2025年高考数学一轮复习讲义：解三角形的应用（解析版）

专题27解三角形的应用（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】...............................................................10

【考点1】解三角形应用举例..................................................10

【考点2】求解平面几何问题..................................................16

【考点3】三角函数与解三角形的交汇问题......................................21

【分层检测】...............................................................30

【基础篇】.................................................................30

【能力篇】.................................................................38

【培优篇】.................................................................43

考试要求：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

知识梳理

1.仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线

在水平视线下方叫俯角（如图1）.

2.万位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为a（如图

2）.

3.方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30。，北偏西45。等.

4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

常用结论

1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.

2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.

真题自测

一、单选题

1.（2022•全国•高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的"会

圆术”，如图，是以。为圆心，为半径的圆弧，C是A8的中点，。在上，CD，Afi."会圆术"

2

给出A8的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+~-.当Q4=2,NAO3=60。时，s=（）

2.（2021・全国•高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的

高.如图，点、E,H,G在水平线AC上，OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表

高"，EG称为“表距"，GC和E"都称为"表目距"，GC与的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）

二、填空题

3.（2021•浙江•高考真题）在，ABC中，/8=60。,48=2,M是BC的中点，AM=2^,则AC=

cosZMAC=.

4.（2021•浙江•高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角

形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别是3,4,记大正方

形的面积为5,小正方形的面积为邑，则卷=.

3

5.(2021•全国•高考真题)记，ABC是内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知加=，点。在边AC上,

BDsinZABC=osinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cosZA5c.

参考答案：

1.B

【分析】连接OC,分别求出A8,oc,a),再根据题中公式即可得出答案.

【详解】解：如图，连接OC,

因为C是A3的中点，

所以OC_LAB,

又C"AB,所以O,c,r＞三点共线，

即O£»=Q4=O3=2,

又ZAOB=60。,

所以AB=(M=OB=2,

贝！JOC=垂!,故CD-2—6，

(-伺

所以事211-473.

=2-1----------------=--------------

22

故选：B.

4

D

2.A

【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出.

【详解】如图所示：

DEEHFGCG

由平面相似可知DE=FG,所以

ABAHABAC

DEEHCG

CE-EH=CG-EH+EG,

ABAHACAC-AH

表图x表距

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出.

回

252

13

【分析】由题意结合余弦定理可得8C=8,进而可得AC,再由余弦定理可得cos/M4c.

【详解】由题意作出图形，如图，

5

B

M

在4ABM中，由余弦定理得AM?=.2+即〃_2即小840«8,

即12=4+BM2-2BMx2xg,解得RW=4（负值舍去），

所以BC=2BM^2CM=S,

在，ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+8C2-2ARBC-cos3=4+64—2x2x8xg=52,

所以AC=2万；

AC2+AM2-MC~52+12-16_2屈

在&AMC中,由余弦定理得cosNMAC=

2AM-AC2X2A/3X2A/13-13

故答案为：2屈;噜.

4.25

【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.

【详解】由题意可得，大正方形的边长为：0=斤不=5,

则其面积为：1=5?=25,

小正方形的面积：S?=25-4x（；x3x4]=l,

S,252

从而丁=7=25.

J21

故答案为：25.

7

5.（1）证明见解析；（2）COSZ4BC=-.

【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有华，结合已知即可证结论.

（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边。与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cosZABC的值.

【详解】（1）设ASC的外接圆半径为凡由正弦定理，

hC

得sin/A3C=——,sinC=—,

2R2R

6

hc

因为3£>sinNABC=asinC,所以8。•一=a•一,即瓦>6=ac.

2R2R

又因为Z?2=ac,所以皮>=b.

（2）［方法一］【最优解】：两次应用余弦定理

因为AD=2OC,如图，在aABC中，cosC=a+b~C,①

3

'c

/+(2)2一片

在△BCD中，cosC=-------。——.②

2〃,一

3

由①②得4+/―。2=3〃+（§）2一片,整理得2/_162+，=0.

