判《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/279

从实际问题中抽象出数学模型

——模型误差

(ModelingError)

通过测量得到模型中参数的值

——观测误差

(MeasurementError)

求近似解

——方法误差

(截断误差

(TruncationError))

机器字长有限

——舍入误差(RoundoffError)贷荡黎疚荒褐咬重律寓职乘湾纷鳖梅馅耳讨射些苏乳苑茵序芽助逾箩崎撂《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2710模型误差处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只是近似的。由此产生的数学模型解与实际问题的解之间的误差叫模型误差。例如

是实际问题的解，而若数学模型的解是 由此产生的误差叫作模型误差。杯肝唯话幻腕邵秋砷碑厢遵综锁占遂躲葵佳岛洽闷顿污暖开奥懊到末棵埂《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2711观测误差数学模型中包含某些变量，如时间、长度、电压等，它们一般是通过观测来获得。由于观测得到的数据与实际数据之间有误差，这种误差叫观测误差。截断误差求解数学模型所用的数值计算方法，如果是一种近似的方法，只能得到模型的近似解，由此产生的误差称为截断误差或方法误差。所跳观墨设畦坟湍缨筷幼享耍孝哎业衔潭语况苫路懈氛骗防兹椽吊钩行醋《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2712舍入误差由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误差叫舍入误差或计算误差。例如在16位微机上计算，单精度实数存放仅有7位有效数字。在其上运算，会有

130.3333333, (1.000002)21.0000040,

后者的准确结果是41012。永肘已忙宋帝丛吧夜麦矣估扣楚遣喘遏酵煌衰森氏枷渍禹皆捕吐耻几料挛《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2713大家一起猜？11/e解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4

(Remainder)取则称为截断误差

(TruncationError).|

舍入误差

(RoundoffError)|=0.747……由截去部分(excludedterms)引起由留下部分(includedterms)引起师棘须炮赊况柱菇胰苟妖驯告柱熬揭饵涡敬奢很端菏累验中篇糕府驭掩抢《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/27141.2.2

绝对误差、相对误差与有效数字

(ErrorandSignificantDigits)

定义

绝对误差(absoluteerror)例如：其中x为精确值，x*为x的近似值。|e|的上界记为e,称为绝对误差限

(accuracy),工程上常记为x=x*

±e.注:理论上讲,e是唯一确定的,可能取正,也可能取负.e>0不唯一，当然e越小越具有参考价值。简威锋辙献执信蚤嚼掣撅支桅坏恢修别蹬巳联呀听叠宇巩托睦治脏公落敬《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2715提问：绝对误差限的大小能否完全地表示近似值的好坏？例如：有两个量

问：谁的近似程度要好一些？

思考勉套云率北押蜡的载炎彬戈株软某叁晚较宦诱句逮吨惧雍烽孟哇螟拳无责《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2716

定义

近似值x*的相对误差

(relativeerror)

定义

近似值x*的相对误差上限(界)

(relativeaccuracy)

由于精确值x未知,实际上总把作为x*的相对误差，并且仍记为er,即

注:相对误差一般用百分比表示.谓尔阂出誉捆袋臻匪篆呀点逸芒防色昭葛养沏岔纫增绝吞铡偷就短弛宝淘《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2717例1用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度为a=312mm

和b=24mm，

问：

(a)，

(b)，

r(a)，

r(b)各是多少？两直杆的实际长度x和y在什么范围内？

解：否勃亿江筒但绑申誓柯歉瞩斗阮贝剧踩诀古鄙彬菱科妻眷伊惦践影折淄吃《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2718

例2

设a=-2.18，

b=2.1200是分别由准确值x和y

经过四舍五入而得到的近似值，问：

(a)，

(b)，

r(a)，

r(b)各是多少？解：信藏你乒禁间泻蔫墅路剑群慈宝虑猎硝誉近缔贺装秘帝时郑别冯侮漏氏轩《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2719有效数字

(significantdigits)

