电磁场与电磁波-第五章时变电磁场

第五章时变电磁场1本章内容5.1麦克斯韦方程5.2时变电磁场的边界条件5.3

波动方程与位函数5.4

位函数求解5.5

时变电磁场的唯一性定理本章内容5.6时变电磁场的能量及功率5.7正弦时变电磁场5.8

正弦时变电磁场的平均能量与功率5.9

从麦克斯韦方程到基尔霍夫电压定律2引言恒定电磁场与时变电磁场场的比较1.恒定场的特点涉及的所有物理量仅是空间坐标的函数遵循的定理和定律是麦克斯韦以前的电磁学说，如库仑定律高斯定律电荷守恒定律恒定电流连续性原理3安培环路定律磁通连续性原理电场和磁场相互联系成为不可分割的整体。2.时变场的特点涉及的所有物理量不仅是空间坐标的函数，而且是时间的函数；遵循麦克斯韦方程；电场和磁场可以共处于一个空间，但彼此独立，服从各自的基本方程。

英国科学家麦克斯韦将恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组高度概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。4位移电流问题的提出

法拉第电磁感应定律提出变化的磁场产生电场，根据电磁之间的对偶关系，那么变化的电场是否会产生磁场呢？

麦克斯韦发现恒定磁场中的安培环路定律用于时变电磁场时有矛盾，从而提出位移电流的概念，将此定律进行修正和完善。安培环路定律取S1面有取S2面有线积分结果不同！图

交变电路用安培环路定律真空电容器中通过的时变电流是什么？5麦克斯韦认为电荷与电流连续性定理符合电荷守恒定律是无可怀疑的，而安培环路定律是在恒定情况下得出的需加以修正。麦克斯韦的两个假设静电场中的高斯定理在时变情况下仍然是正确的；全电流连续位移电流6位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；

在时变场中，不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。这就是麦克斯韦位移电流假说；

时变电场与时变磁场在空间相互转化，麦克斯韦由此预言电磁波的存在。结论流进曲面S1的传导电流等于流出S2的位移电流位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。7

综上所述,电磁场基本方程组(Maxwell方程)为全电流定律电磁感应定律磁通连续性原理高斯定律

5.1

麦克斯韦方程8

•全电流定律——麦克斯韦第一方程,表明传导电流和变化的电场都能产生磁场；时变磁场是由传导电流，运流电流以及位移电流共同产生的。•电磁感应定律——麦克斯韦第二方程

,表明电荷和变化的磁场都能产生电场；时变电场是有旋有散的。•磁通连续性原理——表明时变磁场是有旋无散场,磁力线总是闭合曲线；•麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从中推得。四个方程所反映的物理意义9时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。10为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷守恒方程以及说明场量与媒质特性关系的本构方程，即对于不随时间变化的静态场，则那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电场与磁场不再相关，彼此独立。式中代表产生时变电磁场外加的电流。11在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦克斯韦方程的一段评述：“这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。假使我们已知此处的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些，在时间上稍为迟一些所发生的事件”。评价12麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于人类历史的进程也起了重要作用。正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“弗曼物理学讲义”中写道“从人类历史的漫长远景来看──即使过一万年之后回头来看──毫无疑问，在十九世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，与这一重大科学事件相比之下，同一个十年中发生的美国内战（1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而黯然失色”。评价13处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。评价14

时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，应用积分形式的基本方程：5.2时变电磁场的边界条件法向分量电场的切向分量根据15磁场的切向分量根据电场：

即磁场：16两种特殊情况的分界面（1）两种理想介质的分界面17边界条件为：结论:理想导体内部无时变电磁场，电磁波入射到其表面发生全反射，导体表面有时变的面电荷和面电流。（2）理想介质和理想导体的分界面理想介质中理想导体中18例已知内截面为a

b的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为

其坐标如图示。试求波导中的位移电流分布和波导内壁上的电荷及电流分布。波导内部为真空。

azyxb19解①位移电流为

②在y=0

的内壁上在y=b的内壁上20在x=0的侧壁上，在x=a

的侧壁上，在x=0

及x=a

的侧壁上，因，所以。zyx内壁电流215.3

波动方程

电磁波在空间传播过程中,电场和磁场特性的表征由求解波动方程而得到。设媒质是线性均匀且各向同性，对于理想介质的无源区域，对于电场而22在直角坐标系中此方程可分解为三个标量方程，即E的波动方程23H的波动方程研究电磁波的传播问题都可结为在给定边界条件和初始条件下求波动方程的解。波动方程的解释在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。对于磁场同理可得意义24

恒定场中，电场能量储存在电场中，磁场能量储存在磁场中，能量密度分别为问题的提出时变场中，电场磁场同时存在，电磁能量密度为多少？麦克斯韦假设时变场中任何时刻空间任一点的电磁能量密度为

5.6

时变电磁场的能量及功率25说明电磁能量随时间变化，即电磁场的相互作用导致电磁波动，电磁波动伴随电磁能量在空间的流动（传播）。任何时刻空间任一点的电磁能量是如何传播的？电磁场中任一体积V内储存的总电磁能量为1.坡印廷定理

坡印亭定理给出了电磁能流和电磁场量之间的一般关系，反映了电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律。26麦克斯韦方程两式相减27

体积V内，单位时间电磁能量的增加率加上焦耳热功率等于单位时间进入闭合面S的电磁功率。坡印亭定理坡印亭定理的物理意义坡印亭定理是电磁场的能量守恒表达式是宏观电磁现象的一个普遍定理；坡印亭定理适用于时变场也适用于恒定场；注意28

表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量（垂直穿过单位面积的功率）

，亦称为功率流密度，S的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。2.坡印亭矢量W/m2

定义坡印亭矢量电磁波的传播29例

一长L，流有恒定电流I的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内外半径分别为b,c，上端内外导体间的电压为V，导体间为真空，求同轴线中传输的功率。1、同轴线内外导体为理想导体时：内外导体间：高斯定理能流只在内外导体间存在，功率流密度为：流过上端面的功率为：安培环路定理导体中及电缆外E=H=0302、同轴线内外导体为良导体时：内外导体间：电缆外无功率流。内导体中：流入内导体中的功率密度：流入内导体的总功率：31流入下端面的功率为：外导体中：流入外导体中的功率密度：流入外导体的总功率：流出上端面的功率为：32正弦时变电磁场的概念如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦时变电磁场。

研究时谐电磁场具有重要意义在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信的载波等都是时谐电磁场。

任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。

5.7

正弦时变电磁场33时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化。

设是一个以角频率

随时间t作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成

其中时间因子空间相位因子利用三角公式式中的Am为振幅、为与坐标有关的相位因子。实数表示法或瞬时表示法复数表示法复振幅时谐电磁场的复数表示34复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。照此法，矢量场的各分量Ei（i表示x、y

或z）可表示成各分量合成以后，电场强度为

有关复数表示的进一步说明复矢量真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关的部分就可表示复矢量。35实际中，通常测得的是正弦量的有效值（即平方的周期平均值），以表示正弦量的有效值，即即最大值表示复矢量和有效值表示复矢量的之间的关系为则电场强度瞬时矢量与复矢量的关系为只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。36例

将下列场矢量的瞬时值形式写为最大值表示的复矢量形式。（2）解：（1）由于（1）所以37（2）因为故所以38

例

已知电场强度最大值表示的复矢量解其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量39以电场旋度方程为例，代入相应场量的矢量，可得将、与交换次序，得上式对任意t

均成立。令