2025年高考数学一轮复习讲义：空间点、直线、平面之间的位置关系（解析版）

专题37空间点、直线、平面之间的位置关系（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................4

【考点突破】...............................................................13

【考点1］基本事实的应用....................................................13

【考点2］空间位置关系的判断................................................21

【考点3】异面直线所成的角..................................................28

【分层检测】...............................................................35

【基础篇】.................................................................35

【能力篇】.................................................................47

【培优篇】.................................................................52

考试要求：

1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平

面的位置关系的定义.

2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.

知识梳理

L与平面有关的基本事实及推论

(1)与平面有关的三个基本事实

基本事实内容图形符号

A,B,。三点不共

基本过不在一条直线上的三

线=存在唯一的a

事实1个点，有且只有一个平面/J'/

使A,B,C^a

如果一条直线上的西仝

基本AC/,5©/,且Ada,

点在一个平面内，那么这

事实2/BGan/ua

条直线在这个平面内

如果两个不重合的平面

基本有一个公共点，那么它们P^a,且尸©夕今a

事实3有且只有一条过该点的nj3=i,且pc/

公共直线

(2)基本事实1的三个推论

推论内容图形作用

经过一条直线和这条直线外

推论1

一点，有且只有一个平面

经过两条相交直线，有且只确定平面的

推论2

有一个平面依据

经过两条平行直线，有且只

推论3

有一个平面/7/

2.空间点、直线'平面之间的位置关系

2

图形

7

相交语言Xy

关系符号

aAa=AaC0=l

语言

图形

7^7

独有语言

关系符号a,b是

〃ua

语言异面直线

3.基本事实4和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4.异面直线所成的角

⑴定义：已知a,》是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线"〃a,b'//b,把优与加所

成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

（2）范围：fo,?.

|常用结论

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异

面直线所成的角，也可能等于其补角.

；■真题自测

一、单选题

1.（2024•全国,高考真题）设办£为两个平面，5、〃为两条直线，且a6=根.下述四个命题:

①若则"//。或"〃分②若则“_1_<7或"，力

③若〃〃a且〃///,贝|加/“④若”与心,△所成的角相等，则利，〃

其中所有真命题的编号是（）

3

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

2.（2024・天津,高考真题）若私〃为两条不同的直线，a为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若mlla,nila,贝B.若贝!J加〃〃

C.若，7〃/a,〃_La,则D.若加〃a,〃_La,则机与〃相交

3.（2022・浙江・高考真题）如图，己知正三棱柱ABC-A百G，AC=明，E,尸分别是棱3C,AG上的点.记

防与Ad所成的角为a,E尸与平面ABC所成的角为夕，二面角歹-3C-A的平面角为/,贝U（）

A.a<P<yB.(3<a<yC.P<y<aD.a<y</3

4.（2021•全国•高考真题）在正方体ABCD-ABCQ中，P为8a的中点，则直线尸8与A，所成的角为（）

二、多选题

5.（2022•全国•高考真题）已知正方体ABCD-AgG。，贝U（）

A.直线BG与D4,所成的角为90。B.直线8。与C4所成的角为90。

C.直线BG与平面班离。所成的角为45。D.直线Bq与平面ABC。所成的角为45。

6.（2021•全国•高考真题）如图，在正方体中，。为底面的中心，尸为所在棱的中点，M,N为正方体的顶

点.则满足的是（）

4

N

三、解答题

7.（2021•北京•高考真题）如图：在正方体ABC。-4月04中，E为AR中点，Bg与平面CDE交于点尸.

（1）求证：尸为用G的中点；

（2）点M是棱44上一点，且二面角FC-E的余弦值为好，求整的值.

3A«i

8.（2021•浙江•高考真题）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是平行四边形，

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=415,M,N分别为BC,PC的中点，PDLDC,PMLMD.

B

（1）证明：AB±PM；

（2）求直线AN与平面尸DM所成角的正弦值.

