2025年高考数学一轮复习模拟检测卷2（新高考专用）解析版

2025年高考数学一轮复习讲义之模拟检测卷02（新高考专用）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.（2024•云南贵州•二模）已知复数z满足z（2-i）-i=2（i为虚数单位），贝”的虚部为（）

444.4.

A.-B.C.-1D.—i

5555

2.（2024•江苏宿迁•一模）已知集合4=卜|04%〈4,》€?4},2=卜«=3左一1,左€2},则4口3=（）

A.{0,2}B.{2,4}C.{2}D.{1,3}

3.（2023•北京东城•一模）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的

三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为"用缩短计算时间延长了天文学家的寿

命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001）,可得N的

值为（）

M2371113

lgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

4.（2024・全国•模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为

j2,向右移动的概率为：1.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，

则P（X>0）=（）

-4-3-2-10123456^

5052217

A.---B.—-C.—D.—

243243981

5.（2023•广东佛山•二模）已知方程42+g2+3+瓜+4+尸=0,其中尸.现有四

位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：

甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；

丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程.

其中，真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2024・天津•高考真题）一个五面体已知AD〃3E〃CF,且两两之间距离为1.并已知

AD=LBE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

F

B

A73口3百,1「百c3gl

642242

7.（2024•贵州黔东南•二模）已知正实数。，6满足e2"-2+e；e23+e-J则的最大值为（）

2b

13

A.0B.—C.1D.一

22

8.（2024•浙江•二模）已知函数满足对任意的x,ye（1,"）且x<y都有了若

氏=/1+5〃+二'"N*,则％+&+%+…+—=（）

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.（2024•全国•模拟预测）已知两个不等的平面向量圆方满足1=（1,⑷石=（九-1,2）,其中力是常数，则下列

说法正确的是（）

A.若M//B，则2=—1或4=2

B.若3,贝5在4+方上的投影向量的坐标是，

C.当B+2,取得最小值时，同=与

D.若的夹角为锐角，则儿的取值范围为

10.（2024•辽宁沈阳•一模）如图，点A3,c是函数〃x）=sin（ox+9）（o>0）的图象与直线y=¥相邻的三

个交点，且忸C-M同/则（）

A.co=4

2

C.函数/（X）在Y，鼻上单调递减

D.若将函数〃尤）的图象沿x轴平移e个单位，得到一个偶函数的图像，则网的最小值为最

11.（23-24高三下•湖北武汉•阶段练习）定义在R上的函数“力与g（x）的导函数分别为了'（X）和g'（x）,若

g（x）一〃3—x）=2,/'（x）=g'（x-l）,且g（—x+2）=—g（x+2）,则下列说法中一定正确的是（）

A.g（x+2）为偶函数B./'（x+2）为奇函数

2024

C.函数“X）是周期函数D.£g伏）=0

k=l

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）

12.（2023・天津•高考真题）在12x3-的展开式中，/的系数为.

22

13.（2024•广东江苏•高考真题）设双曲线C:f-1=l（a>0,b>0）的左右焦点分别为不工，过F,作平行

ab

于y轴的直线交C于A,8两点，若|耳41=13,11=10,则C的离心率为.

14.（2024•山东青岛•一模）已知球。的表面积为12兀，正四面体A8C。的顶点8,C,。均在球。的表面上，

球心。为△BCD的外心，棱与球面交于点P.若Ae平面%,Be平面a2,Ce平面&3，Dw平面%，

%//%+《=1,2,3）且％与%（i=l,2,3）之间的距离为同一定值,棱AC,分别与a?交于点。，R，贝以尸。、

的周长为.

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（13分）（23-24高二上•四川内江•期末）设S“为数列｛%｝的前，7项和，已知弓=2,Sn-an+1+2=0.

⑴数列｛4｝是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由；

（2）设a=log2”“，数列」一的前〃项和为I，证明：

〔她+2J4

16.（15分）（23-24高三上•江苏常州•期中）已知函数〃尤）=3/+（2a-l）x-21nx,aeR.

⑴讨论〃尤）的单调性；

（2）对于Vxe[l,e],切科2,心），使得泊，求实数。的取值范围.