又因为〃=QC,所以6。2一11改+3c2=0,解得〃=；或〃=与，

32

当。=二。2=〃。=£-时，（2+Z7=—+<C（舍去）.

33

7

所以cos/4BC=—.

12

［方法二］:等面积法和三角形相似

2

如图，已知AD=2DC,则5AABD~§^AABC»

r12°21

即一x—inZADB=—x—QCxsinZABC,

23s32

A

--------------------------'C

而〃=ac,即sinZADB=sinZABC,

故有NAZM=NABC,从而Z4BD=NC.

7

ACADA

由62=",即2=：r,即匕=丝，即.ACBjABD,

abCBBD

2b

皿ADAB—

故——=——，即nn3。，

ABAC—=7

cb

2

又b。=ac,所以c=§a,

则cosZABC='+7

2ac12

［方法三］:正弦定理、余弦定理相结合

21

由（1）知5D=〃=AC,再由AD=2。。得AD=—b,CD=—b.

33

ADBD

在中，由正弦定理得

sinZABDsinA

±A2

yiZABD=ZC,所以/b,化简得sinC=-sinA.

sinCsinA

2?

在中，由正弦定理知c=§〃，又由Z;2=QC,所以。2=§〃2.

242・

22_T2aH-----Q—

在；ABC中，由余弦定理，得cosNA"=":一=-

2女2x2/

3

7

故cos/4BC=—.

12

［方法四］:构造辅助线利用相似的性质

如图，作交8C于点E,则△DECSAZRC.

由AD=2DC,得DE=±,EC=巴,BE=』.

333

2c

（W

在4痛）中，cos/BED=」

，,—2a,一c

33

^22_T2

在/ABC中cosZABC=巴士——.

2ac

因为cosZABC=-cosABED,

8

（y）2+（|）2-^2

a2+c2-b2

所以

2ac2ac

T'3

整理得64—11/+3。2=0.

又因为Z?2=ac,所以6片+3c2-o,

c、3

即4=一或。=—C.

32

下同解法1.

［方法五］:平面向量基本定理

,,,一一uumUUUL

因为AD=2£）C,所以AO=2DC.

21

以向量BA,BC为基底，有=+

一一24-2412

所以=-BC+-BABC+-BA,

999

4c4］c

即b2=—a2+—accosZABC+—c2,

999

又因为力2=〃c,所以9QC=4［2+4〃c.cosZASC+c2.③

由余弦定理得b2=a2+c2-laccosZABC，

所以ac=/+/一2QCCOSZABC④

联立③④，得66—11々。+3。2=0.

3、1

所以〃=—c或〃=—c.

23

下同解法L

【方法六］:建系求解

以。为坐标原点，AC所在直线为％轴，过点。垂直于AC的直线为y轴,

。。长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则0（0,0）,A（—2,0）,C（1,0）.

由（1）知，BD=b=AC=3,所以点3在以。为圆心，3为半径的圆上运动.

9

设3（%y）（—3〈尤＜3）,则f+y?=9.⑤

由户=收知，|5AH3C|=|AC「，

即J（x+2y+y2《x—iy+v=9.（6）

77Q5

联立⑤⑥解得户-^或x=y3（舍去），

代入⑥式得。=|BC\=^-,c=\BA\=®b=3,

由余弦定理得COS/ABC=/+L-"=二.

2ac12

【整体点评】⑵方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的

性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似

是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将

其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直

观化.

考点突破

【考点1］解三角形应用举例

一、单选题

1.（2024•山东临沂•一模）在同一平面上有相距14公里的A2两座炮台，A在8的正东方.某次演习时，A向

西偏北e方向发射炮弹，8则向东偏北e方向发射炮弹，其中。为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的

同一目标，接着A改向向西偏北■!■方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点“，则8炮台与弹着点M的距

离为（）

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

2.（23-24高一下•浙江•阶段练习）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其

峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设

计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶尸得仰角为45。,沿倾斜角为15。的斜坡向上走了90米到达B点（4

B,P,Q在同一个平面内），在B处测得山顶尸得仰角为60。，则鼎湖峰的山高尸。为（）米.

