2025年高考数学一轮复习讲义：空间直线、平面的垂直（原卷版）

专题39空间直线、平面的垂直（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................6

【考点1】直线、平面垂直的判定与性质........................................6

【考点2】平面与平面垂直的判定与性质........................................8

【考点3】平行、垂直关系的综合应用..........................................11

【分层检测】...............................................................13

【基础篇】.................................................................13

【能力篇】.................................................................16

【培优篇】.................................................................17

考试要求：

从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、

平面与平面的垂直关系.

・知识梳理

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线I与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一条直线与一个l±a、

l±b

判定定平面内的两条相交直

aC\b=O>n/_La

理线垂直，那么该直线

7aua

与此平面垂直bua>

b

性质定垂直于同一个平面的a.La\

\=>a//b

理两条直线平行b-La)

2.直线和平面所成的角

⑴定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，

一条直线垂直于平面，则它们所成的角是缪；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成

的角是0°.

⑵范围：0>|.

3.二面角

⑴定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

⑵二面角的平面角

若有①②OAua,OBuB；③04，/,OBU,则二面角a—/一用的平声反、

面角是NAOB

⑶二面角的平面角a的范围：0°^a<180°.

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

2

如果一个平面过另一个

b7/_La1

判定定理平面的垂线,那么这两个

平面垂直L6

两个平面垂直，如果一个

a邛]

平面内有一直线垂直于

baCB=a

性质定理这两个平面的交线,那么>o/_La

4l-La

这条直线与另一个平面1

lu8J

垂直

I常用结论

1.三个重要结论

⑴若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

⑵若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的一个

重要方法）.

⑶垂直于同一条直线的两个平面平行.

2.三种垂直关系的转化

判定定理判定定理

线线垂直彳士线面垂直彳面面垂直

性质性质定理

；真题自测

一、单选题

1.（2024•北京,高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=26，该棱锥的高为（）.

A.1B.2C.72D.目

52..

2.（2024•全国・[Wj考真题）已知正二棱台ABC-4耳。1的体积为耳，AB=6,4月=2,则AA与平面A3C

所成角的正切值为（）

A.；B.1C.2D.3

3.（2023・北京・高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出

3

建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是

全等的等腰三角形.若AB=25m,3c=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面

ABCD的夹角的正切值均为正，则该五面体的所有棱长之和为（）

5

C.117mD.125m

19

4.（2023・天津•高考真题）在三棱锥尸—ABC中，点MN分别在棱尸。，尸3上，S.PM=-PC,PN=-PB,

则三棱锥尸和三棱锥尸-ABC的体积之比为（）

1214

A.-B.-C.-D.一

9939

二、解答题

5.（2024•北京•高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，BC//AD,AB=BC=1,4D=3,点E在AD上,

S.PEJ.AD,PE=DE=2.

⑴若尸为线段PE中点，求证：3P〃平面PC。.

⑵若AB人平面PAD,求平面HLB与平面PCD夹角的余弦值.

6.（2024•全国・高考真题）如图，平面四边形A8CD中，AB^8,CD=3,AD=5s/3,ZADC=90",ZBAD=30",

2i

点、E,F满足AF=-AB,将尸沿EE翻折至！PEF,使得PC=4A/L

⑴证明：EFLPD；

4

(2)求平面PCD与平面所成的二面角的正弦值.

7.(2024•全国•高考真题)如图，四棱锥尸―ASCD中，“，底面ABC。，PA^AC=2,BC=1,AB=^3.

B

(1)若ADLPB,证明：AD〃平面PBC；

(2)若ADLOC,且二面角A—CP—O的正弦值为叵，求AD.

7

8.(2023•北京・高考真题)如图，在三棱锥尸-ABC中，24,平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=B

B

⑴求证：平面B48；

(2)求二面角A—PC—3的大小.

9.(2023•全国•高考真题)如图，在三棱锥尸—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=20,PB=PC=®

3尸,AP,3c的中点分别为，及O,点尸在AC上，BFLAO.

⑴求证：EF〃平面AZJO；

(2)若/PO尸=120。，求三棱锥P-43C的体积.

5

10.（2023•全国•高考真题）如图，在三棱柱ABC-A4G中，AC，底面ABC,ZACB=90°,=2,人到

平面3CC内的距离为1.

（1）证明：AC=AC；

⑵已知M与BB,的距离为2,求破与平面BCCA所成角的正弦值.