参考答案：

1.A

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当"ua,因为加〃“，机u£,则“〃£,

当“u尸，因为〃"/〃，根ua,则〃//0,

当〃既不在a也不在用内，因为根〃"，mua,mu0,则“〃a且"///?,故①正确；

5

对②，若〃?，〃，则”与a,"不一定垂直，故②错误；

对③，过直线n分别作两平面与a,4分别相交于直线s和直线t,

因为〃〃a,过直线〃的平面与平面a的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知〃〃s,

同理可得〃/〃，贝Us/〃，因为SU平面广，/u平面/，贝心//平面/，

因为su平面a,a/3=m,贝!!$//根，又因为“〃s,则"z〃〃，故③正确;

对④，若=与a和尸所成的角相等，如果〃///〃//£,则机〃〃，故④错误;

综上只有①③正确,

故选：A.

2.C

【分析】根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据线面垂直的性质可判断CD的正误.

【详解】对于A,若m"a,nila,则孤〃平行或异面或相交，故A错误.

对于B,若mlla,n]la,则八〃平行或异面或相交，故B错误.

对于C,mlla,nLa,过加作平面夕，使得月ia=s,

因为机u£,故而sua,故〃J_s,故相_L〃，故C正确.

对于D,若能〃则机与〃相交或异面，故D错误.

故选：C.

3.A

【分析】先用几何法表示出a,P，/,再根据边长关系即可比较大小.

【详解】如图所示，过点/作FP_LAC于尸，过尸作PMIBC于连接PE,

则（z=/瓦P,。=ZFEP,y=ZFMP,

PEPE八八FPAB、iFP、FP

tana-----=-----<1,tanp=---=----->1,tan/=----->----t-anB，

FPABPEPEPMPE

6

所以a<夕

故选：A.

4.D

【分析】平移直线4,至BG，将直线尸3与A?所成的角转化为尸3与BG所成的角，解三角形即可.

如图，连接8G，尸G，尸2,因为团BG，

所以NBBG或其补角为直线PB与A1所成的角，

因为8月，平面4BGR,所以又PCJBR,BBQBR=B-

所以尸平面所以尸£，尸3,

设正方体棱长为2,则BC]=2忘,PQ=g=应，

sinNPBC|=r=；,所以NMCyg.

故选：D

5.ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接8。、BC「因为£>A//月C,所以直线Bq与BC所成的角即为直线与。4所成的

角，

因为四边形BBCC为正方形，则用CJ_BC「故直线BG与。A所成的角为90。，A正确；

7

连接A]C,因为44,平面BBCC，2C]U平面BBC。，则44_LBC1,

因为4CJ.BC],4耳Bg=B],所以BC]_L平面A4C,

又4Cu平面48,c,所以BG^CA，故B正确；

连接AG，设AGBR=o,连接BO,

因为8氐，平面a耳GR,GOu平面A与G2，则G。，耳2,

因为GO_LB12，BRcB]B=Bi,所以G。，平面BBQ。，

所以NC0O为直线BC]与平面B8QD所成的角,

设正方体棱长为1,则6。=变，BG=0，sinNC避。=5，=：,

所以，直线与平面所成的角为30,故C错误；

因为GCL平面ABCD,所以NGBC为直线BG与平面ABCD所成的角，易得/QBC=45,故D正确.

故选:ABD

6.BC

【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接AC,则M7V/ZAC,

故ZPOC（或其补角）为异面直线ORMN所成的角，

故tanN尸0C=3="，

在直角三角形OPC,OC=0，CP=1

V22

故MN_LOP不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取AT的中点为2,连接PQ,OQ,则OQJ.NT,PQ1MN,

8

由正方体S8CM-N4DT可得SN_L平面而OQu平面AAOT,

故SNLOQ,而SNMN=N,故。。，平面SN77W,

又建Vu平面SN7M,OQLMN,而OQPQ=Q,

所以ACV_L平面OPQ,而尸Ou平面。PQ,故MN_LOP,故B正确.

对于C,如图(3),连接则39/MN,由B的判断可得OPL3D,

故0PlMN,故C正确.

对于D,如图(4),取AD的中点。，A3的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,

则AC//MN,

因为DP=PC,故尸。〃AC,椒PQHMN,

所以/QPO或其补角为异面直线PQMN所成的角，

9

sM

图⑷

因为正方体的棱长为2,故尸。=gac=3,OQ=^AO2+AQ1=71+2=^,

PO=4PK2+OK2=74+1=75>QO2<PQ2+OP2,故N0尸。不是直角，

故尸O,故V不垂直，故D错误.