10

A.45（n-应）B.45（A/6+V2）

C.90（＞/3-l）D.90（V3+l）

二、多选题

3.（23-24高三下•重庆•阶段练习）如图，在海面上有两个观测点良在。的正北方向，距离为2km,在

某天10：00观察到某航船在C处，此时测得=45,5分钟后该船行驶至A处，此时测得

ZABC=30,NADB=60,ZADC=30,则（）

A.观测点8位于A处的北偏东75方向

B.当天10：00时，该船到观测点B的距离为Jdkm

C.当船行驶至A处时，该船到观测点3的距离为疯m

D.该船在由C行驶至A的这5min内行驶了0km

4.（2024•甘肃兰州•一模）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭

代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有

A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角a,尸，再测量A,B两点间距离

B.在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为3在该建筑物底部和顶部分别测得旗

杆顶端的仰角a和夕

C.在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角a,再测量A到旗杆底部的距离

D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角a,正对旗杆前行5m到达8处，再次测量旗杆顶端的仰角

三、填空题

5.（2024•广东湛江,二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志

性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点4点A

在大厦底部的射影为点。，两个测量基点B、C与。在同一水平面上，他测得8C=102近米，N3OC=120。，

11

在点2处测得点A的仰角为6（tan8=2）,在点C处测得点A的仰角为45。，则财富汇大厦的高度OA=

米.

6.（2021•山东滨州•二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题

一般称为"米勒问题".如图，树顶A离地面。米，树上另一点B离地面b米，在离地面。（。<〃）米的C处看此

树，离此树的水平距离为米时看A,8的视角最大.

参考答案：

1.D

n

【分析】设炮弹第一次命中点为C,在-ABC中利用余弦定理求出cos。，又二倍角公式求出cos■!，最后在

^ABM中利用余弦定理计算可得.

【详解】依题意设炮弹第一次命中点为C,则AB=14,AC=BC=AM=18,

0

ZCBA=ZCAB=O,ZMAB=-,

2

在.ABC中BC2=AC2+AB2-2ACABCOS/9,

7

BP182=142+182-2xl4xl8cos6>,解得

lo

✓3y0、

所以cose=2cos21_l=/,又e为锐角，解得cos?==（负值舍去），

21826

0

^^ABM^BM2=AM2+AB2-2AM-ABCOS-

=182+142-2X18X14X-=100,

6

所以=10,即3炮台与弹着点M的距离为10公里.

故选：D

12

c

【分析】在中，利用正弦定理求AP,进而在Rt/用。中求山的高度.

【详解】由题知，NPAQ=45,ZBAQ=15,贝30,ZAPQ=45,

又一F5C=60，所以N5PC=30，所以NBP4=15，ZPBA=135，

在/ASP中，AB=90f

APAB

根据正弦定理有

sinZABP~sinZAPB"

且sin15=sin（60-45）=sin60cos45-cos60sin45=

4

90xf_180底

…nABsinZABP90sin135°

则AP=-----------------=--------------

sin/APBsin15°n-万一标一亚

4

在Rt一R4。中,尸­=腔哼=45⑼到

所以山高P2为45（指+血）米.

故选：B.

3.ACD

【分析】利用方位角的概念判断A,利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD.

【详解】A选项中，ZABD=ZABC+ZCBD=30°+45°=75°,ZCDB=ZADC+ABDA=300+60°=90°,

因为B在。的正北方向，所以5位于A的北偏东75方向，故A正确.

B选项中，在△BCD中，ZBDC=9Q°,ZDBC=45°,贝U4CD=45。,又因为8£>=2,

所以BC=2&km,故B错误.

C选项中，在ABC中，由余弦定理，得

AB2AC2+BC2~2AC-BCcosZACB=2+8-2x72x242x1=6,即AB="km,故C正确.

D选项中，在sACD中，ZACD=105°,ZADC=30°,则/C4D=45。.

13

由正弦定理，得心CDsin;yc=虚km,故D正确.

sm/CAD

故选：ACD.