M考点突破

【考点1】直线、平面垂直的判定与性质

一、单选题

1.（2024・陕西商洛•模拟预测）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A,8的一点,

则下面结论中错误的是（）

A.AELCE

B.BC//平面ADE

C.平面平面BCE

D.DE2平面8CE

2.（2024•辽宁大连•一模）已知直线a,b,c是三条不同的直线，平面a,6y是三个不同的平面，下列命

题正确的是（）

A.若“_Lc,ZJ±C,则allb

B.若a//。，alia,则方〃<z

C.alla,blla,c±a,且。_1_6,贝！|cJ_a

6

D.若/?_La,y-La,且加y=a,则a_La

3.（23-24高三上•四川•阶段练习）已知/,疑是两条不同的直线，«,夕是两个不同的平面，则下列命题中

正确的是（）

A.若•月，lua,muf3,贝！]/_1_相

B.若机JL£,a，/3,则加〃打

C.若l//m,Ila,mV[3,则a///

D.若a〃〃，且/与a所成的角和加与尸所成的角相等，则〃/加

二、多选题

4.（2024・湖南邵阳•三模）如图所示，点E为正方体形木料ABC。-44GA上底面的动点，则下列结论正

A.三棱锥E-ABC的体积为定值

B.存在点E,使CEL平面BD。耳

C.不存在点E,使CE//平面区0£（4

D.经过点E在上底面上画一条直线/与CE垂直，若/与直线42重合，则点E为上底面中心

三、解答题

5.（2024•天津河北•模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面45CD是正方形，PAlnABCD,

PA^AB^l,M,N分别是R4,PB的中点.

⑴求证：MN//平面A5CD；

（2）求证：CD_L平面PAD；

⑶求直线PC与平面尸AD所成角的正弦值.

7

6.（2024・山东济宁•三模）图1是由正方形ABC。和两个正三角形八4£＞及△CD尸组成的一个平面图形，其

中AB=2,现将VADE沿AD折起使得平面平面ABCD,将_CDF沿CD折起使得平面CDF，平面

ABCD,连接EF,BE,BF,如图2.

⑴求证:跖〃平面ABCD；

（2）求平面ADE与平面BCF夹角的大小.

反思提升：

（1）证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质.

（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.

【考点2】平面与平面垂直的判定与性质

一、单选题

1.（2024・四川成都・三模）已知直线/、m、"与平面a、夕，下列命题正确的是（）

A.若/_L",m±n,贝

B.若/La,1///3,则a_L尸

C.若/_La,ILm,则相〃a

D.若。_L£,aP=m,I±.m,则/

2.（2024•江西鹰潭•模拟预测）如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为。C的中点，尸为线段EC

（端点除外）上的动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD±平面ABC,在平面ABD内过点。作。K，AB,

K为垂足.设BK=t,则f的取值范围是（）

二、多选题

3.（2022•江苏泰州•模拟预测）在正四棱锥尸-ABCD中，点M,N,S分别是棱PAP8,PC上的点，且=

8

PN=yPB,PS=zPC，其中x,y,ze（O,l],则（）

A.当x='=z时，平面ABCD〃平面WS

B.当x=l,y=g,z=l时，尸£）〃平面触VS

21i

c.当x=>=彳，z=,时，点。金平面脑vs

J乙。

2i

D.当尤=§，>=5时，存在z«O,l],使得平面PAC_L平面肱VS

4.（2024•江苏泰州•模拟预测）在正三棱柱ABC-AMG中9=BC=2,VABQ的重心为G,以G为球心的

球与平面BCG可相切.若点P在该球面上，则下列说法正确的有（）

A.存在点尸和实数尢〃，使得=+

B.三棱锥P-ABC体积的最大值为史28

9

C.若直线5P与平面A3C所成的角为凡贝hind的最大值为北巫

8

D.若2尸，与C,则所有满足条件的点P形成的轨迹的长度为运

3

三、解答题

5.（2024•江西新余•二模）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3CD是直角梯形，ABCD,ZABC=90°,

S.PA=PD=AD,PC=PB.

⑴若。为AD的中点，证明：平面POCL平面ABCD；

（2）若NCZM=60。，AB=^CD=1,线段尸。上的点/满足。M=九。尸，且平面PCB与平面ACM夹角的余

弦值为叵，求实数4的值.

7

6.（2024・湖南衡阳•模拟预测）如图，在三棱柱ABC-ABG中，平面4/珥4，平面ABC,平面CB4G，平

面ABC.

9

(1)证明：2月J■平面ABC.

(2)若AB工BC,AB=BC=CCX,求直线BC与平面4阳所成角的正弦值.

反思提升：

(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化

①两种方法：

⑴面面垂直的定义；

(ii)面面垂直的判定定理aua=>a_L£).

②一个转化：

在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线

面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

(2)面面垂直性质的应用

①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直

线”.

②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.

【考点3】平行、垂直关系的综合应用

一、单选题

1.(2024•浙江宁波•模拟预测)已知棱长为1的正方体ABCD-A与GQ，M，N分别是A8和8C的中点，则

到平面4G。的距离为()

A.BB.诿C.3D.近

3322

2.(23-24高三上•陕西商洛•阶段练习)如图所示，在棱长为2的正方体ABC。-44GA中，点P在棱GR

上，且3尸=3,则点AC到平面887的距离之和为()

10

A.75B.—C.D.2A/2

52

二、多选题

3.（2023•湖南长沙•模拟预测）如图1,某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八

个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregularsolid）,亦称

为阿基米德多面体，如图2,设=则下列说法正确的是（）

图1

A.该多面体的表面积为6+26

B.该多面体的体积为述

3

C.该多面体的平行平面间的距离均为行

D.过A、。、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为38

2

4.（2024•山西晋中•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABC。-4月6。中，G为2片的中点，则下列结

论正确的有（）

A.CG与AG所成角的余弦值为半

B.DB］与平面A,BCt的交点H是,ABG的重心

11

c.三棱锥2-BAG的外接球的体积为4国

D.B片与平面ABG所成角的正弦值为逅

3

三、解答题

5.（2024・四川成都•模拟预测）如图所示，斜三棱柱ABC-A4C的各棱长均为2,侧棱B片与底面A3C所

C

⑴证明：点均在平面A3C上的射影。为A3的中点;

⑵求二面角C-Ag-B的正切值.