故选：BC.

7.(1)证明见解析；(2)瞿=；.

【分析】(1)首先将平面CDE进行扩展，然后结合所得的平面与直线4G的交点即可证得题中的结论；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数X的值.

【详解】⑴如图所示，取4a的中点尸，连结DE,EF',F'C,

由于ABC。-A冉GA为正方体，E,尸为中点，故EFPCO,

从而E,F\C,D四点共面，即平面CDE即平面CDEF',

据此可得：直线4Q交平面CDE于点广,

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点尸重合，

即点尸为中点.

⑵以点。为坐标原点，D4,£>C,DQ方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系。-孙z,

10

不妨设正方体的棱长为2,设黑斗1川

则：M（2,242）,C（0,2,0）,F（l,2,2）,E（l,0,2）,

从而：MC=（-2,2-2%—2）,b=（1,0,2）,FE=（0,-2,0）,

设平面MCF的法向量为：（占,％,zj,贝ij：

ITI,MC——2玉+（2—22）%—2Z]—0

mCF=玉+2Z]=0

令马=-1可得：m=2,JpT

设平面CFE的法向量为：”=（%,%，z?），贝！I：

n-FE=-2y2=0

n-CF=%+2Z2=0

令Z=T可得：〃=（2,0,-l）,

,113

整理可得：u-iy=-,故％=—（2=e舍去）.

v7422

【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推

理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的

夹角公式求解.

11

8.（1）证明见解析；（2）姮.

6

【分析】（1）要证可证由题意可得，PDA.DC,易证DM1DC,从而OCL平面

PDM,即有。从而得证；

（2）取AT＞中点E,根据题意可知，两两垂直，所以以点”为坐标原点，建立空间直角坐标

系，再分别求出向量4V和平面PZ）暇的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.

【详解】（1）在△DCM中，DC=1,CM=2,ZDCM=60,由余弦定理可得。M=VL

所以Oir+OC?=C"2，，由题意。且BDcDW=。，；.DC_L平面PDM,而PMu平

面PDM,所以DCLPM,又AB//DC,所以

（2）由PM_LMD,AB_L尸河，而A3与DW相交，所以PM_L平面ABCD,因为AM=夕，所以尸河=20,

取AD中点E,连接ME,则尸河两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,

则A（-6,2,0）,尸（0,0,2忘）,D（百,0,0）,M（0,0,0）,C（瓜-1,0）

又N为PC中点，所以N］?,-［，应］,AN=|手厂|,女.

由（1）得CD_L平面PDM,所以平面PDM的一个法向量〃=（。/,0）

5

.|AN-n\2

从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为sm6==卜”

IANWnI/2725

4I।I-/

V44

【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明ABLPM,可以考虑。CLPM,

题中与OC有垂直关系的直线较多，易证OCJ_平面PDM,从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第

一间的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出.

考点突破

【考点11基本事实的应用

一、单选题

1.（2002・全国•高考真题）已知机，〃为异面直线，机u平面a,wu平面夕，修〕£=/,贝I"（）

12

A.与加，〃都相交B.与〃?，"中至少一条相交

C.与机，〃都不相交D.至多与小，〃中的一条相交

2.（2024・四川绵阳•模拟预测）如图所示，在正方体ABC。-481GA中，M是棱4月上一点，平面根犯与

棱CG交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（）

①四边形"BAR是平行四边形；②四边形MBNA可能是正方形；③存在平面"BNQ与直线B片垂直;

④任意平面MBNR都与平面ACBt垂直.