17.（15分）（23-24高三下•山东荷泽•阶段练习）学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推

3

出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天

选择了米饭套餐，则第2天选择米饭套餐的概率为g；若他前1天选择了面食套餐，则第2天选择米饭套餐

22

的概率为“已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率力.

⑴求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；

（2）记该同学开学第〃（〃eN*）天中午选择米饭套餐的概率为匕.证明：当〃22时，P„<^.

18.（17分）（2023•广东佛山•二模）中国正在由“制造大国”向"制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术

过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传

承工艺、革新技术的重要基石.如图所示的一块木料中，A3CD是正方形，B4_L平面A3C£>,PA=AB^2,

点E,厂是尸C,AD的中点.

BC

⑴若要经过点E和棱A3将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；

⑵若要经过点2,E,B将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由.

19.（17分）（2024广东深圳二模）设抛物线C：（。>。），直线/：V=履+2交C于A,B两点.过

原点。作/的垂线，交直线>=-2于点对任意％eR,直线AM,AB,8M的斜率成等差数列.

⑴求C的方程；

⑵若直线/'〃/,且/'与C相切于点N,证明：AAMN的面积不小于2忘.

参考答案：

题号12345678910

答案ACCDCCADBCACD

题号11

答案BCD

1.A

【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据虚部的概念求解.

2+i（2+i）23+4i

【详解】由z（2—i）-i=2可得

2^i-（2-i）（2+i）5

4

4

故虚部为二,

故选：A

2.C

【分析】求出集合43或明确集合中元素的特征，根据集合的交集运算，即可求得答案.

【详解】由题意得A={0,1,2,3,4},3={x|x被3除余数为2的整数},

:.AIB={2},

故选：C.

3.C

【分析】利用对数的运算公式计算即可.

【详解】由题意知，N的70次方为83位数，所以解。《1082,1（）83）,则坨1082<坨V。<坨1083,即

82<701gN<83,整理得1.171<lgN<1.185,

根据表格可得Igl4=lg2+lg7=1.146<1.171,Igl6=41g2=1.204>1.185,所以lgN=lgl5,即N=15.

故选：C.

4.D

【分析】由题意当X>0时，X的可能取值为135,且*~3（5彳），根据二项分布的概率公式计算即可求

解.

2

【详解】依题意，当X>0时，X的可能取值为1,3,5,且X〜8（5,§）,

所以P（X>0）=尸（X=5）+P（X=3）+P（X=1）

543217

81

故选：D.

5.C

【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.

【详解】因为方程Ax2+gy2+c孙+瓜+份+尸=0,其中A2B2CND2石之尸，

所以当4=3=12。=。=石=0力方=—1时，方程为Y+J?_]=0,即必+y2=]是圆的方程，故方程可以是

圆的方程；

当A=1N6=。=。=02石=—12尸=—2时，方程为x2-y-2=0,即y=f-2是抛物线的方程，故方程可

以是抛物线的方程;

5

当4=233=1学。=£>=石=0上/=-1时，方程为2x?+/-1=0,即丁+1=1是椭圆的标准方程，故方程

2

可以是椭圆的标准方程；

若方程为双曲线的标准方程，则有AB<0,C=D=E=0,/<。，这与A232c2£>2石之尸矛盾，故方程不

可以是双曲线的标准方程；

所以真命题有3个.

故选：C.

6.C

【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.

【详解】用一个完全相同的五面体H〃-LMN（顶点与五面体ABC-DEF——对应）与该五面体相嵌，使得

D,N.重合，

因为A£>〃班〃CF,且两两之间距离为1.AD=1,BE=2,CF=3,

则形成的新组合体为一个三棱柱，

该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,

v_lv_11.1V3,73

VABC-DEF=~VABC-HU=]'5X1X1XyX4=y,

故选：C.

【分析】根据等式关系构造函数/（x）=e'-eT,由其单调性可得2a-2=-b,于是结合基本不等式可得

的最大值.

【详解】由题e2"-2-e22=e-,—eJ构造函数/⑺=/一口，则〃2。-2）=〃一。），

显然/'（X）在R上单调递增，所以2a-2=-b,即a=^,

所以a_-L=与_-L=l_」.（6+1[41_1x2、fI=0,当且仅当a=[,6=1时等号成立.

2b22b2\b）2\b2

所以的最大值为0.

2b

6

故选：A.