4.BCD

【分析】根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度即可.

【详解】对于A：如果A,3两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确.

对于B：如下图，中由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=/z+AOsin£,故B正确；

对于C：在直角三角形△ADC直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC=ACtana,故C正确;

对于D：如下图，△ABZ）中由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=AOsina,故D正确;

故选：BCD.

5.204

【分析】根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出△03C的边长关系，解方程求解即可.

nA卜

【详解】设。4=无米，因为在点3处测得点A的仰角为8,所以2=2,所以02=g.

OB2

因为在点C处测得点A的仰角为45。，所以OC=/7米.

由余弦定理，可得BC2=OB2+OC2-2OBOCcosZBOC,

117

BP1022X7=-A2+/J2+-/Z?=-/Z\解得2=204.

424

故答案为：204

14

6.-<?)(/?-<?)

【分析】根据题意，/BCD=a,/ABC=P，CD=X,分别求得tana,tan(a+0表达式，即可求得tan分表

达式，结合基本不等式，即可得答案.

【详解】过C作CDLAB,交A5于。，如图所示:

设/BCD=a,AABC=|3,CD=x,

.c-—BDb—c

在/\BCD中，tan1=——=----,

CDx

在；ACD中，tan(cr+尸)==---,

CDx

伫£_"£,/a-ba-b

所以tan左tan((a+0-01"丁二丁一须下一22c)(j),

1+---------X+-------------vX

XXX

当且仅当x=("_c：6_c),即x=«z-c)(6-c)时取等号,

所以tan£取最大值时，NABC=Q最大，

所以当离此树的水平距离为JS-c)(6-c)米时看4B的视角最大.

故答案为：J(a-c)(b-c)

反思提升：

1.在测量高度时，栗理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线

的夹角.

2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.

3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.

4,测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有

关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.

5.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.

【考点2】求解平面几何问题

一、单选题

1.(2024・山东•二模)在ABC中，设内角A3,C的对边分别为a,b,c,设甲：Z?-c=<s(cosC-cosB),设乙：

15

ABC是直角三角形，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2.（2021•黑龙江大庆•模拟预测）下列命题中，不正确的是（）

A.线性回归直线£=加+&必过样本点的中心（x,y）

B.若平面a_L平面平面耳，平面则平面打〃平面4

C.若则。>上的逆命题为假命题

au

D.若ABC为锐角三角形，贝UsinA>cos3.

二、多选题

3.（2022•河北沧州•模拟预测）在ASC中，三边长分别为a,b,c,且abc=2,则下列结论正确的是（）

A.a2b<2+ab2B.ab+a+b>2^2

C.a+b2+c2>4-D.a+b+c<2y/2

4.（2024•辽宁葫芦岛•一模）在正四棱台中，AB=3A,Bt=6,AA,=4,p为棱2片上的动

点（含端点），则下列结论正确的是（）

A.四棱台的表面积是40+326

B.四棱台ABC。-AqG2的体积是回1

3

c.AP+PG的最小值为2小

D.AP+PC的最小值为

三、填空题

5.（2023•陕西•模拟预测）已知在ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,点。，E是边BC上的两点，点。在8,

AF）

E之间，ZBAD=ZCAE,AB±AE,则.

DE

2冗JT

6.（2023•陕西西安•模拟预测）在平面四边形ABC。中，AB=2,DA-DC=6,ZABC^—,ZACB=-,则四

36

边形ABC。的面积的最大值为.

参考答案：

1.D

【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】在ABC中，由正弦定理及匕-c=a（cosC-cosB）,sinB-sinC=sinA（cosC-cosB）,

16

即sin(A+C)-sin(A+B)=sinA(cosC-cosB),整理得cosAsin。—cosAsin3=0，

TT

由正弦定理得ccosA-bcosA=0,贝!JcosA=0或Z?=c,即4=—或Z?=c,

2

TT

因此甲：A=|•或6=c,显然甲不能推乙；

乙：ASC是直角三角形，当角8或C是直角时，乙不能推甲，

所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.