A,①②B.③④C.①④D.①②④

二、多选题

3.（2023•河北•模拟预测）如图，已知正方体4BCD-A耳GR的棱长为1，。为底面ABCZ）的中心，交

平面于点E,点P为棱C。的中点，则（）

A.4，及。三点共线B.异面直线8。与AG所成的角为60°

C点C闰平面A加的距离为半9

D.过点A，反厂的平面截该正方体所得截面的面积为5

O

4.（2022•全国•模拟预测）如图，在正方体AB8-EFHG中，M,N货别为FH,FE的中点，则（）

13

A.AN,BF,CM三条直线不可能交于一点，平面ACW_L平面3DG尸

B.AN,BF,CM三条直线一定交于一点，平面ACMV_L平面

C.直线AE与直线CM异面，平面AEHC_L平面A3CD

D.直线AE与直线CM相交，平面ACMV_L平面ABCD

三、填空题

5.（2024•山东济南•三模）在正四棱柱ABC。-44GA中，AB=4,朋=6,M,N分别是AB,AD的中

点，则平面MNG截该四棱柱所得截面的周长为.

6.（2021•全国•模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AAt=AB=BC=2,D,E分别为8月，AG

分如中点，则过点A,D,E的截面与三棱柱的侧面BCC中的交线的长为

参考答案:

1.B

【分析】由题意画出满足条件的图象，结合图象得到正确选项.

【详解】若/与私〃都不相交，则”/加，llln,则加〃"，这与"〃是异面直线矛盾;

故C不正确；

如图，/与加，〃中的一条相交，另一条不相交，

14

也可以与两条都相交，但不交于同一点，如图

综上：/与加，〃中的至少一条相交.

故选:B

2.C

【分析】通过几何性质得出四边形的形状，由线线、线面垂直即可得出直线8月和平面与平面

M2N2的关系.

【详解】对于①，因为平面M2,与棱CG交于点N,所以四点共面，

在正方体ABCO-AAG，中，由平面BCC由〃平面ADRA，

又平面MB。1平面平面MBRA平面BCC4=BN,所以MR//BN,

同理可得人份〃朋3,故四边形一定是平行四边形，故①正确

对于②，在正方体ABC。-481GA中，44，面ABBA，

因为面所以

若MBND,是正方形，有MDJBM,MR=BM,

若4,M不重合，则AW—与A.矛盾，

若A，M重合，则不成立，故②错误；

对于③，因为BRu平面/48。＜90。，

若直线B片与平面M8NR垂直，则直线显然矛盾，

所以平面M8NR与直线B耳不可能垂直，故③错误

对于④，因为3片，平面ABC。，ACc^ABCD,所以B与LAC,

又BD_LAC,BBicBD=B,BB”BDu平面BBRD,所以AC_L平面BBQQ,

又RBu平面B5QD,所以RBLAC,

同理：D,B±ABt,又ACu平面AC%AB|U平面ACB-ACnAB,=A,

所以RB,平面ACB-因为RBu平面所以平面MBNR，平面ACB1,故④正确.

15

综上所述，正确的有①④.

故选：C.

3.ACD

【分析】由题意可证得4,2。三点都在平面43。与平面ACGA的交线上，可判断A；由题意可证得3m

平面ACG4,从而2DLAG，可判断B；由题意可证得AC平面48。，则GE的长度就是点G到平面

\BD的距离，求解可判断C；取。。的中点G,因为尸G〃CR〃A8，所以等腰梯形AB尸G就是过点4,8，尸

的平面截该正方体所得截面，求出面积可判断D.

【详解】因为。为底面ABCZ）的中心，所以。为2D和AC的中点，则OeBROeAC,

因为8£>u平面ABRACu平面ACGA,所以。©平面ABD,。e平面ACG4,

所以点。是平面48。与平面ACGA的公共点；

显然A1是平面AB。与平面ACGA的公共点；

因为AC］交平面A3。于点E,AGU平面ACQA,

所以E也是平面A0。与平面ACCW的公共点，

所以A，E,。三点都在平面AB。与平面ACGA的交线上，即A，E，。三点共线，故A正确；

因为C|C，平面ABCD,BDU平面ABCD,所以3。，QC,

又BO_LAC,ACGC=C,AC,C|Cu平面ACGA，

所以班>/平面ACGA,又AGU平面ACCA,

所以8。LAG，即异面直线2。与AG所成的角为90。，故B不正确;