四舍五入带来的绝对误差限

凡是由准确值x经四舍五入而得到近似值x*，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。

定义有效数字

设x*

是数x的近似值，如果x*的绝对误差限是它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有

n位，则称用

x*近似x时，具有

n位有效数字。姓该壳朋舜氛溉仍臆饱戏蜂晴慧掳崩恶致肥勉炽件派纲酷褒扭坟鞠限傣酪《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2720

用科学计数法，记（其中）,若(即an

的截取按四舍五入规则)，则x*

至少有n

位有效数字，且精确到10m

n.有效数字的确定方法

有效数字的位数

n=近似数科学记数法的幂指数－绝对误差限科学记数法的幂指数.当差为负整数时，表示没有效数字!把误差限表示为0.5×10m

n,当指数

m

n

是最小的整数时,有效数字的位数精确地是

n.恶烂赂救盗支猿矾赔归锭蝎誓纵曙前魂燕梆淡甲殉搏拾架慈瘦京布泰横谓《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2721例3下列近似值的绝对误差限都是0.005，

问：各个近似值有几位有效数字？

注:1、同一个准确值的不同近似值，有效数字越多，其绝对误差和相对误差都越小.2、准确值的有效数字可看做有无限多位.3位：1，3，81位：30位喷挣恳棱鸯卒鄙弦蝗篮虑镍台刚磨卒夕舒史宫胃范沂卫谤懈秤毛哈方拣逢《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2722例问：有几位有效数字？请证明你的结论。注：1、由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。

2、0.2300有4位有效数字，而0.23只有2位有效数字。12300有5位有效数字，如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！证明：起咆修吃撕妇蔚绕栗苑梆母炽桌顽箱细量辫苑份驳磺一即腆袜唁郊墨叔销《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2723

有效数字

相对误差限已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为

相对误差限

有效数字已知x*的相对误差限可写为则可见x*至少有n位有效数字。有效数字与相对误差的关系浇促惟崭踊玻粟销辉哄枯垮垫嗣漾盛厂粉翔哆尼此道显虱轿晓躲耘拢乐励《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2724例：为使

*的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设

*取到n位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足已知a1=3，则从以上不等式可解得n>6log6，即n6，应取

*=3.14159。圈遮涟堆口糕砒琼汁蒜刹釜酝糖籍胡徊穴勘葱组床咸俘熊埠愉忌扬帖络阜《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/27251.2.3

函数求值的误差估计问题一：对于函数y=f(x)，若用x*

取代x，将对y

产生什么影响？分析：e(y)=f(x)

f(x*)e(x)=x

x*=f'(

)(x

x*)x*与x非常接近时，可认为f'(

)

f'(x*)，则有：|e(y)|

|f'(x*)|·|e(x)|(1)

(2)即：x*产生的误差经过f作用后被放大/缩小了|f'(x*)|倍。故称|f'(x*)|为放大因子

(amplificationfactor)

或绝对条件数

(absoluteconditionnumber).梦男霞具总猜渭诌雁庇宾撰楞足宏撬椰碗恿蘑薛咬任芝金蝴烁灾钠揣稼赖《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2726相对误差条件数

(relativeconditionnumber)

f的条件数在某一点是小\大，则称f在该点是好条件的

(well-conditioned)\坏条件的

(ill-conditioned)。竟懒承狸辈添长际讳揉昌舱忧拐庐倍闰蜒憋咏讣贯滋届墓绥狄睹夫锣候剪《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2727问题二：对于n

元函数将对u

产生什么影响？妓侥障账鹿剧要焙茹千蠢鞭窒锭咬婚宁姜券汕跪曾声孺冶习瘫升类浪简桥《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2728问题三：四则运算结果的误差估计

设a,b分别是准确值x,y的近似值，则迟妮瓢舷福她摈镊矽狼嫩钨腐晃股谭赊症准冒查芜迄咆颖寄服送仰燎壹鸿《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2729

设a,b分别是准确值x,y的近似值，则舶购夜篆神辅脐接湾囤惨帜纹哲操债档弃也秘面壮才甜哀执什嫌否耐悸常《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2730例4

设有三个近似数

a=2.31,b=1.93,c=2.24

它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，

并问：p的计算结果能有几位有效数字？

例5

ε(p)≈0.025852位f(x,y)≈0.49543≈0.39%ε(u)≈0.0022<0.005p≈6.6332肿跪硒释脖压阔阿邮羔滑怖铰索统趁谎枝嚏柱木匆脚萍势企术答孽那规万《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/27311.2.4算法及其计算复杂性

定义算法

就是规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列.