故选：D

2.B

【分析】根据回归方程的特征可判定A正确；根据线面位置关系的判定与性质，可判断B不正确；根据不

等式的性质，可判断C正确；根据三角形的性质和正弦函数的单调性，可判定D正确.

【详解】对于A中，由回归直线的概念知线性回归直线£=%+4必过样本点的中心(元》)，所以A正确；

对于B中，若平面a_L平面7,平面6_1_平面/,则平面平面夕或平面a与平面尸相交，所以B不正确；

对于C中，命题/<《，贝逆命题为"。会，则,<卜

abab

因为工-1=号，其中必的符号不确定，所以为假命题，所以c正确；

abab

JT7T

对于D中，若，ABC为锐角三角形，可得A+3>5，即4>万-2,

TT7T

又由y=sinx在区间(0,3)上为增函数，所以sinA>sin(,-B)=cos8,所以D正确.

故选：B.

3.ABC

【分析】根据题意得"(。-6)<2=Me,结合边的关系即可判断A；根据边的关系及基本不等式即可判断

BC；用边长为1,&,应的三角形的周长判断D

【详解】对于A,a2b<2+ab2,即片匕一/<2,也就是血a-力<2=aZ?c,

另一方面，在4ABe中，ab>0,a-b<c,贝l]a6(a-Z?)<aZ?c成立，故A正确；

对于B,ab+a+b>ab+c>2^1abc=,故B正确；

对于C,a+b-+c2>a+2bc>2-^2abc=4,当且仅当”=2/?=2。=2时取等号，故C正确；

对于D,边长为1,立,直的三角形，满足"c=2,但a+6+c=l+20>2及，故D错误.

故选：ABC.

4.ABD

【分析】求出四棱台ABCD-ABCI，的表面积即可判断A；由正四棱台的体积公式计算出体积，即可判断

17

B；将侧面展开在同一平面，结合余弦定理即可判断CD.

【详解】对于A,由题可知，四边形ABCDAqGR为正方形，所以必贫。=36,邑跖口=4,

分别取BC,8c的中点则ME为侧面高，

因为侧面BCQBI为等腰梯形，侧面高ME=742-22=2g，

所以一个侧面的面积为（2+6）X2GX：=86,

故正四棱台的表面积为36+4+8^x4=40+32^,故A正确；

对于B,连接AC，AG，取AC,4G中点。,。，连接。。一过点A作A"_LAC,则正四棱台的高为。Q,

Aq=e,AO=30,则AH=2&，

在梯形中，OO、=AHZ16-8=2山,

所以四棱台ABCD-\BXCXDX的体积v=^lx（4+36+V4^36）=笞，故B正确；

对于c,将侧面AB4A，8CC4展开且处于同一平面，连接AG与4瓦交于点。，如图所示，则..M2CAQ，

兀

所以=2耳=§4，由上述结论可知，NA=2T，

'+1力-AQ24/B12/is

由余弦定理得，cosA=—@L—，解得AQ=曳"，则CQ=^AQ=上空，

巴c〃4323

2x4x—

3

所以AC]=AQ+QG=2屈，

因为尸为棱B片上的动点（含端点），所以点A,P，G不能共线，

所以AP+PG>AG=2jm,故C错误；

对于D,当点A,P,C共线时，AP+PC最短，

由余弦定理得，cos/A2C=迎竺二"，解得AC=6g,

2x6x6

所以AP+PC的最小值为66，故D正确；

故选：ABD.

18

5.苧牛

【分析】

由余弦定理求出cosNBAC,cosNABC的值，结合题意即可推出sinNAEB=cosNABE1,继而利用正弦定理,

即可求得答案.

【详解】由题意知在ABC中，AB=5,AC=3,3C=7,

AB2+AC2-BC225+9-49

贝lJcosNB4C=

2ABAC2x5x32

AB2+BC2-AC225+49-913

cosZABC-

2ABBC2x5x7-14’

而ABACe(0,it),.-.ABAC=y

TT冗

又NBAD=NCAE,AB±AE,则N5AD=NCAE=-,「.ZDAE=一

63

ji13

且/ABE+/AEB=—sinZAEB=cos/ABE=cosZABC=一

214

13

,,ADsinZAEDAD1413A/3

故江=嬴商石，即无一百

21

2

故答案为：竽

【点睛】关键点点睛：本题考查了正余弦定理的应用问题，解答的关键是求出sinNAEB=cosNAB石，从而

可利用正弦定理求解答案.

