2025年高考数学一轮复习讲义：不等关系与不等式性质（原卷版）

专题03不等关系与不等式性质（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................3

【考点1】比较数（式）的大小...................................................3

【考点2］不等式的基本性质..................................................4

【考点3］不等式性质的综合应用..............................................5

【分层检测】................................................................6

【基础篇】..................................................................6

【能力篇】..................................................................8

【培优篇】..................................................................8

考试要求：

1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.

2.理解不等式的概念.

3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.

・知识梳理

1.两个实数比较大小的方法

a—b>O^>a>b,

a-b=。=。三b，

{a—b<O^>a<b.

a

1>1(〃£R,Z?>0)<^a>b(〃£R,Z?>0),

(2)作商法<%=\=a=b(mbWO),

7<1(Q£R,Z?>0)Oa<b(q£R,Z?>0).

—

2.不等式的性质

(1)对称性：a>bob〈a；

(2)传递性：a>b,b>c=>a>c；

(3)同向可加性：〃>b=o+c>Z?+c；a>b,c>d=>a-\-c>b~\-d；

(4)可乘性：a>b,c>O^ac>bc；a>b,c<Q^ac<bc；a>b>0,c>d>Q^ac>bd；

(5)可乘方性：a>b>Q=>an>bn(nN,〃21)；

(6)可开方性：〃>>>0=>勺^之迈(〃£N,〃22).

|常用结论

1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.有关分式的性质

Jb+mbb—m

⑴若a>b>0,m>0,则一-;->----(Z?—m>0).

aa+maa-m

(2)若ab>0,且a>b=：<*.

真题自测

一、单选题

1.(2019,全国・高考真题)若a>b,则

A.In(«-/?)>0B.3a<3b

2

C.a3-b3>0D.|«|>|/?|

2.（2018,全国,同考真题）设〃=log020.3,b=log20.3,贝Ij

A.a-\-b<ab<0B.ab<aJt-b<0

C.a-\-b<0<abD.ab<0<a+b

3.（2024•上海杨浦•二模）已知实数。，b,Jd满足：a>b>0>c>df则下列不等式一定正确的是（）

A.a-\-d>b-\-cB.ad>bcC.a+ob+dD.ac>bd

二、多选题

4.（2022,全国,局考真题）若x,y满足f+y2一孙=i,则（）

A.尤+y41B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

5.（2024•辽宁•模拟预测）已知。<人<0<c,下列不等式正确的是（）

ba

A.—<—B.a2<c2

ab

C.2"<2。D.logc(-^)<logc(-Z?)

三、填空题

6.(2024•河北石家庄•二模)若实数尤,y,z20,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则Af=4x+3y+5z的取值范

围是.

电考点突破

【考点11比较数（式）的大小

一、单选题

1.（21-22高二下•江西九江•期末）已知〃=&，b=-若，c=C-0,则。，b,。的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

2.（2022•广东广州•一模）若正实数a,Z?满足〃>>，且Inalnb,。，则下列不等式一定成立的是（）

+1a+bblax

A.logab<0B.C.2^<2D.a-<b-

ba

二、多选题

3.（2023•全国•模拟预测）

A.A-//<0B.4—〃N0

c芸D*

4.（2023•广东肇庆•二模）已知正数。,6满足等式片一。=2（2皿-Ina）,则下列不等式中可能成立的有（）

A.a>〉一B.〃<b?<一

22

3

C.a>b>lD.b<a<\

三、填空题

5.（2023•内蒙古赤峰•一模）已知"等，b=显,c=四一人金，则“也c的大小关系是

32n96

6.（2024•吉林•模拟预测）请写出一个累函数了⑺满足以下条件：①定义域为［0,+«0；②/⑺为增函数；

③对任意的』，x2e［0,+»）,都有,则〃x）=.

反思提升：

1.作差法一般步骤：（1）作差；（2）变形；（3）定号；（4）结论.其中关键是变形，常采用配方、因式

分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先

平方再作差.

2.作商法一般步骤：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小；（4）结论.

3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小

关系.

4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.

【考点2］不等式的基本性质

一、单选题

1.（22-23高一下•云南玉溪•期中）若a,beR,则"（a->）/<0"是"a<6"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024•辽宁•一模）设々=—,b=2-"<?=1一©'贝|（）

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

二、多选题

3.（2021•江苏扬州•模拟预测）已知两个不为零的实数1,>满足xvy,则下列说法中正确的有（）

A.3r>1B.移<_/C.x|x|<y|y|D.