【点睛】关键点点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某

些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用

函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌

握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解

题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

8.D

11111

【分析】根据了%一y将。〃=/,再用裂项相消法求

1—xyxy*+5〃+5〃+2〃+3

a1+a2+a3-\-------Fa2024的值.

【详解】回函数F（X）满足对任意的X,ye（1,+8）且x<y都有f［W卜（J_

(n+2)—(n+3)]

团令x=n+2,y=n+3,

1一孙l-(n+2)(n+3)n2+5n+5

回聿而尸门厂内

肌+…+…+5心一个卜0（口+…击］

=3一2027］（汉］

（2027）11—3x2027J（760》

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关

]

键是将通项分析为:

/+5〃+5

9.BC

【分析】根据平面向量平行、垂直、数量积的坐标运算，投影向量的概念进行求解.

【详解】选项A：若日〃人则2（2-1）=2,解得2=-1或彳=2,但当2=2时，商=（1,2）=5,与题意不符

合，故A错误;

选项B：若。_/_B，则2—1+24=0,解得2=耳,

因此@-5=,,+5=n，则万-方在商+石上的投影向量为

_10

k-4R+6)”57

3■①+一|("=H故B正确;

k+J\a+b^5

7

选项C：\a+2&|=^(22-1)2+(2+4)2=A/522+4A+17=5ht)+M

则当2=-|时，卜+2同取得最小值，此时1=1,2司=乌，故c正确;

选项D：若。,B的夹角为锐角，则1Z>0,万与5不同向,

4—1+24>01

得,c,解得且2/2,故D错误.

%W23

故选：BC

10.ACD

【分析】令〃力=立求得乙，乙,％根据忸C|-|AB|=W求得。=4,根据，71

=0求得的解析式,

2312

再逐项验证BCD选项.

兀27c

【详解】令/(x)=sin(GX+夕)=^-得，(ox+(p=—+2kncox+cp=—+2kn,k《Z,

7T712兀

由图可知：(oxA+(p=—+2kii,coxc+(p=—+2kji+2ji,a)xB+(p=—+2kn,

所以忸==、+2\AB\=-=]-.-7L,

-14XBXA

2兀1

所以T=WC|TAB|=；1—+271I,所以①二4,故A选项正确,

3CD\

7171

所以1(x)=sin(4x+0),由/=。且》=-三处在减区间，得sin-=0,

1212I

71

月f以———71+2kli,kGZ,

47r

所以夕=+2lai,左£Z,

所以/(x)=sin14x+子+2kit=sin(4x+犯=-sinf4x+yj,

I3

9兀兀

-sin一+—p故B错误.

23

,“71(5兀八兀)

当XE时'M+利5,2兀+力

3

因为y=-sint在f€（年,271+5）为减函数，故/（无）在兀71

i,2上单调递减，故C正确;

将函数八”的图象沿x轴平移。个单位得g（尤）=—sin14x+46+1）,（8v0时向右平移，。>0时向左平移）,

g（x）为偶函数得4。+]=|'+%兀，keZ,

所以。=热+等，keZ,则冏的最小值为以，故D正确.

故选：ACD.

8

11.BCD

【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函数性质逐项判

断即可得.

【详解】对A：由g(—x+2)=-g(x+2),故g(x+2)为奇函数，

若g(x+2)为偶函数，则g(x)=O,与条件不符，故A错误；

对B：由g(x)-"3-x)=2,则g〈x)+r(3—x)=0,

又r⑺=g'(x—1),即广(X+1)=g\x)=-f'(3-x),

QPr(x+2)=-r(2-x),又广(X+2)定义在R上，

故/'(x+2)为奇函数，故B正确；

对C：由g(—x+2)=-g(x+2),r(x)=g1x—l),g(x)-/(3-x)=2,

所以/(x)=g(x—l)+b,贝U/(—x+3)=g(—x+2)+b=-g(x+2)+6,

所以g(x)-〃3-x)=g(x)+g(x+2)-b=2,g(x)+g(x+2)=b+2,

所以g(x+2)+g(x+4)=6+2,所以g(x+4)=g(x),

则函数g(x)是周期函数4的周期函数，函数〃x)是周期函数4的周期函数，故C正确；

对D：由g(尤)是周期函数4的周期函数，

由g(-x+2)=-g(x+2),令x=0,贝ljg(2)=-g⑵，即g(2)=0,

令x=l,则g(l)=-g(3),即g(l)+g(3)=0,

由g'(x)+/'(3-x)=0,f'(-x+3)=g'(-x+2),

贝Ug'(x)=—g'(f+2),则g'(x)关于(1,0)对称，则g(元)关于x=l对称，

又g(x+2)为奇函数，即g(x)关于(2,0)中心对称，

故g(尤)关于x=3对称，贝|g(4)=g⑵=。，

2024

则£g伏)=506[g⑴+g⑵+g⑶+g⑷]=506x0=0,故D正确.

k=\

故选：BCD.