根据证明1AG的方法，同理可得AG1A.B,

16

因为BZ）\B=B,BD,A{BcA}BD,

所以AG，平面AtBD,则GE的长度就是点G到平面的距离,

显然E为正三角形48。的中心，因为正方体ABCO-ABCiP的棱长为1,

所以正三角形48。的边长为0,所以AE=gx[x后=?，

又AG=忘，所以GE==^=寺，

即点C1到平面48D的距离为亚，故C正确；

3

取的中点G,连FG,GA，BRAB,因为尸G〃CQ〃AB,

所以等腰梯形ABFG就是过点\,B,F的平面截该正方体所得截面，如图：

因为AB=0,PG=曰，AG=BF=4,

所以等腰梯形ABEG的高为，=JAQ2r笞型：=乎，

所以等腰梯形ABbG的面积为1（42+尸6）・//=:1血+坐[芈="

2.21zJ4o

即过点A，民方的平面截该正方体所得截面的面积为59,故D正确.

o

故选：ACD.

4.BC

【分析】证明出面ACMVL面3DGF,判断出多面体ABCWNF为三棱台，由棱台的结构特征得到AN,BF,

CM三条直线一定交于一点.判断A,B；先证明出平面AEHC_L平面ABCD,由平面ACMV与平面AEHC不

平行，得到平面ACMV与平面ABC。不垂直，判断C,D.

17

【详解】在正方体ABCD-EFf/G中，斯，平面ABCD,

则3P上AC.又BFcBD=B,所以AC_L平面BOGb,

又ACu平面ACMV,所以平面ACMVJ_平面3DG产.

因为M,N分别为FH,FE的中点，所以MN〃AC,

MN=-AC,NF//AB,NF=-AB,

22

MF//BC,MF=LjBC,所以多面体ABCVCVF为三棱台，

2

所以A7V,BF,CM三条直线一定交于一点，故A错误，B正确；

由题意知AE〃C”与CM相交，所以AE与CM异面，

因为平面ABCD,AEu平面AEHC,

所以平面AEHC1,平面ABCD,又平面AOW7V与平面AEHC不平行，

所以平面ACAW与平面A3CD不垂直，故C正确，D错误.

故选：BC.

5.1472

【分析】作出辅助线，得到平面WG截该四棱柱所得截面为五边形NMGGQ,求出各边边长，相加得到答

案.

【详解】延长NM，CB相交于点H,连接交B用于点G,连接MG,

因为正四棱柱4BC£>-AB|GR中，AB=4,胴=6,M,N分别是AB,A£>的中点，

所以MNNAM、AN?=20,BH=AN,CCX=6,

GBBH1_________「

因为HBG®HCC[,-=—=故BG=2,GH=y/BG2+BH2=242^

在。2上取点2,连接NQ，G。，则NQ=[DN2+DQ2=2应,

同理可知GQ=N",所以四边形GQNH为平行四边形，

故G,H,N,Q四点共面，

则平面MNC、截该四棱柱所得的截面为五边形NMGCQ,

MG=yjMB^BG2=272，C]G=琢+*=742+42=40，

同理GQ=40,

故截面周长为ACV+MG+C]G+GQ+NQ=20+20+40+40+20=140.

18

【分析】首先根据平行线将平面进行扩展得到过点A,D,£的截面与三棱柱的侧面3CG瓦的交线为DG,

确定点G为线段8C的三等分点靠近用的点，最后在直角三角形D耳G中求得线段。G的长度即可.

【详解】由题意将直三棱柱ABC-AqC补成一个直四棱柱A3NC-AAMG,

取用M中点连接8”,显然

取用”中点尸，连接。尸，班DFIIBHIIAE,

所以A,D,F,E四点共平面，连接口与用G的交点为G,连接。G

所以过点A,D,F,E的截面与三棱柱的侧面BCC4的交线为。G,

因为B、FGGEG,且耳产=(EG，

所以点G为线段的三等分点靠近Bi的点，

2

因为为。=2,所以4G=§,

又。为8片中点，所以£»4=1,

因为8月，面44G，所以BB\±瓦G，

则2G="$2=半.

故答案为：巫.

3

19

【点睛】本题主要考查截面问题，如需要将平面进行扩展，一般有两种方法，一是通过做平行线进行扩展，

一种是找相交直线确定交线上的点进行扩展，在备考中注意多总结.

反思提升：

共面、共线、共点问题的证明

（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内.