4.（2023•湖北襄阳•模拟预测）我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由>=欣在点（0,1）处的切线

y=x-l写出不等式111r4》一1,进而用一替换x得到一系列不等式，叠力口后有ln（〃+l）<l+g+；+…+：这

些不等式体现了数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（）

〃（1）

n\<e2

1111

B.—I--F...H—<ln〃（〃22）

23nv7

4

c.1+M1+

1223

D.I+

23

三、填空题

1712

5.（2023•山西大同•模拟预测）已知a〉0,b>0,a>—+—,b>--\"—,则4+6的最小值为

abba

6.(2024•河北承德•二模)已知等差数列｛%｝(公差不为0)和等差数列｛4｝的前〃项和分别为斗?，如果

22

关于尤的实系数方程1003X-S1003X+%3=0有实数解，则以下1003个方程X-平+々=0(i=1,2,,1003)中,

有实数解的方程至少有个.

反思提升：

解决此类题目常用的三种方法：

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前

提条件；

(2)利用特殊值法排除错误答案；

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幕

函数等函数的单调性进行判断.

【考点3】不等式性质的综合应用

一、单选题

1.(2023•江苏南通•模拟预测)已知a-be[0,l],a+bw[2,4],则4a-2)的取值范围是()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

12

2.(2022•浙江杭州•模拟预测)已知a",ce〃且a+Hc=0,a>方>c,则巴a上+cJ的取值范围是()

ac

A.[2,+oo)B.(田,一2]C.D.(2,1*

二、多选题

3.(20-21高三上,江苏,阶段练习)已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-1<2元-y<4,则()

A.x的取值范围为(T,2)B.丁的取值范围为(-2,1)

C.%+>的取值范围为(-3,3)D.龙一丫的取值范围为(T,3)

4.(2023•河南洛阳,模拟预测)设实数满足49,贝|()

b

A.2<|a|<6B.1<|^|<3C.4<a3Z7<144D.l<ab3<4

三、填空题

5

5.⑵-22高三云南昆明•阶段练习）已知实数X,九满足I-［1<xa+y"<34,,则z=2—y的取值范围

是.（用区间表示）

6.（2022•上海普陀•一模）设二次函数/（x）=g2-2x+〃（m,〃eR）,若函数的值域为［0,+动，且

22

/■（1）42,则4—+^^的取值范围为_________.

n+1m+1

反思提升：

利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性

质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求

范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2023•上海金山•二模）若实数。、b满足片,〃〉。，则下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.2a>2”

22

C.a>\b\D.log2a>log2b

2.（2022•湖南长沙•模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为。，从乙地到甲地的平均速度为伏

他往返甲乙两地的平均速度为L则（）

a+bi—

A.v=——B.v=y/ab

C.yfab<v<------D.b<v<y［ab

2

3.（2022云南贵州•二模）已知Q=ln（J5e）,〃=-----=——+1,则。，瓦。的大关系为（）

e5

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

4.（2024陕西西安・模拟预测）若。=0.31",/7=108312,°=10826,1=，］,则有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

二、多选题

5.（21-22高三上•湖北•阶段练习）下列命题成立的是（）

,,,ab

A.右a>b,c>d,贝!j—>一

dc

B.若不等式f+公一b<o的解集是{兀|1v%<2},则a+）=_5

6

C.若a^R,Z?eR,则4+/22(〃+匕一1)

D.若m匕满足—l<a<b<l,则a-b的取值范围是(-2,2)

6.（2023•山东•二模）已知实数满足，且a+b+c=0,则下列说法正确的是（）

A.--->---B.a—c>2bC.a2>b2D.ab-\-bc>Q

a-cb-c

7.（2023・湖南长沙•二模）已知实数。也c满足0<〃<b<c,则下列说法正确的是（）

11bb+c

A.---->----B.->----

c-ab-aaa+c

11

C-D-^+c2>ac+bc

三、填空题

8.（20-21高一上•湖北武汉•期中）购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策

略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则种购物策略比较

经济.

9.（2022・全国・模拟预测）已知实数天、丁满足一2<》+2丫<3,-2<2无一、4。，贝1]3》一4，的取值范围为.

10.（2022・四川泸州・三模）已知x,yeR,满足2*+2>=4，给出下列四个结论：①x+”2；②孙21；

@2v+y<3；@4r+4v>8.其中一定成立的结论是（写出所有成立结论的编号）.

四、解答题

11.（23-24高一上•江苏连云港•阶段练习）（1）己知-l<x<4,2<y<3,求x-y的取值范围.

（2）比较（x-lXl+x+l）与（x+lXJ-x+l）的大小，其中xeR.

12.（21-22高三•贵州贵阳•阶段练习）已知实数。，b,c满足a+b+c=0.

⑴若a<Z?<0,求证：---<；

a-cb-c

（2）若。<0力<0,abc=1,求c的最小值.

【能力篇】

一、单选题

1202320。3

1.（2023•江西•模拟预测）已知。=罚，》=ln考c=log4^1,贝。（）

202220222022

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.a<b<c

二、多选题

2.（21-22高一上・重庆•期末）下列说法正确的是（）

11