【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：

9

（1）关于对称：若函数关于直线X=。轴对称，贝IJ/•（尤）=7（2。-x）,若函数/（X）关于点（。力）中心对

称，则/（幻=26-/（2a-尤），反之也成立；

（2）关于周期：若/（x+a）=-/（x）,或/（%+。）=工，或可知函数/（x）的周期为2a.

/（x）/（x）

12.60

【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式J=（-球X26Tx或义"8』，令18-4左=2确定后的值,

然后计算炉项的系数即可.

3

【详解】展开式的通项公式Tk+l=晨（2x广］_口=（一琰x26T*晨x产i，

令18—4k=2可得，k=4,

则炉项的系数为（-1）4X26-4xC^=4x15=60.

故答案为：60.

13.2

2

【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出|然|,结合双曲线第一定义求出|A耳即可得到。力"的值，从

而求出离心率.

22

【详解】由题可知4民鸟三点横坐标相等，设A在第一象限，将X=c代入「一斗=1

ab

得）=±^-,即Ac,一3,---:故同=^-=10,|71司=名=5,

又|前|—|然|=2〃，得|M[=|M|+2a=2a+5=13,解得〃=4,代入幺=5得/=20,

a

「63

故/=1+〃=36,,即c=6,所以e=—=—=一.

。42

14.1+近/近+1

10

【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求

得==然后利用平行平面的性质求得4?=1,AQ=；,再利用余弦定理求得PQ=RQ=五，即

322

可求解APQR的周长.

【详解】设%与生+«=1，2,3）之间的距离为力设球。的半径为此则由题意得4位2=12兀，解得R=有，

所以02=0尸=6，所以48=8。=石08=3,所以0A=JAP-08。=R,

由A,P,3三点共线，故存在实数彳使得存=2函+（1-⑷丽（0＜彳＜1）,

2

所以而2=2282+（］_彳）2砺2+2彳（］-/1）弧.砺，所以3=6%+3（l-；l）2,BP3/l-2A=0,

2.o__.1__.Apii

解得彳=—,所以。尸=一次+—而，所以——=—,所以AP=—48=1,

333PB23

又//%（i=1,2,3）且%与a,.+10=1,2,3）之间的距离为止则芸=名=＜,2g=£=：,

AD3a3AC2a2

所以A/?=l,AQ=-,所以PQ=R0=Jl+2_2xlx-x，=立,

2V4222

又PR=LBD=1,所以APQR的周长为1+2X也=l+g;

32

故答案为：1+"

【点睛】关键点点睛：本题考查学生的空间想象能力，解题关键是找到点P,Q,R的位置.本题中应用正四

面体的性质结合球的半径，求出边长，利用平行平面的距离，得到所求三角形的边长即可求解.

15.⑴是等比数列,%=2'；

⑵证明见解析.

【分析】（1）应用。“总求得”用=2%且〃22,注意验证的=2q,即可判断是否为等比数列，进而写出通

项公式；

（2）由（1）得"=",裂项相消法求】，即可证结论.

【详解】（1）由题设4,=S“-S,i=（a“+i-2）-（a“-2）=a,+i-a“，即a“+］=2a“，且”22,

又〃=1日寸，I—%+2=4—%+2=。，可得出=4=2%,

综上，｛。“｝是公比为2的等比数列，通项公式为。,=2".

11

(2)由题设勿=log2%=",故土=花匕=34一出)，

匚匚2Tl八1111111111III、

所以7；=—(I-一+---+----+…+---------4--------)=—Z(1I+------------)

”232435n-ln+\n〃+222n+\〃+2

3II1^11

=----(----+----),又----+---->0,

42n+1n+2n+1〃+2

3

所以看<［，得证.