6.6

【分析】在中，利用正弦定理可得AC=2g,进而可求得J1BC的面积SOBC=3,在.ACD中，由

7T

余弦定理可得ZAOCV],进而可得ACD的面积S"8V3,即可得结果.

19

2x3

ACABABsinZABC

【详解】在4ABe中，由正弦定理可得AC=—^=26

sinZABC-sinZACBsinZACB

2

所以^BC的面积S△ABc=gAC•BCsin/ACB=；x2«x2x¥=3；

2122

十人「o』人设>丁巾/“ccA£>+DC-AC2AD-DC-AC12-12

在AC。中，由余弦定理cos/AOC=----------------------->-----------------------=---------

当且仅当AD=£>C=«时，等号成立，

即cos/ADC20,且NADCe(O,7i),则NADCe，',

所以ACD的面积S“s=-A。,DCsinNADC<—x6x1=3；

显然当8、。位于直线AC的两侧时，四边形4BCD的面积较大,

此时四边形ABCD的面积SABCD=5AAsc+SAACDV3+3=6.

所以四边形45co的面积的最大值为6.

故答案为：6.

【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点

（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；

（2）结合三角恒等变换、三角函数以及基本不等式分析运算.

反思提升：

平面几何中解三角形问题的求解思路

（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

【考点3】三角函数与解三角形的交汇问题

一、解答题

L（2024・北京,三模）已知函数/（彳）=26$1110_¥£：050无+2（：0520X,（0>0）的最小正周期为兀.

⑴求。的值；

（2）在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.c为以x）在0胃上的最大值，再从条件①、条件

20

②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：acosB+bcosA=2ccosC；条

件②：2asinAcosB+Z?sin2A=J§〃；条件③：ABC的面积为S,且s=6（"+"——fj.注：如果选择多

4

个条件分别解答，按第一个条件计分.

2.（2024•福建漳州•模拟预测）如图，在四边形ABCD中，ZDAB=|,B=^,且ABC的外接圆半径为4.

⑴若BC=4&,AD=2近,求ACD的面积；

（2）若。=与27c，求3C—AD的最大值.

3.（2023・全国•模拟预测）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的

方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆和横档。构成，并且E是。的中点，横档

与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2,手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点

观察.滑动横档8使得A,C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点。，DE

的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角NG4D（称为太阳高度角），

最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.

图1图2

⑴在某次测量中，AE=40,横档的长度为20,求太阳高度角的正弦值.

⑵在杆A8上有两点4，劣满足44t当横档C。的中点E位于4时，记太阳高度角为％«=1，2）,

其中％,a?都是锐角.证明：a,<2a2.

4.（2023•福建泉州•模拟预测）在平面四边形ABCD中，ZABC=60°,/ADC=120。，点B,。在直线AC

的两侧，AB=1,BC=2.

⑴求回BAC；

（2）求AABD与一ACD的面积之和的最大值.

21

5.(2023•河南•模拟预测)已知锐角三角形ABC的内角A民C的对边分别为。，b,c,

^V3cosA

tanB+tanC=--------------•

cosBcosC

⑴求A;

(2)若°=#，求6+c的取值范围.

6.(2023,陕西榆林•三模)已知a,6,c分别为ABC的内角A5C所对的边，AB-AC=4,且acsin3=8sinA.

⑴求A；

⑵求sinAsinBsinC的取值范围.

参考答案：

1.(1)1

(2)(一6,司

【分析】利用三角恒等变换整理可得小)=2425+仆1,结合最小正周期分析求解;

以2尤+$为整体，结合正弦函数最值可得c=3.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得C=g,

63

利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得。-6=2gsin[