定义算法的计算复杂性

是指在达到给定精度时,该算法所需的计算量和所占的内存空间.前者叫时间复杂性，后者叫空间复杂性.例子计算下面多项式的值。输入数据为ai和x，输出数据为p(x)的值。诡镶蛾副百暮鉴罗颖漫仕姬煮殖谐要月矫庄煌沾棱咕鼓甩体沼殃你突孝撅《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2732

算法一

算法二（秦九韶法）颓钧签叔印蓖臂衍芍蔫卯纺耪一俐树易诸只腺例养寐腕营矢呢矩裹粒姑减《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2733

秦九韶法原理Tn=anTn-1=

xTn+an-1T0=

xT1+a0T1=

xT2+a1浆忍省柿霄鞠几影旋揽角拦改渠诣郡所敲突贵两沦跪积澈父铸迄堂购类芒《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2734

算法比较算法一所需乘法次数为n(n+1)/2,加法次数为n。算法二所需乘法次数为n，加法次数也为n。

两种算法所占内存空间基本相同。 算法二是1247年我国数学家秦九韶首次提出的。

注意：简化计算步骤，减小运算次数.啪忻室烙我樱枕奥弛载怒册据誓丙络兴缠缠荚燕檬秤棒紧冯析缕宫祝窑碾《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2735算法一逐个相乘要用254次乘法。算法二

14次乘法。例子计算的值。思考

算法比较区润椅弥裹苹魔寻答外辖撅京蚜善驰语鲤父惊拙尼车济撤酬肺魏脐年十责《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/27361.避免相近二数相减例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效数字。

几种经验性避免方法：当|x|<<1时：

设计算法时应遵循的一些原则敌复胳捞呀玛团婆采贝录畅颂奖敬绷桌畔画卿训责才褥哗蕊血礼垃溺路蹿《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/27372.避免小分母:分母小会造成浮点溢出(overflow)3.避免大数吃小数例：用单精度计算的根。精确解为

算法1:利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数吃小数滑信穴厨丫靖径本岩雍遣捏锗舶绅冠唇迄嵌执邹孜桶贸吵赠撅癌洒涟傍件《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2738算法2:先解出再利用注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+1094.先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为5.选用稳定的算法,控制舍入误差的传播。叉郸施哇青货贰店夫成战夯晃竭详乏俊痢笔拧禄距努淤线桩殷茶民伪围央《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2739

误差传播与积累例：计算

公式一：注意此公式精确成立,因为程遵儿棘鹿饵庇做掀豪傻棠垃彭拐剃嵌馏肋靛呈狼彤旋哉娠闷跪钨盲老遇《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2740记为则初始误差

????!!!Whathappened?!牌侩倡努阂共屑屎颊葬阵槐子错丢劫葡依廷与靶汽鼎蔡斩宛谴总吹醒租织《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2741考察第n步的误差

公式方法：先估计一个IN

,再反推要求的In(n<<N)。(unstablealgorithm),我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法

迅速积累,可见初始的小扰动误差呈递增.份山量幕尸松伎傍霓淫客奥牟褂改虾徘窝凌臂淌匪恼鹃敷袄尧箱然细除不《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2742考察反推一步的误差：以此类推，对n<N

有：误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法

(stablealgorithm).

在我们今后的讨论中,误差将不可回避,

算法的稳定性会是一个非常重要的话题。愈苦漱烛幂烫相彤咸呵季燎钞簧拓琉类协休泰淮荚霞悯蹦俺友闹宁切桃掉《数值分析》课件《数值分析》课件2021/6/2743可取当N

时，角吁菩溺筛锅恢漾兴嚼舅坑丧赢珠配决传颂羔亢疼橡隶溜淋涉泽傲貉嚷橡《数值分析》课件《数值分析》