16.（1）答案见解析;

【分析】（1）对函数求导，讨论。＞0研究导数符号确定区间单调性；

（2）问题化为〃对立41,可恒成立，讨论。＜1、△1求参数范围.

【详解】（1）由题设r（x）=办+2a_］_2=a.+（2aT）x2=（*l）（x+2）且xw（o,+_）,

XXX

当口＜0时广（同＜。,〃》）在（0,+8）上递减；

当°＞0时，令/（%）=0=＞尤=!，

当0〈尤＜工时/'（x）＜0,〃x）在区间（0」］上递减；

aVa）

当X＞工时＞f（x）＞0"（x）在U，+s］上递增.

a\aJ

所以当时，/（乃的减区间为（0,+8）,无增区间；

当a＞0时，/（久）的增区间为（j+sj,减区间为（o,£|.

（2）由题设知F（x）Nba.a=2对Vxe［1,可恒成立.

当。＜1时，止匕时/（1）=弓-1＜2,不合题设，舍去.

当/I时，尸（x"0J（x）在［l,e］上递增，只需〃1）=蓑-122=＞“2|符合.

综上：a2w.

4

⑵证明见解析

【分析】（1）由己知结合全概率公式即可求解;

12

(2)由已知结合全概率公式及等比数列的定义即可求出｛匕｝的通项公式，分类讨论即可证明.

【详解】(])设4="第，天选择米饭套餐"(，=1，2),则可="第i天选择面食套餐"，

根据题意P(A)=|'，尸尸(&IA)=g，,

I/一、I一21124

由全概率公式，得尸(4)=尸(A)P(&R)+P(A)P(A|A)W+]X§=§；

(2)设4="第，天选择米饭套餐"("=1,2,…),

则£=P(4)，网4)=1一匕，P(A+1l4.)=p尸(AM%)」，

由全概率公式，得尸(心)=*4)玖414)+网4注(4+1同=-匕+|，

即心|=一"+：，所以七「9一；1一\，

因为々一:所以【匕-是以。为首项,为公比的等比数列；

2oI2J63

可得尺C+XT("CN)

当〃为大于1的奇数时，^=1+1x(-1rl-1+7X4)2=^;

26326327

当〃为正偶数时,月=;-34严<24,

2o322/

14

综上所述：当"N2时，^<—.

18.⑴详见解析；

(2)详见解析.

【分析】(1)根据线面平行的判定定理可得钻//平面P8,设PO的中点为G,根据线面平行的性质可得

2瓦EG,AG就是应画的线，然后根据线面垂直的判定定理结合条件可得截面周长；

(2)建立空间直角坐标系，可得平面3EF的法向量，设PDC平面3EF=H,根据线面垂直的性质可得H

的位置，进而即得.

【详解】(])因为A3//CD,ABZ平面PCD,CDu平面PCD,

所以A5〃平面PCD,又ABu平面ABE,

设平面MEc平面PCD=/,贝IJA3〃/,

设PQ的中点为G,连接EG,AG,则EG//CD,又AB//CD,

所以AB〃EG,即EG为/,BE/GAG就是应画的线，

13

p

因为PA_L平面ABCD,ABu平面ABC。，

所以AB_LE4,又PAr\AD=A,PAAOu平面尸4),

所以AB_L平面PAD,AGu平面PAD,

所以AB_LAG,即截面ABEG为直角梯形，又B4=TW=2,

所以AG=0,EG=1,8E=J(2-iy+(0)2=G，

所以，截面周长为亚+石+3；

(2)以点A为坐标原点，AB，AD＞而分别为X，'，z轴的正向建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),尸(0,0,2),矶1,1,1),尸(0,1,0),

所以屁=(-1,1,1),访=(-2,1,0),而=(0,2,-2),

设平面3EF的法向量为"=(x,y,z),

n-BE=-x+y+z-0,、

则一^,令x=l,可得力=1,2,—1),

n-BF=-2x+y=0

设PDc平面=设丽=彳丽=几(0,2,-2),又尸(0,0,2),

ULU1

0H(0,22,2-2/1),BH=(-2,22,2-24),

umu「2

由8〃・〃=(-2,2/1,2-24)-(1,2,-1)=0,可得64—4