6.（2024・全国•模拟预测）如图四棱台ABC。-AqCQ中，BC//AD,CCJ平面A5CD,AD=2AB=2BC.

（2）若Cq=2,CD=3,2C=42=|,求二面角4-至-。的余弦值.

反思提升：

三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.求解时应注意

垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线

的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

■分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•陕西安康•模拟预测）已知正三棱台ABC-42G的上底面积为右，下底面积为46，高为2,则

该三棱台的表面积为（）

A.5>/3+3739B.3739C.5班+18D.18

12

2.（2023•全国,模拟预测）已知正方体48CD-A与GP的棱长为1，点O在线段BG上且BO=go£,则点

O到平面8CP4的距离是（）

AJ-R丘C6

A•D..U.

3632

3.（2024•陕西安康•模拟预测）在四棱锥尸-ABCD中，上4。为等边三角形，四边形ABCD为矩形，且

AB=V2BC，平面PAT>J_平面ABCD,则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为（）

C,3

2

4.（2024IWJ二下•全国•专题练习）已知相，”是两条不同的直线，。，⑸y是二个不同的平面，则下列命题正

确的是（）

A.平面。内有无数条直线与平面,平行的充要条件是&〃万

B.平面a内有两条直线加，“分别与平面方,7平行，则///尸

C.若m〃n,muy,nua,且〃7,贝！|///a

D.平面。内有无数条直线与平面/垂直，则C月

二、多选题

5.（2024•河南•模拟预测）已知点A,8为不同的两点，直线乙，％4为不同的三条直线，平面。，夕为

不同的两个平面，则下列说法正确的是（）

A.若4_La,l2//a,则4_L4

B.若4ua,l2lla,则“〃2

C.若（ua,/,up,ac0=%,/；nZ2=A,则Aeg

D.若〃〃2〃a,a，/3,4B=A,0=B,则直线AB〃a

6.（2023•云南•三模）下列说法错误的是（）

A.若直线。不平行于平面a,a<za,则a内不存在与。平行的直线

B.若平面a_L平面/，平面&一平面%=/,41/,贝匹，必

C.设〃为直线，私”在平面a内，则"Ua"是"以相且以〃”的充分不必要条件

D.若平面a_L平面％,平面/_L平面夕-则平面a与平面夕所成的二面角和平面必与平面4所成的二

13

面角相等或互补

7.（2022•江苏泰州•模拟预测）在正四面体中，AB=3,点。为ACD的重心，过点。的截面平行

于A8和C。，分别交8C,BD,AD,AC于E,F,G,H,贝|（）

A.四边形EFGH的周长为8

B.四边形EFG8的面积为2

C.直线和平面EFGH的距离为0

TT

D.直线AC与平面EfGH所成的角为:

4

三、填空题

8.（2024・陕西•三模）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于的一点，则下面结论

中正确的序号是.（填序号）

①AE_LCE；（2）BEJ.DE；③DEI平面BCE；④平面平面3CE.

9.（23-24高三下•重庆•开学考试）如图，在正四棱柱中，台4=2,AB=AD=1,E为441的

中点，则4c中点到平面DCE的距离为

14

10.（1997•全国，局考真题）已知根、/是直线，。、夕是平面，给出下列命题：

①若/垂直于a内两条相交直线，贝

②若/平行于a,贝门平行于a内所有的直线；

③若mua,/uP且/_Lm，则

④若/u£且则

⑤若/wua,/u。且a〃尸，则/〃加.

其中正确命题的序号是.

四、解答题

11.（2024•上海普陀・二模）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA=SB=2,E、

产分别是SC、3。的中点.

⑴求证：取〃平面SAB；

7T

（2）若二面角S-AB-。的大小为求直线Q与平面ABCD所成角的大小.

12.（2024•江苏•二模）如图，直三棱柱ABC-Age的体积为1,ABIBC,AB=2,BC=1.

⑴求证：BCJAC；

15

（2）求二面角与-AC-B的余弦值.

【能力篇】

一、单选题

1.（2024•陕西•模拟预测）在平行六面体A3CO-AqGA中，已知A8=AD=44,=1,

ZA.AB=Z^AD=ABAD=60°,则下列选项中错误的一项是（）

A.直线AC与所成的角为90。

B.线段AC的长度为0

C.直线AC与8月所成的角为90°

D.直线4C与平面所成角的正弦值为亚

3

二、多选题

2.（2024•湖北武汉•模拟预测）如图，在正方体ABC。-A瓦CQ中，E,F,M,N分别为棱

/里，AM-ABOC的中点，点P是面BC的中心，则下列结论正确的是（）

A.E,F,M,P四点共面B.平面P