（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

（3）证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

【考点21空间位置关系的判断

一、单选题

1.（2023•浙江嘉兴•二模）己知正方体43。-4与£〃的棱长为2,P为空间内一点且满足AP工平面A0。，

过作与AP平行的平面，与与G交于点。，则CQ=（）

A.1B.y/2C.也D.V5

2.（2021•全国•模拟预测）已知机，〃，/是三条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，则下列结论一定

正确的是（）

A.若"ua,Iua,mLn,m±l,则机_La

B.若”z/〃，Illa,则m//cr

C.若小_1_〃，〃_!_/,/_L/，则7*_L

D.mlla,nS-[3,alI（3,则〃

二、多选题

JT

3.（2024•浙江・三模）已知平面a,（3,直线a,b,若a_L/7,ac/3=a,6与a所成的角为:，则下列结

6

论中正确的有（）

A.a内垂直。的直线必垂直于夕

B.a内的任意直线必垂直于内的无数条直线

C.6与4所成的角为:

D.6与a内的任意一条直线所成的角大于等于B

4.（23-24高二上•湖北恩施,期中）在棱长为2的正方体中，E,产分别为A3,3C的中

点，贝U（）

A.异面直线与8/所成角的余弦值为半

B.点尸为正方形44G2内一点，当。p〃平面用£厂时，〃尸的最大值为述

2

20

C.过点2，E,歹的平面截正方体ABC。-AgGR所得的截面周长为2屈+应

D.当三棱锥旦-3跖的所有顶点都在球。的表面上时，球。的表面积为6兀

三、填空题

5.（2023•全国•模拟预测）已知以夕是两个不同的平面，以〃是平面圆£外两条不同的直线，给出四个条件：

®m±n；②a〃尸；③〃〃尸；@mla,以下四个推理与证明中，其中正确的是.（填写正确推理与

证明的序号）

（1）已知②③④，则①成立

（2）已知①③④，则②成立

（3）已知①②④，则③成立

（4）已知①②③，则④成立

6.（2022•北京平谷•模拟预测）设棱长为2的正方体ABC。-A4GR,E是AD中点，点M、N分别是棱A3、

G2上的动点，给出以下四个结论：

①存在硒〃M&；

②存在ACV_L平面ECCt；

③存在无数个等腰三角形;

"24~

④三棱锥C-肱VE的体积的取值范围是.

则所有结论正确的序号是.

参考答案：

1.D

【分析】由题意知平面ABQ1平面42。，可先令。为BC中点，再证明当点2为片G中点时，满足平面

48。，平面42。，即可轻易得出C。的值.

【详解】因为尸为空间内一点且满足API平面AB。，过AB作与AP平行的平面，与4G交于点2,

所以AP回平面ABQ,而AP2平面48。，故平面42。1平面41。.

在正方体ABCO-ABGA中，如图所示，取A耳中点为尸,42中点为E,连接QE,。尸,AG，

假设。为qG中点，则△ABQ为等腰三角形，48中点为瓦所以

又因为BO尸。46,所以3。，尸。，

4用中点为中点为E,所以斯BB-而BBJB。,所以EFLBD,EFcFQ=F,所,FQu平面EFQ,

所以3£>工平面EB。，EQu平面EP。,所以3£>_LEQ；

21

因为BD1EQ,BDAB=平面人田。,

所以EQ_L平面ABO,EQu平面4BQ,所以平面，平面,符合题意,

故。为4G中点，CQ=Jccj+GO?=也?+F=6

2.D

【分析】根据空间中的线线，线面，面面关系一一分析即可.

【详解】对于A项，需要加上”与/相交才符合线面垂直的判定定理，故A错误；

对于B项，有可能机ua,故8错误；

对于C项，加与夕没有关系，斜交、垂直平行都有可能，故C错误；

对于D项，若〃_L£,all/3,则〃_La,而相〃<z,故小_!_〃，故D正确.

故选：D.

3.ABD

【分析】由平面与平面垂直的性质定理可判断AB；线面位置关系可判断C；由最小角定理可判断D.

