陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学（文） 含答案

高三年级教学质量监测数学（文科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.（）A.0B.C.D.3.抛物线的准线方程是（）A.B.C..D.4.跑步是一项健康的运动，可以让我们的身体更加强壮.某跑步爱好者坚持每天跑步，如图，这是该跑步爱好者某周跑步时长的折线图.该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是（）A.25B.35C.37.5D.395.某企业举办职工技能大赛，经过层层选拔，最终进入决赛.假设这3名职工的水平相当，则没有获得这次职工技能大赛第一名的概率是（）A.B.C.D.6.已知函数，若，则（）A.-1B.1C.-5D.57.设数列是递增的等比数列，公比为，前项和为.若，则（）A.31B.32C.63D.648.如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（）A.B.C.D.9.已知函数，对任意的，关于的方程有两个不同实根，则整数的最小值是（）A.1B.2C.3D.410.已知为第一象限角，若函数的最大值是，则（）A.B.C.D.11.已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.12.已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（）A.B.C.D.第II卷二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数满足则的最小值是__________.14.设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则__________.15.在中，在上，且在上，且.若，则__________.16.已知函数若，且，则的取值范围是__________.三､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）在中，内角的对边分别是，且.（1）求的值；（2）若的周长为18，求的面积.18.（12分）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将20只小鼠均分为两组：对照组（不加药物）和实验组（加药物）.测得20只小鼠体重（单位：）如下：对照组：实验组：对照组和实验组的小鼠体重的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.（1）求；（2）判断该药物对小鼠的生长是否有显著的抑制作用（若，则认为该药物对小鼠的生长有显著的抑制作用，否则不认为有显著的抑制作用）.19.（12分）如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.已知椭圆的离心率是，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程.（2）直线与椭圆交于（异于点）两点，记直线的斜率分别为，试问直线是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）是圆上的动点，求点到直线的距离的最大值.23.[选修4-5：不等式选计]（10分）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若，求的最小值.高三年级教学质量监测数学参考答案（文科）1.B由题意可得.2.C.3.D由抛物线的标准方程为，得抛物线的准线方程为.4.B将该跑步爱好者这周的跑步时长按从小到大的顺序排列为，则该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是35.5.B由题意可知最终的排名情况有，，共6种，其中符合条件的情况有，共4种，故所求概率.6.A设，则，所以，即，所以.因为，所以.7.A由题意可得整理得，解得或（舍去），则1，故.8.C连接，交于点，取的中点，连接.因为，所以与所成的角为（或其补角）.令，在中，由，得.又，，由余弦定理得，解得，所以.9.A由，即，得.设，则，显然是上的增函数.因为，所以存在，使得，即.当时，，当时，0，则.因为，所以，则，故.10.D因为，所以，所以，则，故.11.C在三棱锥中，底面是以为斜边的直角三角形.设底面外接圆的圆心为，则其半径，设三棱锥外接球的球心为，半径为，因为二面角为，所以点到底面的距离为，且点在底面的射影为的中点，所以.设球心到底面的距离为，则，且，解得，所以.12.B如图，直线与轴交于点，设，则.因为，所以.因为，当且仅当时，等号成立，所以，整理得，则，解得.13.-8画出可行域（图略），当直线经过时，取得最小值，最小值为-8.14.5由等差数列性质可得，则，故.15.因为，所以，则.因为，所以，则.16.作出的大致图象，不妨设，则，从而.因为，且，所以，所以，则.17.解：（1）因为，所以因为，所以，则.（2）因为，所以.因为，所以，解得.因为的周长为18，所以，解得，则.故的面积为.18.解：（1），，.（2）依题意，，，所以该药物对小鼠的生长没有显著的抑制作用.19.（1）证明：取的中点，连接.因为为圆弧的两个三等分点，所以.因为分别为的中点，所以，则，从而四边形为平行四边形，故.因为平面平面，所以平面.（2）解：作，垂足为，连接.易证平面.因为为圆弧的两个三等分点，所以，则.因为是边长为4的等边三角形，所以.因为是的中点，所以，则三棱锥的体积.因为，所以，则.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.因为，所以，解得，即点到平面的距离为.20.解：（1）由题意可得解得，则椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率为0时，设，则，从而.因为在椭圆上，所以，所以，则，不符合题意.当直线的斜率不为0时，设直线.联立整理得，由题意可知，则.因为，所以，则.因为，所以，所以.将代入上式，得，则，整理得，即.因为，所以.故直线过定点.21.（1）解：，则，因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：的定义域为，要证明，只需证.设函数，则.当时，；当时，.所以.设函数，则，所以，从而，故.22.解：（1）由（为参