【详解】对于A选项，由平面与平面垂直的性质定理可知，a内垂直。的直线必垂直于yA正确；

对于B选项，在户内作。的垂线，则此垂线必垂直于a,

自然也就垂直a内的任意直线，这种垂线可以作无数条，所以B正确；

JT

对于C选项，b与a所成的角为7，但。与夕的位置关系不确定，不能确定b与B所成的角，

0

特殊情况下可以是万//,所以C错误；

对于D选项，由最小角定理可知，线面角是线与面内的任意直线所成角中的最小的角，故D正确.

故选：ABD.

4.ACD

【分析】对于A：根据正方体的性质得出在Rt85尸中/班?尸即为异面直线D2与所成的角，即可判

定；对于B：取42的中点M，2G的中点N,连接〃N,DM,DN,得到DM〃片厂，DNIIByE,即可证

22

明面DAW〃面旦EF,则根据已知得出尸轨迹为线段肱V,则过。作DPJLMV,此时。尸取得最小值，即可

判定；对于C：过点口、E、下的平面截正方体所得的截面图形为五边形RMEAV,得出

DtM//NF,D.NHME,设CN=n,以。为原点，分别以DAOGDR方向为x轴、y轴、z轴正方

向建立空间直角坐标系。-孙z,得出ME，D、N,DXM,NF的坐标，则可根据AM//NF,RN//ME列式

得出AM,CN,即可得出A",CjN,在RtRAM中得出RM,同理得出jN,在Rt&WAE中得出ME,

同理得出NV,在RtAEB尸中得出所，即可得出五边形AMEFN的周长，即过点2、艮厂的平面截正方

体ABC。-AgG2所得的截面周长，即可判定；对于D：取所的中点。一则。£=。尸=。田，过。|作

OOJ/BB,,且使得oa=；34=l,则。为三棱锥4-8跖的外接球的球心，则0E为外接球的半径，计算

得出半径即可求出球。的表面积，即可判定.

【详解】对于A选项，DDJ/BB,,

.•.在RtBB、F中2337即为异面直线与8/所成的角,

・•.cos®〜岖=；=拽

B.F庐35

异面直线叫与BF所成的角的余弦值为竿.故A正确;

对于B选项，取42的中点2G的中点N,取A。的中点S,连接MN,DM,DN,\S,SF,

SF//AB//A,B、,SF=AB=AB\,

四边形A耳尸S为平行四边形，SA〃男/，\SHDM,.-.MDIIB.F,

同理可得。N//B£,

23

又面与£尸，4Fu面及DNe面B#,B^Eu面B】EF,

.-.DM//面耳£尸，DN//面BlEF,

又•.DMcDN=D,DM,DNu而DMN,

面DMN//面B[EF,

又iDP〃面B]EF,pe面,

；.尸轨迹为线段脑V,

.,.在DMN中，过。作DP_LMN,此时。尸取得最小值，

在中，D,M=1,D、D=2,：,DM=5

在RtDQN中，D、N=1,D、D=2,：,DN=B

在RtM'N中，D、N=1,D、M=l,.;=口

如图，在RtDPN中，。尸=Jrw2—J=J"＞乎，

对于C选项，过点2、E、尸的平面截正方体ABC。-4与百R,

,平面〃平面BBCC，则过点2、E、尸的平面必与AA与CG交于两点，

设过点2、E、歹的平面必与AA与CG分别交于M、N,

过点DpE、F的平面与平面A41Ao和平面BB£C分别交于D、M与FN,，D^MIINF,同理可得DXNHME,

如图过点2、E、F的平面截正方体ABCD-ABCP所得的截面图形为五边形D'MEFN,

如图以。为原点，分别以DADCg方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系。-冲z,

24

则M（2,0,m）,N（0,2,〃）,E（2,l,0）,F（l,2,0）,M（0,0,2）,

=〃N=（O,2,〃—2）,=（2,0,m-2）,NF=（1,0,TI）,

D}M//NF,DXNHME,

2

m=­

-2m=n-23

一2…一2,解得

2

n=一

3

2944

AM=—,CN=—,A^M=—,C1N=—,

.•.在RtAAM中，24=2,=同理：D[N=^/Il,

在RtaM4E中，AM=1,AE=1,;.ME=g,同理：FN=—

3